正态分布

正态分布在医学中的应用
1. 大多数生理生化指标服从正态分布 2. 估计医学参考值范围
x ± Zα 2 s
3. 质量控制 µ ± 2σ 或 µ ± 3σ 二项分布，poisson分布的极限均为正态分 4. 二项分布，poisson分布的极限均为正态分 布 ； 卡方、 分布都与正态分布有关。 5. 卡方、t与F分布都与正态分布有关。
第四军医大学卫生统计学教研室
2011年11月Hale Waihona Puke Baidu2011年11月21 日
Z值分布曲线下面积与概率
偏度系数和峰度系数
• 正态分布的特征，归纳起来有两点： 正态分布的特征，归纳起来有两点： 一是对称性 symmetry） 对称性（ 一是对称性（symmetry）
若分布不对称就是偏态，长尾拖向右侧 若分布不对称就是偏态，长尾拖向右侧 变量值较大的一侧）叫做正偏态 正偏态, （变量值较大的一侧）叫做正偏态,或右偏 长尾拖向左侧 变量值较小的一侧） 拖向左侧（ 态；长尾拖向左侧（变量值较小的一侧）叫 负偏态，或左偏态。 做负偏态，或左偏态。
红细胞过多或过少均属于异常， 解：红细胞过多或过少均属于异常，故此参考 值范围应是双侧范围。 双侧范围 值范围应是双侧范围。该指标近似呈正态分 故可用正态分布法求95% 95%参考值范围的 布，故可用正态分布法求95%参考值范围的 上下限如下： 上下限如下： • 下限为： 下限为：
x − 1.96 s = 55.38 − 1.96(0.44) = 54.52(10
0 5 0 7 . 0 . 0 0 9 . 0 1 1 . 0 1 3 . 0 1 5 . 0 1 7 . 0 1 9 . 0
频 数
5
0
血 甘 三 ( m l L 清 油 酯m o / )
图- 1 0 正 成 女 的 清 油 酯 频 分 图 2 1 6 名 常 年 子 血 甘 三 的 数 布
18 16 14 12 病例数 10 8 6 4
普通正态分布与标准正态分布
1 ϕ ( z) = e 2π
z2 − 2
,
−∞ < z < ∞
Φ(Z)
φ(Z)
µ+Z σ α
− ( x−µ )2 2σ 2
X
Z α
Z
f ( x) =
1 2π σ
e
,
−∞<x<∞
标准正态分布的累积概率函数
P a<Z ≤b = ( )
∫
b
1 2 π
1 2 − z e2 d z
三、正态分布
Distribution） (Normal Distribution） 1. 概率密度函数
( x−µ )2 2σ 2
f ( x) =
1 2π σ
−
e
,
−∞<x<∞
2. 概率分布函数
F ( x) = ∫
x
−∞
− 1 e 2πσ
( x − µ )2 2σ 2
dx,
−∞ < x < ∞
正态分布特征
N (µ ,σ )
2
标准正态分布
• 标准正态离差
Z=
X −µ
σ
z2 − 2
1 ϕ ( z) = e 2π
,
−∞ < z < ∞
• 标准正态分布：N(0,1) 标准正态分布：
• 此概率密度函数实质上就是正态分布的概 =0， =1的情形 的情形。 率密度函数中μ=0，σ=1的情形。从几何 意义上说， 意义上说，此变换实质上是作了一个坐标 轴的平移和尺度变换， 轴的平移和尺度变换，使正态分布具有平 =0， =1。 均数为μ=0，标准差σ=1。这种变换称为 标准化正态变换。 标准化正态变换。因此将这种具有平均数 =0， =1的正态分布称为 的正态分布称为标准 为μ=0，标准差σ=1的正态分布称为标准 正态分布，记为N 正态分布，记为N（0，1）。
曲线下面积分布规律
68.27%
68.27%
95.00% 99.00%
-2.58 -1.96
95.00% 99.00% 1 1.96 2.58 µ-2.58σ
µ-1.96σ µ-σ µ µ+σ µ+1.96σ µ+2.58σ
-1
0
准 态 布正 分 标 正 分 态 布 面 或 率 积 概 6 .2 % 8 7 - ～ 1 1 μ σ ± 9 .0 % 5 0 - .9 ～.9 1 6 1 6 μ 1 6 ±.9 σ 9 .0 % 9 0 - .5 ～.5 2 8 2 8 μ 2 8 ±.5 σ
二是正态峰 正态峰(mesokurtosis) 二是正态峰(mesokurtosis)
峰态系数是描述随机变量陡峭度的参数， 峰态系数是描述随机变量陡峭度的参数， 分为：正态峰、平阔峰、 分为：正态峰、平阔峰、尖峭峰 。
2 5
2 0
1 5
1 0
正态分布：中间高、 正态分布：中间高、 两边低、 两边低、左右对称
某地调查正常成年男子144 144人 例4.7 某地调查正常成年男子144人，其红细胞数 近似服从正态分布， 近似服从正态分布，获得均数 x = 55.38 × 1012 / L ， 标准差 s = 0.44 × 1012 / L ，试估计该地成年男 子红细胞数的95% 参考值范围。 子红细胞数的95% 参考值范围。
12
/ L)
•
上限为： 上限为：
x + 1.96 s = 55.38 + 1.96(0.44) = 56.24(1012 / L)
正偏态分布： 正偏态分布： 长尾向右 长尾向右延伸
人数
25
负偏态分布： 负偏态分布： 长尾向左 长尾向左延伸
20
15
10
5 2 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
潜伏期(h)
肌红蛋白含量(ug/mL)
图2-2 59名链球菌咽喉炎患者的潜伏期(h)
图2-3 101名正常人的血清肌红蛋白含量
2011年11月 2011年11月21 日
正态分布时， 正态分布时，mean、median、mode相等 、 、 相等
2011年11月 2011年11月21 日
a. 尖峭峰 b.正态峰 正态峰 c.平阔峰 平阔峰
2011年11月 2011年11月21 日
a
ΦZ =P − ( ) ( ∞<Z ≤z) =∫
z
− ∞
1 −1z2 e2 d z 2 π
• 正态分布概率密度曲线在-1～+1的区间内占总面 正态分布概率密度曲线在+1的区间内占总面 积的68.27% 68.27%， 1.96～+1.96的区间内占总面积 积的68.27%，在-1.96～+1.96的区间内占总面积 95%； +2.58的区间内占总面积的 的95%；在-2.58 ～ +2.58的区间内占总面积的 99%。 99%。
• • • （1）正态分布在横轴上方均数处最高。 正态分布在横轴上方均数处最高。 为中心，左右对称。 （2） 正态分布以均数μ为中心，左右对称。 确定。 是位置参数， （3）正态分布由参数μ和σ确定。μ是位置参数， 不变时， 越大，则曲线沿横轴越向右移动； 当 σ 不变时 ， μ 越大 ， 则曲线沿横轴越向右移动 ； 反之， 越小，曲线沿横轴越向左移动。 反之 ， μ 越小 ， 曲线沿横轴越向左移动 。 σ 是变异 度参数， 不变时， 越大，表示数据越分散， 度参数 ， 当 μ 不变时 ， σ 越大 ， 表示数据越分散 ， 曲线越平坦； 越小，表示数据越集中， 曲线越平坦 ； σ 越小 ， 表示数据越集中 ， 曲线越陡 峭。 • （4）正态分布曲线与X轴所围成的面积为1。 正态分布曲线与X轴所围成的面积为1 • （ 5 ） 在 μ±σ 的 区 间 内 占 总 面 积 的 68.27% ， 在 68.27% μ±1.96σ的区间内占总面积的95%；在μ±2.58σ 的区间内占总面积的95 95% 的区间内占总面积的99 99% 的区间内占总面积的99%。