第4章 利率的期限结构(投资学-哈尔滨工程大学,孙伟)

第4章利率的期限结构

本章介绍的利率相关理论考虑了任一时刻利率的整体水平，不同期限所对应的不同利率水平，即利率的期限结构理论，这一理论对于有关利率市场进行了更加清晰的诠释。

4．1 收益曲线

固定收益证券市场中，任何证券的到期收益率与总体市场环境密切相关。这一市场中，所有收益率趋于整体变动。但是，所有债券收益率的变动并非完全相同。

不同债券收益率的差异部分原因在于债券具有不同的质量等级。AAA级债券价格较B级债券价格高。因此，其收益率相对较低。高等级债券较低等级债券的价格高是一种普遍现象。但是，仅仅依靠质量等级远不能对观察到的债券收益率的差异进行充分的解释。

解释不同债券收益率差异的另一因素为到期期限。作为一般规律，到期期限较长的债券与同等质量等级的债券到期期限较短的债券相比，其收益率会相对较高。收益曲线将收益率表示为到期期限的函数。该曲线由给定的同一质量等级不同期限债券的收益率描绘而成，曲线随着到期期限的增加而逐渐上升，上升的曲线是收益曲线的“正常形状”。

当研究某一特定债券时，确定该债券的收益率与到期期限的关系，一个十分有用的方法是将它们描绘于具有同等风险等级的债券的收益曲线上。这将大体显示出相对于总的市场而言该债券是如何定价的。如果该点远离收益曲线，则很可能是存在一些特殊情况(如债券的可赎回特性，或是影响债券发行人清偿能力的消息等)。

4．2 期限结构

期限结构理论不考虑收益(yield)的概念，而是集中于纯利率的分析。这一理论是基于货币的利率取决于货币持有期的长短。

4．2．1 即期利率

即期利率(spot rates)是定义期限结构的基础利率。即期利率s t 即为从当前t ＝0时刻到t 时刻持有货币的利率，该利率以年利率的形式表示。利息与本金均在时刻t 支付。

即期利率的定义隐含着有关复利特性的假定，前面的讨论假设复利为年复利1次。然而，每年复利m 次或是连续复利同样经常使用。在所有这些情形下，利率通常以年利率的形式表示。下面，对不同情形简单总结如下：

（1）每年复利一次(yearly)。在每年复利一次的原则下，定义即期利率s t ，使得：

(1)t t s +

为存款持有t 年的增长因子(这种情况下，t 必须为整数，否则需要作出调整)。

（2）每年复利m 次(m periods per year)。在每年复利m 次的原则下，定义即期利率s t ，使得：

(1/)mt t s m +

为相应的增长因子(上式中mt 必须为整数，因此，t 必须为1/m 的整数倍)。

（3）连续复利(continuous)。在连续复利的原则下，定义即期利率s t ，使得t s t e 为相应的增长因子。这一公式对于任一时刻t 的价值直接适用。

理论上，即期利率能够通过零息票债券的收益率得到（/(1)n n P F S =+）。由于零息票债券承诺在未来某一固定日期支付一个固定数额，因而未来支付额相对于债券当前价格的比率界定了债券到期期限的即期利率。通过这一衡量过程，可以得到一条与收益曲线相似的即期利率曲线(spot rate curve)。

4．2．2 贴现因子与现值

一旦确定了即期利率，则对于每一时点，很容易定义相应的贴现因子d t (discount factors)。这些因子是未来现金流量要获得等价的现值所必须乘上的因子。

对于不同的复利原则，它们定义如下：

（1）每年复利一次(yearly)。对于每年复利一次的情况：

1(1)t t

t d s =+ (4.1) （2）每年复利m 次(m periods per year)。对于每年复利m 次的情况：

1(1/)

t mt t d s m =+ (4.2) （3）连续复利(continuous)。对于连续复利的情况：

t s t t d e -= (4.3)

贴现因子将未来现金流量直接转化为等价的现值。因此，给定任意现金流012(,,,,)n x x x x K ，相对于现行的即期利率，其现值为：

01122n n PV x d x d x d x =++++L (4.4)

贴现因子d t 类似于时刻t 发生的1元现金的价格。我们通过将组成现金流的所有现金流量进行“价格乘以数量”的操作，并将其相加，从而得到该现金流的现值。

例4．1 计算10年期、票面利率为8%，息票每年支付一次(年底发生)的债券的价值。即期利率如表所示。 表4．1 债券评价

年

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总现值 贴现

因子

0.947 0.889 0.827 0.764 0.701 0.641 0.583 0.528 0.447 0.431 现金

流量 8 8 8 8 8 8 8 8 8 108 现值 7.58 7.11 6.61 6.11 5.61 5.12 4.66 4.22 3.82 46.50 97.34

说明：每一现金流量以该时刻贴现因子进行贴现。

4．2．3 即期利率的决定

确定即期利率(spot rate)的明显方式就是寻找不同到期日的一系列零息票债券的价格。即期利率曲线可以首先通过借助短期有息票债券的价格来确定，然后再一步步地利用期限较长的债券来确定该曲线的形状。我们通过每年复利1次的原则来解释这一过程。首先，通过直接观察1年期利率——例如1年期国债——来确定即期利率s 1。随后考虑2年期债券。假设债券价格为P ，每年底支付息票额为C ，其面值为F 。债券价格应等于其现金流的贴现值，因此我们可以得到如下等式：

2

121(1)C C F P s s +=+++ (4.5) 由于s 1已知，从该等式中可以解出s 2。利用这种方式我们可以考察3年期债券、4年期债券等等，从而可以一步步确定s 3，s 4，……

即期利率也可以通过另一过程来确定。两个具有相同到期日不同息票率的债券可以用来构造一个等价的零息票债券。下述例子对这一方法加以解释。

例4．2 债券A 是息票率为10%的10年期债券，其价格为P A ＝98.72。债券B 是息票率为8%的10年期债券，其价格为P B ＝85.89。两债券的面值均为100。

考虑一投资组合，该投资组合由-0.8单位债券A 及1单位债券B 构成。这一组合的面值为20，价格为P ＝P B －0.8P A ＝6.914。该组合息票支付抵消，故而其相当于零息票投资组合。10年期的即期利率s 10必须满足等式(1+s 10)10P ＝20。因此s 10＝11.2%。

4．3 远期利率

远期利率(forward rates)的概念是从即期利率的定义中直接推演出来的一个十分有用的概念。远期利率是在未来两个日期之间借款的利率，但是其考虑的基期为当前时期。

对于两年的情况最容易解释。假设s 1与s 2已知。如果我们将1元存储于2