数学建模配送问题

美国零售业巨头沃尔玛之所以能够迅速成为世界零售业之最,其中一个重要的原因是重视配送系统的建设与完善。

从1962年第一家商场开业以来到目前为止，沃尔玛在美国有1800多家商场，在英国、墨西哥、德国及中国等国家及世界各地有1000多家商场，其中有720多个超级商业中心，沃尔玛在世界各地有110万职工。

沃尔玛1970年在美国建起第一个配送中心，现在这个中心为4个洲32家商场配送。

沃尔玛在2000年仅配送系统投资达1600亿美元，在美国利用自己的配送中心为连锁商场配送商品。

在其他国家沃尔玛利用第三方物流。

沃尔玛的企业理念是：“最低的成本，提供高质量的服务”。

试就下面的两个问题建立数学模型，并给出合理的解答：
1.考虑直送式配送运输，即一个供应点对一个客户的专门送货。

在下面的物流网络图中（图1），寻找从A 点到K 点的最优配送线路。

图一 2．针对一般的分销系统，即系统由分销中心（DC ），多个零售商组成，该系统的运
营成本主要由运输成本与库存成本构成。

分销中心用自己的车辆为各零售商供货，而分销中心由制造商直接供货，假设零售商处的顾客需求是随机的且服从一定的概率分布，不同零售商之间以及同一零售商不同时期之间的需求是独立的。

一般DC 与零售商均采用周期补货策略，补货时刻为周期末，DC 的一个补货周期一般包含多个零售商的补货
周期。

现考虑只有一个分销中心和30个零售商组成的分销系统，配送货物为单一产品。

试就顾客需求服从参数为6的Possion 分布，销售中心位置为（0，0），30个零售商的位置可在[-200，200] [-200，200]的平面上随机产生得到的分销系统的运输、配送策略建立数学模型，并以题目中提供的部分数据为基础，进行数据模拟。

1 w=[
0 5 11 6 inf inf inf inf inf 5 0 4 inf 2 14 inf inf inf
11 4 0 10 inf 8 7 inf inf 6 inf 10 0 inf inf 12 7 inf
inf 2 inf inf 0 13 inf inf inf inf 14 8 inf 13 0 inf inf inf
inf inf 7 12 inf inf 0 10 8 inf inf inf 7 inf inf 10 0 9
inf inf inf inf inf inf 8 9 0
];
n=size(w,1);
w1=w(1,:);
%赋初值
for i=1:n
l(i)=w1(i);
z(i)=1;
end
s=[];
s(1)=1;
u=s(1);
k=1
l
z
while k<n
H G K F E D
C B A 8 10 9 7 4 14 13 2 5
6 7 8 10 11 12
% 更新 l(v) 和 z(v)
for i=1:n
for j=1:k
if i~=s(j)
if l(i)>l(u)+w(u,i) l(i)=l(u)+w(u,i); z(i)=u;
end
end
end
end
l
z
%求v*
ll=l;
for i=1:n
for j=1:k
if i~=s(j)
ll(i)=ll(i);
else
ll(i)=inf;
end
end
end
lv=inf;
for i=1:n
if ll(i)<lv
lv=ll(i);
v=i;
end
end
lv
v
s(k+1)=v
k=k+1
u=s(k)
end
l
z
结果：
lv =
22
v =
9
s =
1 2 4 5 3 8 7 6 9
k =
9
u =
9
l =
0 5 9 6 7 17 16 13 22
z =
1 1
2 1 2
3 3
4 8
2 数学模型建立
物流配送车辆调度实质就是走什么样的路线进行运输的问题，其描述为: 在车辆载重量和各客户需求量已知的前提下，至少派多少辆车才能满足需求且车辆的总行程最短，从而找到最小成本的配送方案，同时要求满足下列条件:
1) 所有配送车辆以配送中心为起点并最终回到配送中心。

2) 每一个客户只被一辆车访问一次，每辆车只能服务一条路线。

3) 每条配送路径上客户需求量之和不能超过车辆的载重量。

4) 每辆车所走的路线不能重复。

综合上述可知，VRP 目标是找到一条最优物流配送路线，使配送费用最小。

V =v0，v1，…，v n}，v0表示配送中心，vi表示客户所在地。

设配送中心可用辆车数目最多为K，每辆
车载重量为Qk，物流配送车辆路径优化算法问题的数学模型为:
其中: nk表示第k 辆车所配送的顾客点数，r ki表示顾客点在路径k 中的顺序为i，且有
最优解的限制条件为:
一、发车规律与泊松分布原理
车辆进入仿真区域是个随机性事件，据此，可将其转化为进入仿真区域的车辆之间的间隔时间是个随机量。

根据车辆进入仿真区域本身的特点，从理论上应满足下列条件：
（1）在不相重迭的时间区间内车辆的产生是互相独立的，即无后效性；
（2）对充分小的△t，在时间区间 [t，t+△t]内有一辆车产生的概率与 t无关，而与区间长度△t成正比，即车辆的产生具有平稳性；
（3）对于充分小的△t，在时间区间 [t，t+△t]内一条车道上有2辆或2辆以上车辆产生的概率极小，即具有普通性。

通过对相关资料提供的车流数据的分析与实地观察数据，在城区、市郊、高速公路等车辆通行较为频繁的地方，车流到达情况接近均匀的波峰分布，指无突起的波峰，但非每个时段经过车辆数都平均（指概率均等）。

交通高峰、平峰、低峰差异在于总车辆数上的变化。

对于特别的交通情况，如突然产生一个巨大的波峰或在交通量小的地方（概率平均分布），当作小概率事件接受。

在此选用常用、简单的概率分布--泊松分布来表示交通流的分布情况。

由于泊松分布的变异系数为D(x) /E(x) =1，则根据变异系数定义，该分布的概率曲线集中度比较均匀，能体现均匀分布。

则有公式：
（1）
n为车辆数；λ为参数。

根据实验采集数据方式得：公式（1）中的参数有相应的物理意义，λ表示在采样时间内的车辆数。

令λ＝α，α则表示车辆平均到达率(veh/s)。

则泊松分布公式（1）转化为：
（2）
公式(2)的物理意义是：在时间区段内有n辆车进入仿真区域的可能性为Pn()。

当固定采样时间，则可通过在不同的断面处测量车辆数的方法确定参数λ。

对于采样时间，若过短，则车辆数会相对少且数据的波动会相对增加，不符合泊松分布的定义；若过长，则车辆数会趋于常数，不能体现出车辆数的随机规律。

经过实验得出：当车流量较大时，采样时间适当选小一点；当车流量较小时，采样时间适当选大一点。