第四章 频率特性分析(2011第9讲)

第9讲
③频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统 间接方法。另外，除了电路与频率特性有着密切关系外， 在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。 机械受到一定频率作用力时产生强迫振动，由于内反馈 还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在 频率域中表现的特性。
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①使用频率特性分析法可将任意信号分解为叠加的 谐波信号（对信号进行傅立叶级数分解得到的一系列非 基波频率的各次波），其中，可将周期信号分解为叠加 的频谱离散的谐波信号，将非周期信号分解为叠加的频 谱连续的谐波信号，从而通过对不同频率的谐波信号的 响应特性的研究取代关于系统对任何信号的响应特性的 研究。 ②对于无法利用分析法求得传递函数或微分方程的 系统，可以先求出其频率特性，进而求出其传递函数。 同时，在系统微分方程或传递函数已知的情况下，也可 以经试验求出系统的频率特性，对系统的传递函数进行 检验和修正。
A(ω) = Xo (ω) G( jω) Xi = = G( jω) ,ϕ(ω) = ωt + ∠G( jω) − ωt = ∠G( jω) Xi Xi
由于对系统传递函数而言，当 s = σ + jω 中 σ = 0时，
G s = jω,可得： (s) s= jω = G( jω) 也是一个复数，可以写成：
G(− jω) = G( jω) e− j∠G( jω)
由此得到系统的稳态响应为： xos = tlim xo (t) = →∞
e j[ωt +∠G( jω)] − e− j[ωt+∠G( jω)] = G( jω) Xi = G( jω) Xi sin[ ωt + ∠G( jω)] 2j
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由频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特 性分别为：
对于稳定的系统，其瞬态分量当ω→∝时衰减为零， 得系统的稳态响应为： x (t) = Be jωt + B*e− jωt
o
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②若系统含有k重极点 si，由 L [t ] =
n
−1
n! s
n+1
得：
n! L [t e ] = (s − si )n+1
−1 n sit
系统的输出中将含有 t k e j (k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅k −1)这样一些项。
石家庄铁道大学机械工程学院
第9讲
第四章 频率特性分析 前面我们学习了系统的数学模型：时间域中的微分 方程/差分方程；复数域中的传递函数；今天我们开始 学习系统的另一种数学模型，即频率域中的频率特性。 与传递函数一样，频率特性仅适用于线性定常系统。 频率特性分析方法是控制理论中研究和分析系统特 性的主要方法。它将传递函数从复数域引到频率域， 使系统数学模型的物理概念明确化。那么引入频率特 性分析方法有什么意义呢？
第9讲 讲
复习第三章内容
3.1时间响应及其组成 3.2典型输入信号 3.3一阶系统 一阶系统的单位脉冲响应、 一阶系统的单位脉冲响应、一阶系统的单位阶跃 响应、 响应、一阶系统的单位斜坡响应 3.4 二阶系统 二阶系统的单位脉冲响应、 单位阶跃响应； 二阶系统的单位脉冲响应 、 单位阶跃响应 ； 系统 响应的性能指标；具有零点的二阶系统分析； 响应的性能指标 ； 具有零点的二阶系统分析 ； 系统应 用举例 3.5高阶系统的响应分析 3.6系统误差分析与计算 3.7 δ函数在时间响应中的作用
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对于稳定的线性定常系统，其响应包含瞬态响应和 稳态响应。若对其输入一谐波信号： xi (t) = Xi sinωt 其中 X i 为输入谐波的幅值系数。 由微分方程的解的理论知，系统的输出为同一频率 的谐波信号，但其幅值和相位发生了变化：输出谐波的 输出谐波的 幅值与输入谐波的幅值成正比，为输入谐波频率ω的非 幅值 输出谐波的相位与输入谐波的幅值无关， 线性函数 A(ω) ,输出谐波的相位 输出谐波的相位 它与输入谐波的相位之差也是输入谐波频率ω的非线性 函数ϕ(ω)，即线性定常系统对谐波输入的响应为：
K Ts +1
经拉氏逆变换得系统输出为：
xo (t) = Xi KTω 1+ T ω
2 2 t − ⋅e T
+
Xi K 1+ T 2ω2
sin( ωt − arctan Tω)
因系统是稳定的，故随着时间的推移，瞬态响应项衰 减为零，输出只保留其稳态响应：
xo (t) = Xi K 1+ T 2ω2 sin( ωt − arctan Tω)
实部和虚部之和，即：
G( jω) = Re[G( jω)] + Im G( jω)] = u(ω) + jv(ω) [
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G( jω) = Re[G( jω)] + Im G( jω)] = u(ω) + jv(ω) [
上式中， (ω) 是频率特性的实部，称为实频特性（测 u 试技术中称为同相分量），(ω)是频率特性的虚部，称为 v 虚频特性（测试技术中称为异相分量）。 显然有： u(ω) = A(ω) cosϕ(ω), v(ω) = A(ω) sin ϕ(ω)
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4.1 频率特性概述 1、频率响应与频率特性 、 ⑴频率响应的定义 线性定常系统对谐波输入的稳态响应为频率响应。 确切地说频率响应是指正弦输入情况下系统的稳态响应。 当输入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦信号， 其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同；输 出幅值和输出相位按照系统传递函数的不同，随着输入 正弦信号频率的变化而有规律的变化。
v(ω) A(ω) = u (ω) + v (ω),ϕ(ω) = arctan u(ω)
2 2
系统的频率特性可根据定义，由实验方法求得。对 系统输入一个频率可变的正弦信号，不断改变输入频 率，测得相应的幅值比、相位差，分别绘出幅值比、 相位差与频率的变化曲线，即得到系统的频率特性。
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2、频率特性与传递函数的关系 、 设系统传递函数的一般形式为：
Xo (s) bmsm + bm−1sm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b s + b0 1 G(s) = = Xi (s) ansn + an−1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0
当输入为 xi (t) = Xi sin ωt 时，输出函数的拉氏变换为：
Xiω bmsm + bm−1sm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b s + b0 1 Xo (s) = Xi (s)G(s) = 2 ⋅ s + ω2 ansn + an−1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0
*
s= jω =G( jω) ⋅
Xi = 2j
X iω X iω B = G(s) (s + jω) s=− jω =G(s) (s − jω)(s + jω) s − jω Xi Xi − j∠G( jω) = G(− jω) ⋅ = G( jω) e ⋅ −2j −2j
wk.baidu.coms=− jω =
上式中，因 G( jω)与 G(− jω) 互为共轭(幅值等相位反),
下面求其输出。
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Xiω bmsm + bm−1sm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b s + b0 1 Xo (s) = Xi (s)G(s) = 2 ⋅ s + ω2 ansn + an−1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0
①不失一般性，设系统的传递函数的所有极点都是 互不相同的实数，即无重根，则上式可以写成：
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xo (t) =
Xi K 1+ T 2ω2
sin( ωt − arctan Tω)
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数 即比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 Xi 、频 率 ω有关；稳态响应的频率不变，产生的相位差为：
ϕ(ω) = −arctan Tω
显然，系统的频率响应只是时间响应的一个特例， 它提供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波 幅值、频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不 相同。
A(ω) = Xo (ω) 1 = Xi 1+ T 2ω2
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Xo (ω) 1 = 幅频特性：A(ω) = Xi 1+ T 2ω2
显然，它描述了系统在稳态条件 稳态条件下，当系统输入不 稳态条件 同频率的谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性；稳态 输出信号与输入信号的相位差φ(ω)也是ω的函数，称其 为系统的相频特性，它描述了系统在稳态条件 稳态条件下，当系 稳态条件 统输入不同频率的谐波信号时，其相位产生的超前或滞 后。规定φ(ω)按逆时针方向旋转为正值。对于物理系统， 相位一般是滞后的，相频特性为：
ϕ(ω) = −arctan Tω
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Xo (ω) 1 = 幅频特性：A(ω) = Xi 1+ T 2ω2
相频特性： (ω) = −arctan Tω ϕ 当ω取不同的值时，系统的幅频特性和相频特性如 下图4.1.2所示：
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从上图可以看出，频率特性表示了在正弦输入作用下， 系统输入量的频率从0变化到无穷时，稳态输出量与输入 量的幅值和相位的变化规律。当输入信号的频率较低时， 输出信号的幅值与输入信号的幅值、相位几乎相等 （ω=0时相等）。随着ω的增高，输出信号的幅值迅速 减小，相位滞后则随之增加。当ω=∝时，输出信号的幅 值趋向于零，而相位滞后接近900。
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综上所述，可对频率特性作如下定义：线性定常系 统的频率特性是在稳态条件下，稳态输出正弦信号与输 入正弦信号的复数比，它用 G( jω)表示，即：
G( jω) = A(ω)e jϕ(ω) = A(ω) ⋅ ∠ϕ(ω)
亦即频率特性为ω的复变函数，它描述了在不同频 率下系统传递正弦信号的能力。
G( jω) 除了可用指数形式上和幅角形式 幅角形式外，也可写成 幅角形式
G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) = A(ω)e jϕ(ω)
从上面的分析可以看出，传递函数与频率特性的关系 为：
G( jω) = G(s) s= jω
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G( jω) = G(s) s= jω
传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就变 为频率特性。它是传函的特例，是定义在复平面虚轴 上的传递函数。频率特性的量纲就是传递函数的量纲， 也是输出信号与输入信号的量纲之比。它同前面介绍 的微分方程、传递函数、脉冲响应函数等一样，也是 线性控制系统的数学模型。
st
对于稳定的系统，由于系统传递函数的极点的实部为负， st st 而 的增大没有 衰减快，所以 的各项随着ω→∝ tke ej tk 也都要趋于零，系统的稳态响应与不含重极点的情况相 同。
j
下面求待定系数 B、B∗。
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X iω Xω (s − jω) s= jω =G(s) i (s − jω)(s + jω) s + jω X = G( jω) e j∠G( jω) ⋅ i ,同理可得： 2j B = G(s)
xo (t) = A(ω) sin[ ωt +ϕ(ω)]
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系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如右图 4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形 下面举例说明系统的频率响应。
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例1 设系统的传递函数为 G(s) = 输入信号为 xi (t) = Xi sin ωt
Xiω K 得 Xo (s) = Xi (s)G(s) = 2 2 ⋅ s + ω Ts +1
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3、频率特性的求法 、 本节介绍频率特性的三种求法。 ①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函，据输入谐波信号求得系统的稳态 响应，然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 将传递函数中的 代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω在 σ = 0时的特例，这样，将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替，就得到系统的频率特性 。
Ai B B* ) Xo (s) = ∑ +( + s − jω s + jω i =1 s − si
n
s 式中， i为系统特征方程的特征根，i、B、B∗ 为待定系 A
数（ B、 B∗ 互为共轭复数），从而得： 和
xo (t) = ∑ Ai esit + (Be jωt + B*e− jωt )
i=1 n
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⑵频率响应的求法 不失一般性，设系统的传递函数中比例系数K为1，则
G(s) = 1 ，系统的稳态响应为： Ts +1
xo (t) =
Xi 1+ T ω
2 2
sin( ωt − arctan Tω)
若对系统输出、输入正弦信号的幅值比A(ω)，相位 φ(ω)差进行考查，则发现：其输出谐波的幅值和相位 与系统的参数和输入正弦信号的特性有关。在线性系统 结构给定的情况下，当输入正弦谐波信号时，其稳态输 出与输入的幅值比是输入信号频率ω的函数，称其为系 统的幅频特性：