第四章 频率特性分析(2011第9讲)
第四章 频率特性分析(2011第9讲)
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第9讲
③频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统 间接方法。另外,除了电路与频率特性有着密切关系外, 在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。 机械受到一定频率作用力时产生强迫振动,由于内反馈 还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在 频率域中表现的特性。
G(− jω) = G( jω) e− j∠G( jω)
由此得到系统的稳态响应为: xos = tlim xo (t) = →∞
e j[ωt +∠G( jω)] − e− j[ωt+∠G( jω)] = G( jω) Xi = G( jω) Xi sin[ ωt + ∠G( jω)] 2j
第9讲
由频率特性的定义可知,系统的幅频特性和相频特 性分别为:
石家庄铁道大学机械工程学院
第9讲
第四章 频率特性分析 前面我们学习了系统的数学模型:时间域中的微分 方程/差分方程;复数域中的传递函数;今天我们开始 学习系统的另一种数学模型,即频率域中的频率特性。 与传递函数一样,频率特性仅适用于线性定常系统。 频率特性分析方法是控制理论中研究和分析系统特 性的主要方法。它将传递函数从复数域引到频率域, 使系统数学模型的物理概念明确化。那么引入频率特 性分析方法有什么意义呢?
第9讲
3、频率特性的求法 、 本节介绍频率特性的三种求法。 ①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函,据输入谐波信号求得系统的稳态 响应,然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 将传递函数中的 代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω在 σ = 0时的特例,这样,将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替,就得到系统的频率特性 。
频率特性分析
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G(j) n180 (其中n为整数)求出; (4)求乃氏图与虚轴的交点,可利用 Re[G(j)] 0
的关系式求出,也可利用关系式
G(j) n90 (其中n为奇数)求出;
(5) 必要时画出乃氏图中间几点; (6) 勾画出大致曲线。
例 G(j) ej
频率特性分析 (第四章)
时域瞬态响应法:分析控制系统的直接 方法。
xi(t)
g(t)
xo(t)
优点:直观。 缺点:分析高阶系统非常繁琐。
4.1 频率特性概述
频率响应是时间响应的特例,是控制系统 对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法,研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等,是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
频域法的优点: 当系统无法用计算分析建立传递函数时,可用 实验的方法求取频率特性,进而导出传递函数。 频域法的物理意义比较直观,尤其在研究控制 系统中各种各样的振动问题时,频域法能给出明 确的概念和结果。 利用奈氏判据,根据系统的开环频率特性就可以 研究闭环系统的稳定性.
由于频域法靠各个频率分量来描述信号,只适 用于线性定常系统。
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后( < 0)或超前( > 0)特性。
上述定义的幅频特性 A() G(j) 和相频特性 () G(j) 统称为系统 的频率特性,它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
当输入为非正弦的周期信号时,其输 入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠 加,其输出为相应的正弦波输出的叠加, 如下图所示。
第四章系统的频率特性分析
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第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性?解 对于线性定常系统,若输入为谐波函数,则其稳态输出一定是同频率的谐波函数,将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性;将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度,动刚度和静刚度?解 若机械系统的输入为力,输出为位移(变形),则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度;机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度;当0=w 时,系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg),求系统的动刚度,动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解:由频率特性的定义有 G (jw )=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为)(。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-,试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解:先求系统的传递函数,由已知条件有)(。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-(t 0≥))(S X i =s 1)(。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s )(S G =)()(。
S X S X =()()9436++s s )(jw G =jw s s G =)(=()()jw jw ++9436)(w A =)(jw G =22811636ww +•+)(w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
自动控制理论第4章 频率特性分析法
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Im
A(ω): 幅频特性 ω ∠ϕ: 相频特性 ∠ϕ P(ω): 实频特性 ω Q(ω): 虚频特性 ω
G ( jω1 )
A(ω1 )
Q (ω ) A(ω )
G ( jω )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G ( jω 2 ) A(ω2 )
ϕ (ω )
0
P (ω )
ϕ (ω1 )
0
ϕ (ω 2 )
Re
Re
G(jω)复平面上的表示 ω 复平面上的表示
反映出系统在不同频率正弦信号作用下的输入输出特性。 反映出系统在不同频率正弦信号作用下的输入输出特性。式 (6-11)表明了频率特性与传递函数之间的关系,即频率特性 )表明了频率特性与传递函数之间的关系, 只是传递函数的一种特殊形式,可用j 替代G(s)中的 求得。 中的s求得 只是传递函数的一种特殊形式,可用 ω替代 中的 求得。
Amplitude
Step Response
Y2 Y1
100 900 T1 ( s ) = 2 , T2 ( s ) = 2 s + 10 s + 100 s + 30 s + 900 1.0
0.8 0.6
1.2
阻尼系数 : ζ 1 = ζ 2 = 0.5
0.4
0.2
0 0 0.2
自然振荡角频率 : ω n1 = 10rad/s, ω n 2 = 30rad/s
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6
Y2
Step Response
带宽频率 : ω b1 = 15rad/s, ω b 2 = 40rad/s
Y1
可见,系统带宽越大, 可见,系统带宽越大,时域响应 的速度越快。 的速度越快。 采用频率响应来分析控制系统时域 响应的基本思路: 响应的基本思路: • 系统的频率响应很难直接求解, 系统的频率响应很难直接求解, 因此直接在频域内分析系统; 因此直接在频域内分析系统; • 频率分析法的主要任务就是研究 系统频率响应与时域响应之间的 关系, 关系,建立频域指标与时域指标 08:08 之间的定量关系。 之间的定量关系。
第四章 系统的频率特性分析 ppt课件
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参看2阶系统正弦响应曲线
ppt课件
7
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8
二、频率特性的定义
频率特性表达式为
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9
三、频率特性的表示方法
幅频特性、相频特性、幅相特性
G( jw) G( jw) G( jw) A(w )e j (w ) u(w) jv(w)
w :0
A(w) ~ w 为系统的幅频特性。
G 1
[1
w2
w
2 n
]2
[2
w wn
]2
d G 0
dw
d
dw
[1
w2
w
2 n
]2
[2
w wn
]2
0
w2
w
2 n
1 2
2
wr wn 1 2 2
ppt课件
27
ppt课件
28
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29
例4-1 G(s)
5
s(s 1)(2s 1)
画G(jw)曲线。
解
G( jw )
jw(1
5
jw )(1
j5(1 jw )(1 j2w ) j2w ) w(1 w 2 )(1 4w 2 )
15
(1 w 2 )(1 4w 2 )
5(1 j2w 2 ) j w(1 w 2 )(1 4w 2 )
31
ppt课件
32
例 4-4
K G(s) sv (T1s 1)(T2s 1)
K sv(s 1
(T1T2 ) T1 )( s 1
T2 )
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
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(4.1.10)
根据频率特性的定义可知,系统的幅频特性和相频特性分别为:
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
(4.1.11)
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性,它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换,即频谱。 所以,对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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机电学院
2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知,系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法,即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
第四章系统的频率特性分析
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第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析:主要用于分析线性系统的过渡过程,以时间t为独立变量,通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能;依据的数学模型为G(s)频率特性分析:以频率ω为独立变量,通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能;依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想:把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成,输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性(1)频率响应:线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
(frequencyresponse)对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出(频率响应):xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出(频率响应)与输入信号的幅值成正比与输入同频率,相位不同进行laplace逆变换,整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出(频率响应):xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性:稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性:稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)(2)频率特性:对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数,幅值为A(?),相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t,其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义,幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1,系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出(频率响应)故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω,得到频率特性G(jω)。
频率特性分析
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第四章 频率特性分析讲授内容4.1频率特性概述一、频率响应与频率特性线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。
一个稳定的线性定常系统,在谐波函数作用下,其输出的稳态分量(频率响应)也是一个谐波函数,而且其角频率与输入信号的角频率相同,但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位,而随着角频率的改变而改变。
即,若系统的输入为t X t x i i ωsin )(=,则系统的稳态输出为)](sin[)()(0ωϕωω+=t X t x o 。
因此,往往将线性系统在谐波输入作用下的稳态输出称为系统的频率响应。
根据频率响应的概念,可以定义系统的幅频特性和相频特性。
幅频特性:输出信号与输入信号的幅值比称为系统的幅频特性,记为)(ωA 。
它描述了在稳态情况下,当系统输入不同频率的谐波信号时,其幅值的衰减或增大特性。
显然io X X A )()(ωω=。
相频特性:输出信号与输入信号的相位差(或称相移)称为系统的相频特性,记为)(ωϕ。
它描述了在稳态情况下,当系统输入不同频率的谐波信号时,其相位产生的超前[0)(>ωϕ]或滞后[0)(<ωϕ]的特性。
通常将幅频特性)(ωA 和相频特性)(ωϕ统称为频率特性。
根据频率特性和频率响应的概念,还可以求出系统的谐波输入t X t x i i ωsin )(=作用下的稳态响应为)](sin[)()(ωϕωω+=t A X t x i o 。
二、频率特性的求法1.利用频率特性的定义来求取设系统或元件的传递函数)(s G 输入为谐波输入t X t x i i ωsin )(=则系统的输出为])([)(221ωω+=−s X s G L t x i o 系统的稳态输出为)](sin[)()(lim t t X t x x o o t oss ϕωω+==∞→根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。
2.在传递函数中令)(s G ωj s =来求取系统频率特性为ωωj s s G j G ==)()(。
第四章控制系统的频率特性分析课件
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频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工 程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方 法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于 分析和设计系统有如下优点:
(1)不必求解系统的特征根,采用较为简单的图解方法 就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特 性的图形对系统进行分析,因而具有形象直观和计算量少的特 点。
❖数学本质
输入 xi(t) Xi sin(t)
输出
xo(t ) ae jt ae jt G( jw) e j ( )e jt Xi G( jw) e e j ( ) jt Xi
2j
2j
G( jw) Xi sin(t ( ))
Xo() sin(t ())
式中:Xo(ω) 为输出正弦信号的幅值,Φ(ω)为输出正弦
当在0~变化时,向量G( j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对应 的向量G( j)H(j)的端点在复平面G( j)H(j)上的运动轨迹就称为幅相 频率特性或 Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或 Nyqusit图。
4-1 频率特性的基本概念
2.伯德图(Bode图) 如将系统频率特性G( j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标
4-0 引言
(2)系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具 有明确的物理意义,它可以用实验的方法来确定,这对于难 以列写微分方程式的元部件或系统来说,具有重要的实际意 义。
(3)可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统,而且还适用于传递函数中含有延迟环节 的系统和部分非线性系统的分析。
所以,
G(
j
)
Xo( )
A( )
Hale Waihona Puke XiG( j) ()
第四章 系统的频率特性分析
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61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示,在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr(Mr)、wb。
1.零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时,闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解:根据回路电压定律有
系统的传递函数为:
系统的频率特性为 :
系统的幅频特性为:
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为:
根据系统频率特性的定义有 ,系统稳态输出为:
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时,测得 系统的输出 ,试确定该系统的参数nω,ξ。 解:系统的闭环传递函数为:
因为,如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下,只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求,此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以,微分环节频率特性的nyquist图是:
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
第4章频率特性分析

System: sys Real: 4.17 Imag: -5.42
Frequency (rad/sec): 0.11
System: sys Real: 8.5
n
C(s) (s)R(s)
Ci
B
D
i1 s si s j s j
B
(s)R(s)(s
j
s j
(
j)R0
1 2j
1 2
(
j)
j[( j ) ]
R0e
2
D
1 2
( j)
j[( j) ]
R0e
2
拉氏反变换,可求得系统的输出为
n
c(t) Ciesit Be j t De j t i 1
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0 r (t
)
线性定常系统 c(t) 图
与其对应的传递函数为
(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
r(t) R0 sin t
R(s) R0 s2 2
4.2.2 频率特性的对数坐标图 常见的对数坐标图见P150表4.2.2。
光盘,第4章的Section1~5。
例 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线 如图所示,确定该系统的传递函数。
G(s)
K (1 1 s) 2 10
K (1 0.1s) 2
s(1 1 s) 2 s(1 5s) 2
0.2
例
绘制系统的开环Nyquist图。
机械工程控制基础ppt课件第4章:频率特性分析资料

微分环节Nyquist图
Im
900 Re
0
微分环节具有恒定的相位超前。
(4)惯性环节
1 传递函数: G ( s ) Ts 1 1 1 arctgT 频率特性: G( j ) 1 jT 1 2T 2 1 幅频特性: A( ) 1 2T 2
2
频率特性: 2 n arctan 2 2 2 2 2 2 n ( n ) ( 2 n )
2 n
振荡环节的Nyquist图 • = 0时 A(0) 1 • = n时 • = 时
1 A( n ) 2
(0) 0
( n ) 90
频率特性分析方法具有如下特点: • 这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响 应来获得系统的动态特性。 • 频率特性有明确的物理意义,可以用实验的方法 获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学 模型的系统或环节,具有非常重要的意义。 • 不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研 究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。
积分环节Nyquist图
Im
Re
积分环节具有恒定的相位滞后。
(3)微分环节
传递函数: G ( s ) s j 2 0 90 频率特性: G( j ) j e 幅频特性: A( ) 相频特性: () = 90° 实频特性: P( ) 0
虚频特性: Q( )
幅频特性:A( )
1 9 2
(1 )( 4 )
2 2 1 1 1
1 相频特性: ( ) tg 3 90 tg tg 2
例:若输入为 2 sin3t时,确定系统的传递函 数 3 为G ( s ) 的稳态输出。 2s 1
第4章 频域特性分析

二、 频率特性及其求法
1.定义: 频率特性就是指线性系统或环节在正弦函数作用 下,稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又 称正弦传递函数。频率特性是个复数,可分别用 幅值和相角来表示。 频率特性一般可通过以下三种方法得到: (1) 根据已知系统的微分方程或传递函数,把 输入以正弦函数代入,求其稳态解,取输出稳态 分量和输入正弦函数的复数之比即得。 (2) 根据传递函数来求取。 (3) 通过实验测得。
右边第一项为稳态分量,第二项为瞬态分量。 例系数A(ω)以及输入输出间的相位角φ(ω), 两个 量都是频率 ω的函数,并与系统参数 k、c有关。 随时间 t ∞ , 瞬态分量衰减为零,所以稳态位移 输出为 1k
x t 1 T
2 2
F sin t arctgT
AF sin T X sin T
XiK T K X i w t 有 x o (t ) sin( wt arctgTw) e T 2 2 T w 1 1 T 2 w2
稳态响应 瞬态响应
K X o ( w) A ( w ) Xi 频率特性: 1 T 2 w2 w arctgTw
幅频特性 相频特性
(2). 根据传递函数来求取。 G ( s )
s jw
G ( jw)
以jw代替s由传递函数得到的频率特性,对 线性定常系统普遍适用。
K 例:已知系统传函 G( s) 。求其频率特性。 Ts 1
K K (1 jTw) 解:由 G ( jw) G ( s ) s jw 1 jTw 1 T 2 w 2 K 虚部 G ( jw) , G jw arctg arctgTw 实部 1 T 2 w2
第四章 频率特性分析解析

以R-C电路为例,说明频率特性的物理
R
意义。如右图所示电路的传递函数为:
Uo (s) G(s) 1
ui
Ui (s)
1 RCs
C uo
设输入电压 ui (t) Asin t
U o ( j) G( j) 1 1
U i ( j)
1 RCj 1 Tj
图5-3 R-C电路
式中 T=RC G(jω) 称为电 路的频率特性。
— 稳态输出信号的相位
频率特性
线性定常系统在谐波输入信号作用下的频率 响应与输入信号频率的关系称为频率特性,它包 括幅频特性和相频特性。
系统的频率响应幅值与谐波输入信号幅值之 比随输入信号频率变化的关系称为幅频特性,即
A X o G j
Xi
G j
系统的频率响应相位与谐波输入信号相位之 差 (ω)随输入信号频率变化的关系称为相频特性。
❖ 频率响应与输入谐波信号之间存在相位差 (ω),其相 位差 (ω)随输入信号的频率ω的变化而改变。
❖ 即输出信号与输入信号的幅值比和相位差都是频率ω的 非线性函数。
频率响应演示
6 4 2 幅值 0 -2 -4 -6 -8
0
红 —输 入 , 蓝 —全 响 应 , 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
频率特性记作 A(ω)·∠ (ω)
频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取;
2. 将系统传递函数G(s)中的s换为jω来求取; 3. 用试验方法求取。
当输入信号xi t
Xi
sin
t时,X i s
X i s2 2
则输出为:xos t
AX i
sin t
,X o s
AX i s sin cos
第四章 频率特性分析

基本要求
频率特性分析
1.掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应 函数和微分方程之间的相互关系;掌握频率特性和频率响应的求 法。
2.掌握频率特性的奈氏图和Bode图的组成原理,熟悉典型环节的奈氏 图和Bode图的特点及其绘制,掌握一般系统的奈氏图和Bode图的 特点和绘制。 3.掌握频域中性能指标的定义和求法;了解频域性能指标与系统性能 的关系。
奈氏图
dB
40 20
20lg G
A() G( j) 1
G - 20 - 40 - 60
0.1 1 1 10
对数幅频特性: L( ) 0 相频特性:
G( j )
10 100 (s-1)
Bode图
4.3 系统的频率特性
4.3.1 绘制系统奈氏图 1.奈氏图的一般形状
1 (1 jT ) 频率特性: G( j ) 1 jT 1 T 2 2 1 实频特性: u ( ) 1 T 2 2 T 虚频特性: v( ) 1 T 2 2
1 Ts 1
Im
G ( j ) K
K 2
Re
奈氏图
dB - 20 - 40
3.用试验方法求取
根据频率特性的定义,首先,改变输入谐波信号 ( ) 的频 jt 率ω ,并测出与此相应的稳态输出的幅值 X o ( ) 与相移xi e 。然 后,作出幅值比 X o ( ) / X i 对频率ω 的函数曲线,此即幅频特性曲 线;作出相移 ( ) 对频率ω 的函数曲线,此即相频特性曲线。 最后,对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性。
X i s2 2
根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。
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ϕ(ω) = −arctan Tω
第9讲
Xo (ω) 1 = 幅频特性:A(ω) = Xi 1+ T 2ω2
相频特性: (ω) = −arctan Tω ϕ 当ω取不同的值时,系统的幅频特性和相频特性如 下图4.1.2所示:
第9讲
从上图可以看出,频率特性表示了在正弦输入作用下, 系统输入量的频率从0变化到无穷时,稳态输出量与输入 量的幅值和相位的变化规律。当输入信号的频率较低时, 输出信号的幅值与输入信号的幅值、相位几乎相等 (ω=0时相等)。随着ω的增高,输出信号的幅值迅速 减小,相位滞后则随之增加。当ω=∝时,输出信号的幅 值趋向于零,而相位滞后接近900。
G(− jω) = G( jω) e− j∠G( jω)
由此得到系统的稳态响应为: xos = tlim xo (t) = →∞
e j[ωt +∠G( jω)] − e− j[ωt+∠G( jω)] = G( jω) Xi = G( jω) Xi sin[ ωt + ∠G( jω)] 2j
第9讲
由频率特性的定义可知,系统的幅频特性和相频特 性分别为:
G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) = A(ω)e jϕ(ω)
从上面的分析可以看出,传递函数与频率特性的关系 为:
G( jω) = G(s) s= jω
第9讲
G( jω) = G(s) s= jω
传递函数的复变量s用jω代替后,传递函数就变 为频率特性。它是传函的特例,是定义在复平面虚轴 上的传递函数。频率特性的量纲就是传递函数的量纲, 也是输出信号与输入信号的量纲之比。它同前面介绍 的微分方程、传递函数、脉冲响应函数等一样,也是 线性控制系统的数学模型。
第9讲
4.1 频率特性概述 1、频率响应与频率特性 、 ⑴频率响应的定义 线性定常系统对谐波输入的稳态响应为频率响应。 确切地说频率响应是指正弦输入情况下系统的稳态响应。 当输入正弦信号时,线性系统输出稳定后也是正弦信号, 其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同;输 出幅值和输出相位按照系统传递函数的不同,随着输入 正弦信号频率的变化而有规律的变化。
第9讲
①使用频率特性分析法可将任意信号分解为叠加的 谐波信号(对信号进行傅立叶级数分解得到的一系列非 基波频率的各次波),其中,可将周期信号分解为叠加 的频谱离散的谐波信号,将非周期信号分解为叠加的频 谱连续的谐波信号,从而通过对不同频率的谐波信号的 响应特性的研究取代关于系统对任何信号的响应特性的 研究。 ②对于无法利用分析法求得传递函数或微分方程的 系统,可以先求出其频率特性,进而求出其传递函数。 同时,在系统微分方程或传递函数已知的情况下,也可 以经试验求出系统的频率特性,对系统的传递函数进行 检验和修正。
v(ω) A(ω) = u (ω) + v (ω),ϕ(ω) = arctan u(ω)
2 2
系统的频率特性可根据定义,由实验方法求得。对 系统输入一个频率可变的正弦信号,不断改变输入频 率,测得相应的幅值比、相位差,分别绘出幅值比、 相位差与频率的变化曲线,即得到系统的频率特性。
第9讲
2、频率特性与传递函数的关系 、 设系统传递函数的一般形式为:
石家庄铁道大学机械工程学院
第9讲
第四章 频率特性分析 前面我们学习了系统的数学模型:时间域中的微分 方程/差分方程;复数域中的传递函数;今天我们开始 学习系统的另一种数学模型,即频率域中的频率特性。 与传递函数一样,频率特性仅适用于线性定常系统。 频率特性分析方法是控制理论中研究和分析系统特 性的主要方法。它将传递函数从复数域引到频率域, 使系统数学模型的物理概念明确化。那么引入频率特 性分析方法有什么意义呢?
第9讲
⑵频率响应的求法 不失一般性,设系统的传递函数中比例系数K为1,则
G(s) = 1 ,系统的稳态响应为: Ts +1
xo (t) =
Xi 1+ T ω
2 2
sin( ωt − arctan Tω)
若对系统输出、输入正弦信号的幅值比A(ω),相位 φ(ω)差进行考查,则发现:其输出谐波的幅值和相位 与系统的参数和输入正弦信号的特性有关。在线性系统 结构给定的情况下,当输入正弦谐波信号时,其稳态输 出与输入的幅值比是输入信号频率ω的函数,称其为系 统的幅频特性:
A(ω) = Xo (ω) 1 = Xi 1+ T 2ω2
第9讲
Xo (ω) 1 = 幅频特性:A(ω) = Xi 1+ T 2ω2
显然,它描述了系统在稳态条件 稳态条件下,当系统输入不 稳态条件 同频率的谐波信号时,其幅值的衰减或增大特性;稳态 输出信号与输入信号的相位差φ(ω)也是ω的函数,称其 为系统的相频特性,它描述了系统在稳态条件 稳态条件下,当系 稳态条件 统输入不同频率的谐波信号时,其相位产生的超前或滞 后。规定φ(ω)按逆时针方向旋转为正值。对于物理系统, 相位一般是滞后的,相频特性为:
xo (t) = A(ω) sin[ ωt +ϕ(ω)]
第9讲
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如右图 4.1.1所示:
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形 下面举例说明系统的频率响应。
第9讲
例1 设系统的传递函数为 G(s) = 输入信号为 xi (t) = Xi sin ωt
Xiω K 得 Xo (s) = Xi (s)G(s) = 2 2 ⋅ s + ω Ts +1
第9讲
xo (t) =
Xi K 1+ T 2ω2
sin( ωt − arctan Tω)
从上式可知,系统的稳态响应的幅值与系统的参数 即比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 Xi 、频 率 ω有关;稳态响应的频率不变,产生的相位差为:
ϕ(ω) = −arctan Tω
显然,系统的频率响应只是时间响应的一个特例, 它提供了系统本身特性的重要信息,且随着输入谐波 幅值、频率的不同,系统稳态响应的幅值和相位也不 相同。
K Ts +1
经拉氏逆变换得系统输出为:
xo (t) = Xi KTω 1+ T ω
2 2 t − ⋅e T
+
Xi K 1+ T 2ω2
sin( ω,瞬态响应项衰 减为零,输出只保留其稳态响应:
xo (t) = Xi K 1+ T 2ω2 sin( ωt − arctan Tω)
A(ω) = Xo (ω) G( jω) Xi = = G( jω) ,ϕ(ω) = ωt + ∠G( jω) − ωt = ∠G( jω) Xi Xi
由于对系统传递函数而言,当 s = σ + jω 中 σ = 0时,
G s = jω,可得: (s) s= jω = G( jω) 也是一个复数,可以写成:
*
s= jω =G( jω) ⋅
Xi = 2j
X iω X iω B = G(s) (s + jω) s=− jω =G(s) (s − jω)(s + jω) s − jω Xi Xi − j∠G( jω) = G(− jω) ⋅ = G( jω) e ⋅ −2j −2j
s=− jω =
上式中,因 G( jω)与 G(− jω) 互为共轭(幅值等相位反),
第9讲
③频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统 间接方法。另外,除了电路与频率特性有着密切关系外, 在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。 机械受到一定频率作用力时产生强迫振动,由于内反馈 还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在 频率域中表现的特性。
第9讲
3、频率特性的求法 、 本节介绍频率特性的三种求法。 ①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函,据输入谐波信号求得系统的稳态 响应,然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 将传递函数中的 代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω在 σ = 0时的特例,这样,将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替,就得到系统的频率特性 。
对于稳定的系统,其瞬态分量当ω→∝时衰减为零, 得系统的稳态响应为: x (t) = Be jωt + B*e− jωt
o
第9讲
②若系统含有k重极点 si,由 L [t ] =
n
−1
n! s
n+1
得:
n! L [t e ] = (s − si )n+1
−1 n sit
系统的输出中将含有 t k e j (k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅k −1)这样一些项。
Ai B B* ) Xo (s) = ∑ +( + s − jω s + jω i =1 s − si
n
s 式中, i为系统特征方程的特征根,i、B、B∗ 为待定系 A
数( B、 B∗ 互为共轭复数),从而得: 和
xo (t) = ∑ Ai esit + (Be jωt + B*e− jωt )
i=1 n
下面求其输出。
第9讲
Xiω bmsm + bm−1sm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b s + b0 1 Xo (s) = Xi (s)G(s) = 2 ⋅ s + ω2 ansn + an−1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0
①不失一般性,设系统的传递函数的所有极点都是 互不相同的实数,即无重根,则上式可以写成:
第9讲
对于稳定的线性定常系统,其响应包含瞬态响应和 稳态响应。若对其输入一谐波信号: xi (t) = Xi sinωt 其中 X i 为输入谐波的幅值系数。 由微分方程的解的理论知,系统的输出为同一频率 的谐波信号,但其幅值和相位发生了变化:输出谐波的 输出谐波的 幅值与输入谐波的幅值成正比,为输入谐波频率ω的非 幅值 输出谐波的相位与输入谐波的幅值无关, 线性函数 A(ω) ,输出谐波的相位 输出谐波的相位 它与输入谐波的相位之差也是输入谐波频率ω的非线性 函数ϕ(ω),即线性定常系统对谐波输入的响应为: