几何证明常用辅助线

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:

例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2

1

(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤

2

1

(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ⎧⎨⎪⎪

⎩

AD =DE

∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE

∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤2

1

(AB+AC)

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC

例2: 中线一倍辅助线作法

△ABC 中

方式1： 延长AD 到

E ，

AD 是BC 边中线

使DE=AD ，

连接BE 方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，

作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD C

例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且

DF=EF ，求证：BD=CE

课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长

BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

第 1 题图 A B F D E

C

作业：

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC

于F ，求证：AF=EF

4：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

5、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

D A B C

M T E

A

D

B

C

E

图2-1

（二）截长补短法 例1.

已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .

求证：∠BAD +∠BCD =180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2

∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，

⎩⎨

⎧==CD AD DF DE

∴Rt △ADE ≌Rt △CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°

如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.

例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.

A

B

C

D

图1-1

F

E

D

C B

A

图1-2

A

B

C

D

P

12

N

图3-1

例4.已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

作业：

1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .

2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

C

E

D

B A

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,

求证：BE ＋CF ＞EF 。

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，

构造全等三角形。

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3

＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF

D

C

B

A

12

图4-1

F E D

C

B A A B C

D E F

N

1

图123

4

A

C

E F 1234