中考数学复习典型压轴题专题讲解20---二次函数与特殊三角形存在型问题
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中考数学复习典型压轴题专题讲解 专题 20 二次函数与特殊三角形存在型问题
【解题方法指导】 解决二次函数中动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想
和数形结合思想进行准确的分类. 对于直角三角形的动点和存在性问题，通常采用“两线一圆法”，常用的解决方案有： （1）与函数结合，常利用互相垂直的两直线的倾斜率的乘积为﹣1，求得一次函数的 解析式再与二次函数联立方程组； （2）利用两点间的坐标公式以及勾股定理，得到一个一元二次或一元一次方程； （3）利用 30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半； （4）将点的坐标转化为线段的长，利用全等或相似的知识来求解. 对于等腰三角形的动点和存在性问题，通常采用“两圆一线法”常用的步骤有： 先确定顶点，讨论底边和腰； 寻找点的存在性，顶点在底边的线段垂直平分线上，底 边两点的寻找可以利用画圆；求点的坐标，可以利用两点间的坐标公式以及勾股定理 或全等三角形知识解决. 【题型剖析】 【类型 1】二次函数与等腰三角形问题 【例 1】如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 交 x 轴于 A(−3,0) ， B(4,0) 两点，与 y 轴交于点 C ， 连接 AC ， BC ．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m ． （1）求此抛物线的表达式；
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分 AC = AQ 、 AC = CQ 、 CQ = AQ 三种情况，分别求解即可； （3）由 PN = PQ sin ∠PQN = 2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) 即可求解．
23 3
【解析】 解：（1）由二次函数交点式表达式得： y = a(x + 3)(x − 4) = a(x2 − x −12) = ax2 − ax −12a ， 即： −12a = 4 ，解得： a = − 1 ，
4 / 60
∽ 表示点 M 纵坐标，求得 MP 的长．根据 MP / /CN 可证 ∆MPQ ∆NCQ ，故有 MP = MQ = 1 ， NC NQ 2
则 AC = AQ = 5 ，
设： QM = MB = n ，则 AM = 7 − n ，
由勾股定理得： (7 − n)2 + n2 = 25 ，解得： n = 3 或 4（舍去 4) ，
故点 Q(1,3) ；
②当 AC = CQ 时，如图 1，
CQ = 5 ，则 BQ = BC − CQ = 4 2 − 5 ，
33
QOB = OC ，∴∠ABC = ∠OCB = 45° = ∠PQN ，
3 / 60
PN = PQ sin ∠PQN =
2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) = −
2 (m − 2)2 + 2
2
，
23 3
6
3
Q − 2 < 0 ，∴ PN 有最大值，
6
当 m = 2 时， PN 的最大值为： 2
则 QM = MB = 8 − 5
2
，
2
故点 Q(5
2 8−5
，
2) ；
2
2
③当 CQ = AQ 时，
联立①②并解得： x = 25 （舍去）；
2
故点 Q 的坐标为： Q(1,3) 或 (5
2 8−5
，
2) ；
2
2
（3）设点 P(m, − 1 m2 + 1 m + 4) ，则点 Q(m, −m + 4) ，
NQ 2
求 t 的值； （3）如图②，连接 AM 交 BC 于点 D ，当 ∆PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．
【分析】（1）求直线 y = −x + 4 与 x 轴交点 B ，与 y 轴交点 C ，用待定系数法即求得抛物 线解析式． （2）根据点 B 、C 坐标求得 ∠OBC = 45° ，又 PE ⊥ x 轴于点 E ，得到 ∆PEB 是等腰直角三 角形，由 PB = 2t 求得 BE = PE = t ，即可用 t 表示各线段，得到点 M 的横坐标，进而用 m
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（2）过点 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为点 M ， PM 交 BC 于点 Q ．试探究点 P 在运动过程中， 是否存在这样的点 Q ，使得以 A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求 出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点 P 作 PN ⊥ BC ，垂足为点 N ．请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？
2
．
3
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要
会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的
长度，从而求出线段之间的关系． 【变式训练】如图，直线 y = −x + 4 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y = −x2 + bx + c 经过 B ，C 两点，与 x 轴另一交点为 A ．点 P 以每秒 2 个单位长度的速度在线段 BC 上 由点 B 向点 C 运动（点 P 不与点 B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点 P 作 x 轴垂线 交 x 轴于点 E ，交抛物线于点 M ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点 P 作 y 轴垂线交 y 轴于点 N ，连接 MN 交 BC 于点 Q ，当 MQ = 1 时，
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同理可得直线 AC 的表达式为： y = 4 x + 4 ，
3
设直线 AC 的中点为 K (− 3 ， 2) ，过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为 − 3 ，
2
4
同理可得过点 K 与直线 AC 垂直直线的表达式为： y = − 3 x + 7 … ②，
48
①当 AC = AQ 时，如图 1，
3
则抛物线的表达式为 y = − 1 x2 + 1源自文库x + 4 ；
33
（2）存在，理由： 点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 (−3,0) 、 (4,0) 、 (0, 4) ， 则 AC = 5 ， AB = 7 ， BC = 4 2 ， ∠OBC = ∠OCB = 45° ， 将点 B 、 C 的坐标代入一次函数表达式： y = kx + b 并解得： y = −x + 4…①，
【解题方法指导】 解决二次函数中动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想
和数形结合思想进行准确的分类. 对于直角三角形的动点和存在性问题，通常采用“两线一圆法”，常用的解决方案有： （1）与函数结合，常利用互相垂直的两直线的倾斜率的乘积为﹣1，求得一次函数的 解析式再与二次函数联立方程组； （2）利用两点间的坐标公式以及勾股定理，得到一个一元二次或一元一次方程； （3）利用 30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半； （4）将点的坐标转化为线段的长，利用全等或相似的知识来求解. 对于等腰三角形的动点和存在性问题，通常采用“两圆一线法”常用的步骤有： 先确定顶点，讨论底边和腰； 寻找点的存在性，顶点在底边的线段垂直平分线上，底 边两点的寻找可以利用画圆；求点的坐标，可以利用两点间的坐标公式以及勾股定理 或全等三角形知识解决. 【题型剖析】 【类型 1】二次函数与等腰三角形问题 【例 1】如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 交 x 轴于 A(−3,0) ， B(4,0) 两点，与 y 轴交于点 C ， 连接 AC ， BC ．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m ． （1）求此抛物线的表达式；
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分 AC = AQ 、 AC = CQ 、 CQ = AQ 三种情况，分别求解即可； （3）由 PN = PQ sin ∠PQN = 2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) 即可求解．
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【解析】 解：（1）由二次函数交点式表达式得： y = a(x + 3)(x − 4) = a(x2 − x −12) = ax2 − ax −12a ， 即： −12a = 4 ，解得： a = − 1 ，
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∽ 表示点 M 纵坐标，求得 MP 的长．根据 MP / /CN 可证 ∆MPQ ∆NCQ ，故有 MP = MQ = 1 ， NC NQ 2
则 AC = AQ = 5 ，
设： QM = MB = n ，则 AM = 7 − n ，
由勾股定理得： (7 − n)2 + n2 = 25 ，解得： n = 3 或 4（舍去 4) ，
故点 Q(1,3) ；
②当 AC = CQ 时，如图 1，
CQ = 5 ，则 BQ = BC − CQ = 4 2 − 5 ，
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QOB = OC ，∴∠ABC = ∠OCB = 45° = ∠PQN ，
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PN = PQ sin ∠PQN =
2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) = −
2 (m − 2)2 + 2
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Q − 2 < 0 ，∴ PN 有最大值，
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当 m = 2 时， PN 的最大值为： 2
则 QM = MB = 8 − 5
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，
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故点 Q(5
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2) ；
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③当 CQ = AQ 时，
联立①②并解得： x = 25 （舍去）；
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故点 Q 的坐标为： Q(1,3) 或 (5
2 8−5
，
2) ；
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（3）设点 P(m, − 1 m2 + 1 m + 4) ，则点 Q(m, −m + 4) ，
NQ 2
求 t 的值； （3）如图②，连接 AM 交 BC 于点 D ，当 ∆PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．
【分析】（1）求直线 y = −x + 4 与 x 轴交点 B ，与 y 轴交点 C ，用待定系数法即求得抛物 线解析式． （2）根据点 B 、C 坐标求得 ∠OBC = 45° ，又 PE ⊥ x 轴于点 E ，得到 ∆PEB 是等腰直角三 角形，由 PB = 2t 求得 BE = PE = t ，即可用 t 表示各线段，得到点 M 的横坐标，进而用 m
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（2）过点 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为点 M ， PM 交 BC 于点 Q ．试探究点 P 在运动过程中， 是否存在这样的点 Q ，使得以 A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求 出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点 P 作 PN ⊥ BC ，垂足为点 N ．请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？
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【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要
会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的
长度，从而求出线段之间的关系． 【变式训练】如图，直线 y = −x + 4 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y = −x2 + bx + c 经过 B ，C 两点，与 x 轴另一交点为 A ．点 P 以每秒 2 个单位长度的速度在线段 BC 上 由点 B 向点 C 运动（点 P 不与点 B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点 P 作 x 轴垂线 交 x 轴于点 E ，交抛物线于点 M ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点 P 作 y 轴垂线交 y 轴于点 N ，连接 MN 交 BC 于点 Q ，当 MQ = 1 时，
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同理可得直线 AC 的表达式为： y = 4 x + 4 ，
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设直线 AC 的中点为 K (− 3 ， 2) ，过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为 − 3 ，
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同理可得过点 K 与直线 AC 垂直直线的表达式为： y = − 3 x + 7 … ②，
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①当 AC = AQ 时，如图 1，
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则抛物线的表达式为 y = − 1 x2 + 1源自文库x + 4 ；
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（2）存在，理由： 点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 (−3,0) 、 (4,0) 、 (0, 4) ， 则 AC = 5 ， AB = 7 ， BC = 4 2 ， ∠OBC = ∠OCB = 45° ， 将点 B 、 C 的坐标代入一次函数表达式： y = kx + b 并解得： y = −x + 4…①，