高三基础知识天天练 数学检测1. 人教版
高三基础知识天天练 数学选修4-1-1人教版
选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA， 即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ， 由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32， 所以符合条件的点P 有两个． 答案：两 三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°， 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
高三基础知识天天练2-7. 数学 数学doc人教版
第2模块 第7节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝－1x 2＋2x ＋1的图象是( )解析：间接法，只要抓住定义域{x |x ≠－1}及y <0，即可选出B. 如果用直接法，则把y ＝－1x 2＋2x ＋1变形为y ＝－(x ＋1)－2，它可看成是把y ＝x －2的图象向左平移1个单位，再作关于x 轴对称而得．答案：B2．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )解析：g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x的图象右移1个单位而得．本题考查函数图象的平移法则．答案：C3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析：画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右移动1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象，故选C.答案：C4．设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析：函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，y ＝f (1－x )＝f [－(x －1)]． 把y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象同时都向右平移一个单位，就得到y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象，对称轴y 轴向右平移一个单位得直线x ＝1，故选D.答案：D 二、填空题5．函数y ＝2－xx －1的图象关于点________对称．解析：y ＝2－x x －1＝－1＋1x －1，y ＝2－x x －1的图象是由y ＝1x 的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1)．答案：(1，－1)6．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根的个数是________．解析：a |x |＝|log a x |有意义，则x >0，问题即a x＝|log a x |.画出两个函数y ＝a x ，y ＝|log a x |的图象，则可以得到交点有2个．答案：2 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件： (1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f (x )是奇函数； (3)在[－2,0)上，f ′(x )>0； (4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式． 解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2， 故f (x )的定义域是[－2,2]．由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增函数．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增函数，且f (－1)＝f (1)＝0，f (0)＝0. 故函数y ＝f (x )的一个图象如右图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，x －1，0<x ≤2.8．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|>2. 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2， 由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )的图象可知原不等式的解集为(－∞，5)．[高考·模拟·预测]1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：∵0<12<1，∴y ＝log 12f (x )的图象在(0,1]上递增，在[1,2)上递减(同增异减)．故选C.答案：C2．下列三件事与如下图中吻合最好的顺序为( )①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一段时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(4)(1)(3) D ．(4)(1)(2)解析：根据其速度的变化判断函数图象的单调性可得①②③对应图象为(4)(1)(2)，选D. 答案：D3．如右图所示，一质点P (x ，y )在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x,0)的运动速度V ＝V (t )的图象大致为( )解析：由图可知，当质点P (x ，y )在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0)的速度先由正到0，到负，到0，再到正，故A 错误；投影点Q (x,0)在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点P (x ，y )在开始时沿直线运动，故投影点Q (x,0)的速度为常数，因此C 是错误的，故选B.答案：B4．把函数f (x )＝x 3－3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2，若对任意u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：C 2的解析式为y ＝(x －u )3－3(x －u )－v .由题意对于关于x 的方程(x －u )3－3(x －u )－v ＝x 3－3x ，即3ux 2－3u 2x －3u ＋u 3＋v ＝0对于任意u >0至多只有一个实数解，∴Δ＝9u 4－12u (u 3－3u ＋v )≤0，即v ≥－14u 3＋3u ，令f (u )＝－14u 3＋3u ，则f ′(u )＝－34u 2＋3＝－34(u 2－4)，∴当u ＝2时f (u )取得最大值f (2)＝4.∴v ≥4.故选B.答案：B5．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如下：记y ＝k (x ＋1)＋1，∴y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1有四个交点，故k AB <k <0.∴－13<k <0.答案：(－13，0)6．已知函数f (x )＝m (x ＋1x )的图象与h (x )＝12(x ＋1x )＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a2x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)解法一：设P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，则点P 关于A 点的对称点(x ′，y ′)在函数f (x )的图象上．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋x ＝0，y ′＋y ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y .于是有2－y ＝m (－x －1x )，即得y ＝m (x ＋1x )＋2，∴m ＝12.解法二：易知h (x )经过点(1,3)，故f (x )经过点(－1，－1)，代入得m ＝12.(2)由(1)得f (x )＝12(x ＋1x)，故有g (x )＝12(x ＋1x )＋a 2x ＝12(x ＋a ＋1x)，解法一：g ′(x )＝12(1－a ＋1x 2)．当0<x ≤a ＋1(a ≥－1)时，g ′(x )≤0，∵g (x )在区间(0,2]上为减函数，故有a ＋1≥2，得a ≥3. 即a 的取值范围为[3，＋∞)．解法二：任意取x 1，x 2∈(0,2]，不妨设x 1<x 2. 则g (x 1)－g (x 2)＝12(x 1－x 2)x 1x 2－(a ＋1)x 1x 2>0恒成立．故x 1x 2－(a ＋1)<0，对0<x 1<x 2≤2恒成立． ∴1＋a ≥4，∴a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。
高三数学(文)日日练基础题(含答案)
高三数学（文） 天天练(一)1．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）。
A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －22. 已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于（ ）。
A ．18B ．27C ．36D ．453．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）。
A ．2- B ．2 C ．4- D ．46．已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是（ ）。
A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3) 7．已知简谐运动)3sin(2)(ϕ+π=x x f （2||π<ϕ）的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为A ．6=T ，6π=ϕB ．6=T ，3π=ϕC ．π=6T ，6π=ϕD ．π=6T ，3π=ϕ 8．下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．9．函数y=3x 2-2lnx 的单调递减区间为_________. 10.设向量a 与b 的夹角为θ，)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则cos θ= ．11.已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域. 答案：1.C 2.C 3.108π 4.C 5.D 6.A 7.A 8. 4.6 9.(-√6/6,√6/6) 10.3√10/10 11.（1）π （2）[-√3,1-√3/2]。
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第11模块 第6节[知能演练]一、选择题1．如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )A.2π B.1π C.23D.13解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为22，面积为π(22)2＝π2，故投中正方形区域的概率为1π2＝2π，故选A.答案：A2．在500 mL 的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是( )A ．0.004B ．0.002C ．0.04D ．0.02解析：由于取水样的随机性，所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即P ＝2500＝0.004.故选A.答案：A3．已知Ω＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤6}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29解析：由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性，所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比，即P ＝12×4×212×6×6＝29.故选D.答案：D4．如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3，则()A ．P 1<P 2＝P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1＝P 2＝P 3D ．P 1>P 2＝P 3解析：因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是12.故选C.答案：C 二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是亮红灯的时间全部时间＝亮黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.故填25、115、35.答案：25 115 356．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如右图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S ΔABC ＝92，P ＝S ΔABC S 矩＝924×4＝932.故填932.答案：932三、解答题7．在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？解：石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型的概率公式可以求得概率．记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积＝4010000＝0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.8．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}． (1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠Ø的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝Ø的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x . 因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.要使A ∩B ≠Ø，只需－a ＋b2－1<0，即2a －b ＋2>0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组． 所以A ∩B ≠Ø的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝Ø，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝Ø的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝Ø的概率为P ＝144＝116.[高考·模拟·预测]1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22π C.16D.16π 解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：D2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：如下图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.答案：133．已知如右图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.答案：364．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图所示，可设＝1，＝1，根据题意只要点B在优弧上，劣弧的长度就小于1，由于点B 在圆周上的任意性，故这个概率是优弧的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.故填23. 答案：235．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(Ⅱ) 若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[备选精题]6．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率．解：设AC 长为x ，DB 长为y ，则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1200≤y ≤120120－(x ＋y )≥0设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ， 则⎩⎪⎨⎪⎧40≤x ≤12040≤y ≤120x ＋y ≤120满足条件的点P (x ，y )构成如右图所示的阴影区域，∴P (M )＝S △阴影S △OEF ＝19.。
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第39练任意角（1）目标：理解任意角的概念；能判定任一已知角为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合．一、填空题1.200°是第_____象限角【答案】三2．锐角α的取值范围是__________。
【答案】] 2 0[π，3. 下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．【答案】②⑤【解析】终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．4.在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为________．【答案】2【解析】∵－390°＝－360°＋(－30°)，－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，∴－885°是第三象限角；∵1 351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，∴1 351°是第四象限角；∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴2 012°是第三象限角．5.写出-720°到360°之间与-1068°终边相同的角的集合：__________________________．【答案】{-708°，-348°，12°}【解析】因为-720°到360°之间与-1068°终边相同的角有-708°，-348°，12°，所以-720°到360°之间与-1068°终边相同的角的集合为{-708°，-348°，12°}．6.终边落在坐标轴上的角的集合为___________________________．【答案】{α|α= k·90°，k∈Z}．7.若α与β的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.【答案】k·360°＋60°，k∈Z【解析】β与－120°角的终边互为反向延长线，则β与60°角的终边相同．∴β＝k·360°＋60°，k ∈Z .8.以下四个命题中，正确的命题的个数是_____．（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角终边一定相同；（3）始边与终边重合的角为0°；（4）第二象限角总比第一象限角大．【答案】1【解析】(2）正确，故正确的命题的个数是1个．9.与-1210°终边相同的最小正角和最大负角之和是_______．【答案】100°【解析】与-1210°终边相同的最小正角是230°，最大负角是-130°，故最小正角和最大负角之和是100°．10.若集合A={α|α=30°+k ·360°，k ∈Z }，B={β|β=30°+k ·720°，k ∈Z }，C={γ|γ=30°+k ·180°，k ∈Z }，则集合A 、B 、C 的关系是__________________．【答案】B ≠⊂A ≠⊂C【解析】A={α|α=30°+2k ·180°，k ∈Z }，B={β|β=30°+4k ·180°，k ∈Z }，C={γ|γ=30°+k ·180°，k ∈Z }）所以B ≠⊂A ≠⊂C二、解答题11.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解 (1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同也就是与角147°终边相同．由－720°<k ·360°＋147°<720°，k ∈Z ，解得：k ＝－2，－1,0,1.代入k ·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.12.已知α与-240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 解：由α=k ·360°-240°（k ∈Z ）得α2=k ·180°-120°（k ∈Z ）．若k =2n ，n ∈Z ，则α2=n ·360°-120°，n ∈Z ，所以α2是第三象限角；若k =2n +1，n ∈Z ，则α2=n ·360°+60°，k ∈Z ，所以α2是第一象限角．综上所述，α2是第一或第三象限角．。
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第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
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第3模块 第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
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选修4-1 第2节[知能演练]一、填空题1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆 圆或椭圆2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)， 由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3， 故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．解析：如右图，连接AB ，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ， 又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PBAB， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案： 35．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝ABBD， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)． 答案：2 26．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ， 连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．(1)证明：连结OP ，OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ， 所以OP ⊥AP .因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC .(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ， 所以∠ABE ＝∠ACB .由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝ABBC .故AB 2＝AE ·BC .(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ， 所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .所以AB BC ＝EFAF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .所以AB ＝CD .所以58＝EF6.所以EF ＝308＝154.[高考·模拟·预测]1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3.答案： 33．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.解析：易证△CBA ∽△ABD ， 所以BC AB ＝ABBD ，BD ＝8.答案：84．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.答案：8π5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， 且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ， 故∠EDF ＝∠CDF ，即AD的延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC. 连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.。
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第11模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若二项式(x －2x)n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x )r ＝(－2)r C rn x n －3r2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案：C2．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.答案：D3．在(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 的系数为( )A ．160B ．240C ．360D ．800解析：∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5·(x ＋2)5＝(x 5＋C 15x 4＋…＋1)(x 5＋2C 15x 4＋…＋25)， ∴其展开式中x 项的系数为C 4525＋C 4524＝240.答案：B4．在(1－x )5(1＋x )4的展开式中x 3项的系数为( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：(1－x )5(1＋x )4＝(1－C 15x ＋C 25x 2－C 35x 3＋…)(1＋C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)， ∴x 3项的系数为1×C 34－C 15C 24＋C 25C 14－C 35×1＝4.答案：C 二、填空题5．已知二项式(1－3x )n 的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x 2项的系数是________．解析：令x ＝1，则(1－3x )n ＝(－2)n ， 即(－2)n ＝64，∴n ＝6.又T r ＋1＝C r 6(－3x )r ，则T 3＝C 26(－3x )2＝135x 2，∴(1－3x )n 展开式中含x 2项的系数为135. 答案：1356．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364 三、解答题7．已知(4 41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10， 由通项公式得T r ＋1＝C r10(4·x －14)10－r (x 23)r . ＝C r 10·410－r·x －10－r 4＋23r .令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6，∴含有x 3的项是T 7＝C 610·44·x 3＝53760x 3. (2)∵此展开式共有11项， ∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 510(4x －14)5(x 23)5＝258048x 2512.8．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0， ① ∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0. ② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.[高考·模拟·预测]1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－x －1)r ＝(－1)r C r 5x10－3r(r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10，故选B.答案：B2．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， ∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C. 答案：C3． (1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2，故选D.答案：D4． (x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________解析：T 4＝－C 310x 7y 3，T 8＝－C 710x 3y 7，则x 7y 3与x 3y 7的系数之和为－2C 310＝－240. 答案：－2405．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.答案：7 6．已知(x x ＋23x)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6＝0，∴72－11r ＝0，∴r ＝7211∉N ，∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则72－11r6＝1，∴72－11r ＝6. ∴r ＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 6826x ＝1792x .。
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第4模块 第4节[知能演练]一、选择题1．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i (a ∈R )对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0解析：由题意知a 2－2a ＝0，∴a ＝2或a ＝0. 答案：C2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，z ＝x －yi . 由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yi ＋x －yi ＝4(x ＋yi )(x －yi )＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 2＋y 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，∴zz ＝x －yi x ＋yi ＝x 2－y 2－2xyi x 2＋y 2＝±i . 答案：D3．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i )z ＝4－bi (其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )A ．8B ．－8C ．2D ．－2解析：设z ＝ai (a ≠0)，由(2－i )z ＝4－bi ，得(2－i )×ai ＝4－bi ， 即a ＋2ai ＝4－bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8. 答案：B4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，∵CA →＝CB →＋BA →. ∴CA →对应的复数为(－1－3i )＋(－2－i )＝－3－4i . 答案：D 二、填空题5．已知z ＝(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )，则|z |＝________.解析：|z |＝|(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )|＝|2＋2i |2|4＋5i ||5－4i ||1－i |＝22×4141×2＝2 2.答案：2 26．若复数z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i ，(a ∈R )为纯虚数，则a ＋i 20073－3i＝________.解析：∵z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－3＝0a ＋3≠0，解得a ＝3， ∴a ＋i 20073－3i ＝3－i 3－3i ＝3－i 3(3－i )＝33. 答案：33三、解答题7．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，|z 1|＝2，求z 1.解：设z 1＝a ＋bi ，则z 2＝－a ＋bi ，∵z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，且|z 1|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋bi )(3－i )＝(－a ＋bi )(1＋3i )a 2＋b 2＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1， 则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i .8．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i . 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i .∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，已知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．[高考·模拟·预测]1． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋3i ，所以a ＝－1，b ＝3，故选B.答案：B2．复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i )(2＋3i )－(2－3i )(3－2i )(2＋3i )(2－3i )＝26i13＝2i ，答案为D.答案：D3．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝ ( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：依题意得z ＝(1＋i )(2＋i )＝1＋3i ，故z ＝1－3i .选B. 答案：B4．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i )表示满足i n ＝1的最小正整数n ，∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i )＝4.答案：C5．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )A ．0B ．－5C ．0或－5D ．0或5解析：由已知条件可得z 1z 2＝(a ＋2i )·[a ＋(a ＋3)i ]＝a 2－2(a ＋3)＋(a 2＋5a )i ，又z 1z 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2(a ＋3)>0a 2＋5a ＝0，解得a ＝－5，故选B.答案：B6．若z ＝sin θ－35＋i (cos θ－45)是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．±34B ．±43C ．－34D.34解析：由纯虚数定义知，sin θ＝35，cos θ≠45，∴cos θ＝－45，∴tan θ＝－34.答案：C7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 解析：因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i )i ＝－20－2i ，所以可知复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 答案：－208．若21－i＝a ＋bi (i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 解析：∵21－i＝a ＋bi ，∴1＋i ＝a ＋bi ，∴a ＝b ＝1，∴a ＋b ＝2. 答案：29．若复数m ＋2i1－i (m ∈R ，i 是虚数单位)为纯虚数，则m ＝________.解析：因为m ＋2i 1－i ＝(m ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －2＋(m ＋2)i2为纯虚数，所以m ＝2.答案：2 10．复数1－3i2＋i－(1＋i )2在复平面内的对应点位于第________象限． 解析：1－3i 2＋i －(1＋i )2＝(1－3i )(2－i )5－2i ＝－1－7i 5－2i ＝－1－17i5，所以其对应点位于第三象限．答案：三。
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第2模块 第9节[知能演练]一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元解析：每件获利100(1＋25%)×0.9－100＝100(1.25×0.9－1)＝12.5元． 答案：D2．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种债券面值为1000元，买入价为960元，一年到期本息之和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设三种债券的年收益分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝c <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．c <a <b解析：设年初为1000元，则A 种债券收益40元，B 种债券收益1000960×40≈41.67元．C 种债券收益为20＋10201000×20＝40.4元．∴b >c >a . 答案：C3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x . 答案：B4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000)11%·x (x >4000). 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.答案：C 二、填空题5．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格y ＝8100[1＋(13)13－1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：3006．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．①这几年人民生活水平逐年得到提高；②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；④虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000年～2001年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2001年～2002年上涨速度不是最快的，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④ 三、解答题7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如下图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系为g (x )＝k 2x ，由图象得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12，f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品x 万元， 则股票类投资为20－x 万元．y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x ，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t 2－4t －20)＝－18(t －2)2＋3.所以当t ＝2，即x ＝16时，投资债券16万元，股票4万元时，收益最大，y max ＝3万元． 8．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0， 解得x >2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x ∈N *， 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0， 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N *)， ∴6<x ≤20(x ∈N *)． 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115 (3≤x ≤6，x ∈N *)－3x 2＋68x －115 (6<x ≤20，x ∈N *)， 定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)． 显然当x ＝6时，y max ＝185(元)， 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270(元)．∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．[高考·模拟·预测]1．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：( )A ．200B ．220C ．240D ．260解析：由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分，故选A.答案：A2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．某市出租车收费标准如下： 起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意可得： f (x )＝4．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l 最小＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π5．如右图，一个铝合金窗分为上、下两栏，圆周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a (cm)，b (cm)，铝合金窗的透光部分的面积为S (cm 2)．(1)试用a ，b 表示S ；(2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 解：(1)∵铝合金窗宽为a (cm)，高为b (cm)，a >0，b >0， ∴ab ＝28800. ①又设上栏框内高度为h (cm)，下栏框内高度为2h (cm)，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －183，∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×b －183＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288 ＝28800－2(9a ＋8b )＋288 ＝29088－2(9a ＋8b )． (2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b＝29×8×28800＝2880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝98a ，代入①得a ＝160，从而b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值．答：铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大．[备选精题] 6．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(Ⅰ)将y 表示成x 的函数；(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(Ⅱ)因为y ′＝－8x 3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)， 易知410∈(0,20)．y ，y ′随xy最小值＝y|x＝410＝116，此时x＝410，故在弧AB上存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x＝410 km.。
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第11模块 第4节[知能演练]一、选择题1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上．因此，出现正面向上的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率mn 不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数，在其附近波动，这个常数叫做概率，所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的．由此可知①②③都是不正确的．答案：A2．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：( )A ．0.92B ．0.94C ．0.95D ．0.96解析：由概率的定义可知，检测次数越多越接近概率值． 答案：C3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析：由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对．∴概率为336＝112.答案：C4．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是( )A.29B.1645C.1745D.25解析一：(直接法)．“至少取到1支次品”包括：A ＝“第一次取到次品，第二次取到正品”；B ＝“第一次取到正品，第二次取到次品”；C ＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝2×8＋8×2＋2×110×9＝1745. 解析二：(间接法)“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－8×710×9＝1745. 答案：C 二、填空题5．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.答案：346．定义集合A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，记“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A －B ”为事件E ，“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A ∩B ”为事件F .P (E )为事件E 发生的概率，P (F )为事件F 发生的概率，当a ，b ∈Z ，且a <－1，b ≥1时，设集合A ＝{x ∈Z |a <x <0}，集合B ＝{x ∈Z |－b <x <b }，给出以下判断：①当a ＝－4，b ＝2时，P (E )＝23，P (F )＝13；②总有P (E )＋P (F )＝1成立； ③若P (E )＝1，则a ＝－2，b ＝1；④P (F )不可能等于1.其中所有判断正确的序号为________．解析：对于①，当a ＝－4，b ＝2时，A ＝{x ∈Z |－4<x <0}＝{－3，－2，－1}，B ＝{x ∈Z |－2<x <2}＝{－1,0,1}，A －B ＝{－3，－2}，A ∩B ＝{－1}，P (E )＝23，P (F )＝13，因此①正确；对于②，依题意知，对于集合A 中的任一元素x ，要么x 属于A －B ，要么x 属于A ∩B ，二者必居其一，因此P (E )＋P (F )＝1，②正确；对于③，由P (E )＝1得A ∩B ＝Ø，结合题意分析可知此时b ＝1，a 可以取－2、－3、－4等，因此③不正确；对于④，当a ＝－3，且b ＝4时，A ＝{－2，－1}，B ＝{－3，－2，－1,0,2,3}，此时A ∩B ＝A ，P (F )＝1，因此④不正确．综上所述，其中所有正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题7．同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，因此此事件是不可能事件，其概率为0.(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，它是必然事件，其概率为1.(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数和为7”包含的基本事件有{1,6}，{2,5}，{3,4}，{4,3}，{5,2}，{6,1}共6个，因此P ＝66×6＝16.8．口袋里装有不同的红色球和白色球共36个，且红色球多于白色球．从袋子中取出2个球，若是同色的概率为12，求：(1)袋中红色、白色球各是多少？(2)从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的概率为多少？ 解：(1)令红色球为x 个，则依题意得C 2xC 236＋C 236－x C 236＝12，所以2x 2－72x ＋18×35＝0，得x ＝15或x ＝21， 又红色球多于白色球，所以x ＝21， 所以红色球为21个，白色球为15个．(2)设从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ， 则P (A )＝1－P (B )＝1－C 315C 336＝191204.[高考·模拟·预测]1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( )A.112 B.110 C.325D.12125解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块． ∴概率为8×121000＝12125.答案：D2．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )A.110 B.15 C.35D.45解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4＝20，甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，∴恰有一个被选中的概率为310＋310＝35. 答案：C3．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．解析：依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：0.54．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________． 解析：基本事件有6×6×6＝216个，点数依次成等差数列的有： (1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个． (3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个．∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.答案：1125．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如右图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P (B )＝1－220＝910.[备选精题]6．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．解：(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因此每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.概型．用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.2.。
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第1模块 第1节[知能演练]一、选择题1．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 为{2,3}，{1,2,3}，共两个． 答案：B2．已知集合P ＝{(x ，y )||x |＋|y |＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，则( )A ．P ⊆QB ．P ＝QC ．P ⊇QD ．P ∩Q ＝Ø 答案：A3．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A ．{a |1≤a ≤9}B ．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9}D ．Ø解析：若2a ＋1>3a －5，即a <6时，A ＝Ø⊆B ； 若2a ＋1＝3a －5，即a ＝6时，A ＝{x |x ＝13}⊆B ； 若2a ＋1<3a －5，即a >6时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤22，解得6<a ≤9.综上可得a ≤9. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪ (∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R ，数轴上画图可得a ≥2，故选C. 答案：C 二、填空题5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.答案：26．对于集合M 、N 定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{t |t ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(－x )}，则A ⊕B ＝________.解析：∵t ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94≥－94，∴A ＝{t |t ≥－94}．又由B 可知y ＝lg(－x )，则－x >0，得x <0， ∴B ＝{x |x <0}，∴A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝{x |x <－94}，∴A ⊕B ＝(－∞，－94)∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－94)∪[0，＋∞)三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}， 若m ＝0，B ＝Ø⊆A ；若m ≠0，B ＝{x |x ＝－1m}，由B ⊆A 得－1m ＝2，或－1m ＝3，解得m ＝－12，m ＝－13， 因此实数m 的值组成的集合是{0，－12，－13}．8．已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)若m ＝3，求E ∩F ；(2)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围； (3)若E ∩F ＝Ø，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4} ＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.∴综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∩F ＝F ≠Ø，不满足条件．②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∩F ＝Ø，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－6，1＋m ≥4，m >0，解得m ≥7.∴综上，实数m 的取值范围为[7，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：∵阴影部分M ∩N ＝{x |－2≤x －1≤2}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{1,3}，∴阴影部分所示的集合的元素共有2个，故选B.答案：B 2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，故N M ，所以选B. 答案：B3．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.解析：由题意得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，所以B ＝{2,4,6,8}． 答案：{2,4,6,8}4．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域，有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于整数集Z ，a ＝1，b ＝2时，a b ＝12∉Z ，故整数集不是数域，①错；对于满足Q ⊆M 的集合M ＝Q ∪{2},1＋2∉M ，M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a ∈P 且a ≠0，依定义，2a,3a,4a …均是P 中的元素，故P 中有无数个无素，③正确；类似数集F ，{a ＋b 3|a ，b ∈Q }，{a ＋b 5|a ，b ∈Q }等均是数域，④正确．答案：③④5．已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝{x |x －2ax －(a 2＋1)<0}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}． ∴A ∩B ＝{x |4<x <5}， (2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝Ø时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1， 此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠Ø，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a ＋1≠2，即a ≠13.当3a ＋1>2，即a >13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a ＋1<2，即a <13时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1. ∴a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．[备选精题]6．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠Ø，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －12m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。
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第5模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 解法一：∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n3n ＋1＝2[3(n ＋1)＋1](3n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．解法二：研究函数f (x )＝2x3x ＋1(x >0)的单调性，f (x )＝2x ＋23－233x ＋1＝23(3x ＋1)－233x ＋1＝23－23(3x ＋1)，∴f (x )＝2x3x ＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴f (n ＋1)>f (n )，故a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列． 答案：A2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.3115 解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝169，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.答案：A3．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为( )A.n ＋1nB.n ＋3n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n ＋3n ＋2解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋22＋1，f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2(1－14)(1－19)(1－116)＝54＝3＋23＋1，可猜测f (n )＝n ＋2n ＋1.答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8也适合上式，∴a n ＝2n －10，又5<2k －10<8，152<k <9，∴k ＝8.答案：B 二、填空题5．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ， 0≤a n <12，2a n －1， 12≤a n <1，a 1＝35，则数列的第2008项为________．解析：∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15，∴a 3＝2a 2＝25，∴a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15…，∴该数列的周期为T ＝4.∴a 2008＝a 4＝45.答案：456．已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 解法一：由a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4， ∴数列的通项公式a n ＝n .验证：当a n ＝n 时，(n ＋1)a n ＝na n ＋1成立．解法二：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1可得a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2.将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1时也适合．∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式．解：S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，∴1＋S n ＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.∴a 1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n (n ≥2)，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2n (n ≥2).8．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2008.(1)证明：a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解：由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.[高考·模拟·预测]1．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝( )A ．4B ．2C ．1D ．－2解析：取n ＝1得a 1＝2(a 1－1)，所以a 1＝2，再由n ＝2得2＋a 2＝2(a 2－1)，所以a 2＝4.答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n 是( )A.2n ＋13B.n ＋23C.12n －1D.13n －2解析：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0的两边同时除以a n a n －1(a n a n －1≠0)得：3＋1a n －1－1a n＝0，1a n －1a n －1＝3，故数列{1a n }是首项为1，公差为3的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×3＝3n －2，故通项a n ＝13n －2.答案：D3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (20－n )，则当a n a n ＋1<0时，n ＝________.解析：由S n ＝n (20－n )得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (20－n )－(n －1)[20－(n －1)]＝－2n ＋21； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋21.由a n ·a n ＋1＝(－2n ＋21)[－2(n ＋1)＋21]＝(－2n ＋21)(－2n ＋19)<0⇔192<n <212，因为n ∈N ，所以n ＝10.答案：104．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝|a n ＋2a n －1|，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________.解析：∵b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(a n ＋2)a n ＋1－(a n －1)a n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2(a n ＋2)a n －1＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n.又b 1＝4，∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.答案：2n ＋15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ， 于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.[备选精题]6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，……b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n 1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求的通项公式b n ＝2－12n 1.(2)由(1)知，a n ＝n (2－12n －1)＝2n －n2n －1.令T n ＝∑k ＝1nk2k －1，则2T n ＝∑k ＝1nk2k －2.于是T n ＝2T n －T n ＝∑k ＝0n －112k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 又∑k ＝1n (2k )＝n (n ＋1)，所以S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。
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第3模块 第6节[知能演练]一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是 ( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝⎪⎪sinα2. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.答案：A3．等式|sin αcos α|＋122α－cos 2α|＝12成立的充要条件是( )A ．α＝kπ(k ∈Z )B ．α＝kπ2(k ∈Z ) C ．α＝kπ4(k ∈Z )D ．α＝kπ8(k ∈Z )解析：由题意知：原式＝12|sin2α|＋12|cos2α|＝12∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1. |sin4α|＝0，α＝kπ4(k ∈Z )． 答案：C4．设M (cos πx 3＋cos πx 5sin πx 3＋sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15解析：f (x )＝|OM | ＝2＋2(cos π3x cos π5x ＋sin π3x sin π5x )＝2＋2cos(π3x －π5x )＝2(1＋cos 215πx )＝2(1＋2cos 2π15x －1)＝4cos 2π15x＝2|cos π15x |.所以其最小正周期T ＝ππ15＝15.答案：D 二、填空题5．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：326．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π3三、解答题7．用tan α表示sin2α，cos2α. 解：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.8．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π.因a·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ， 故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2.由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝4＋2m .[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x＝sin x －13－22sin(x ＋π4)，此函数的最大值必为0，当x ＝0时，分子为－1，分母为1，此时函数值最小，最小值为－1，故选B.答案：B2．函数f (x )＝(sin 2x ＋12009sin 2x )(cos 2x ＋12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009 B.22009(2010－1) C.22009D.22009(2009－1) 解析：f (x )＝(2009sin 4x ＋1)(2009cos 4x ＋1)20092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009(sin 4x ＋cos 4x )＋120092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009[(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ]＋120092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201020092sin 2x cos 2x －22009≥22009(2010－1)． 答案：B3．若sin θ22cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ2＝2，代入二倍角公式可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：－434．俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式：________________.解析：因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝sin t －12t ＋32cos t ＋y 3＝0，所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意．本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不唯一)． 答案：y 3＝sin(t ＋4π3)(答案不唯一)． 5．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(Ⅱ)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13f (C 2)＝－14C 为锐角，求sin A .解：(Ⅰ)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，[f (x )]最大值＝1＋32，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. [备选精题]6．已知A ，B 是△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ＋B 2，sin A －B 2)，若|a |＝62.(1)证明：tan A tan B 为定值；(2)当tan C 取最大值时，求△ABC 的三个内角的大小．解：(1)由条件可知32＝(62)2＝|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝1＋cos(A ＋B )＋1－cos(A －B )2，∴cos(A ＋B )＝12cos(A －B )，∴3sin A sin B ＝cos A cos B ，∵A ，B 是△ABC 的两个内角，∴tan A tan B ＝13为定值．(2)tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B由(1)知tan A tan B ＝13，∴tan A >0，tan B >0，从而tan C ＝－32(tan A ＋tan B )≤－32·2·tan A tan B ＝－3， ∴取等号的条件是当且仅当tan A ＝tan B ＝33，即A ＝B ＝π6时，tan C 取得最大值，此时△ABC 的三个内角分别是π6，π6，2π3.。
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第3模块 第7节[知能演练]一、选择题1．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 为( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：A2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：D3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于( )A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°解析：由S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝12bc sin A得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°.答案：A4．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33D.32解析：由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.答案：C 二、填空题5．某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________．解析：如图所示，该问题转化为已知△ABC 中BC ＝3，AC ＝3，B ＝30°，求AB 的长．由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 可求得角A ，进而可求出角C 再由AB sin C ＝ACsin B可求得AB ，即x . 答案：3或2 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.解析：由余弦定理变形得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.答案：5π6三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． (1)证明：因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22bc ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B， 所以sin A ＝sin2B ，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π，而当A ＋2B ＝π时有B ＝C 即b ＝c ，代回已知得a ＝2b ，此时a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，而B ＝C ＝45°也即A ＝2B .故A ＝2B .(2)解：因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°. 所以△ABC 为直角三角形．8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a >c >b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)设x 1、x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a. ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a ＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. (2)由S ＝12ab sin C ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos60°)． ∴72＝(a ＋b )2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.又∵a >b ② ∴由①②，得a ＝8，b ＝5.[高考·模拟·预测]1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D2．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析：1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32.∴C ＝60°或120°. (1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选D.答案：D3．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为________．解析：sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝sin2A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，∵△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ≠0.∴sin A ＝sin C ，即A ＝C . 又B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．∴S ＝34×22＝ 3. 答案： 34．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值． 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝⎛⎫2A －π4＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝210. [备选精题]6．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． 因为f (x )在x ＝π时取最小值． 所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角， 所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.。
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第8模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知直线l 过点(a,1)，(a ＋1，tan α＋1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．(180°－α)一定是直线l 的倾斜角解析：根据题意，直线l 的斜率k ＝(tan α＋1)－1(a ＋1)－a＝tan α.令θ为直线的倾斜角， 则一定有θ∈[0°，180°)，且tan θ＝k ， 所以若α∈[0°，180°)，则α是直线l 的倾斜角； 若α∉[0°，180°)，则α不是直线l 的倾斜角， 所以α不一定是直线l 的倾斜角． 答案：C2．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0 解析：因为直线l 2经过点(0,5)， 且方向向量为b ＝(－1，k )， 所以直线l 2的方程为y －5＝－kx .又因为直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，且l 1⊥l 2，所以－k ·3＝－1⇒k ＝13，所以直线l 2的方程为y －5＝－13x ，即x ＋3y －15＝0. 答案：B3．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．－23 B.23C ．－32 D.32解析：由题意，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M (2k ＋1,1)，N (k －6k －1，－6k ＋1k －1)． 又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.答案：A4．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ， 又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.解法二：设方程为x a ＋yb ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.答案：B 二、填空题5．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设l 的倾斜角为α，则AB 的倾斜角为2α，tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34，∴tan α＝13或－3.∵tan2α＝34>0，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°.∴tan α＝13，即l 的斜率为13.答案：13.6．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为__________．解析：∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点，∴l 1的方程为：2x －y ＋8＝0. 答案：2x －y ＋8＝0 三、解答题7．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]．8．一条光线经过P (2,3)点，射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后穿过Q (1,1)． (1)求光线的入射方程；(2)求这条光线从P 到Q 的长度．解：(1)设点Q ′(x ′，y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点， ∴k l ＝－1，∴k QQ ′＝1.∴QQ ′所在直线方程为y －1＝1·(x －1)． 即x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0， 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为(－12，－12)．又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎩⎨⎧1＋x ′2＝－121＋y ′2＝－12解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2. ∴Q ′(－2，－2)．设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线． 则P (2,3)，Q ′(－2，－2)，得入射方程为 y ＋23＋2＝x ＋22＋2，即5x －4y ＋2＝0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |＝|NQ ′|. ∴|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′| ＝(3＋2)2＋(2＋2)2＝41，即这条光线从P 到Q 的长度是41.[高考·模拟·预测]1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A2．直线x ＋ay ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行的一个必要不充分条件是( )A ．a ＝－1B ．a ＝3C ．a ≠0D ．－1<a <3解析：若两直线平行，则a (a －2)＝1×3，且1×2a ≠(a －2)×6，解得a ＝－1，于是可以推出a ≠0；反之，当a ≠0时，不一定能推出两直线平行，故选C.答案：C3．经济学中的“蛛网理论”(如下图)，假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1，“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1，k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达到均衡点P ，与直线l 1，l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达到均衡点P 的条件为( )A.k 1＋k 2>0 B ．k 1＋k 2＝0 C ．k 1＋k 2<0 D ．k 1＋k 2可取任意实数解析：图1中最终能达到均衡点P .图2、图3均不能达到均衡点P .如右图，过P 点作平行于x 轴的直线交BC 于点Q ，在△BPQ 中，k 1＝tan α＝BQPQ>1，在△ABC 中，tan β＝BCAB<1.∴k 2＝－tan β>－1，∴k 1＋k 2>0. 答案：A4．与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，且与抛物线y ＝x 2相切的直线的方程是______________． 解析：与x ＋2y ＋3＝0垂直的直线的斜率为2，所以y ′＝2x ＝2，x ＝1，切点坐标为(1,1)，所求的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝05．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)；点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F .某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y＝0.请你完成直线OF 的方程：(__________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：点E 为直线BP ：x b ＋y p ＝1与直线AC ：x c ＋ya＝1的交点，两方程相减可得(1b －1c )x ＋(1p －1a )y ＝0；点F 为直线CP ：x c ＋y p ＝1与直线AB ：x b ＋y a ＝1的交点，两方程相减可得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y＝0.答案：1c －1b6．已知四边形ABCD 的顶点为A (x ，y )，B (6,1)，C (3,3)，D (2,5)，是否存在x ，y 使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出A 点坐标；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，y 使四边形ABCD 为直角梯形．k BC ＝－23，k CD ＝－2，∴BC 与CD 不垂直．若AB ∥CD ，则AB ⊥AD .∵k AB ＝y －1x －6，k AD ＝y －5x －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y －1x －6＝－2y －1x －6·y －5x －2＝－1，解得x ＝185，y ＝295.若AD ∥BC ，则AD ⊥AB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝－23y －1x －6·y －5x －2＝－1解得x ＝8613，y ＝2513.故存在A (185，295)或A (8613，2513)．。
高三基础知识天天练 数学选修4-4-1人教版
选修4-4 第1节[知能演练]一、选择题1．点M (ρ，θ)关于极点对称的点的坐标为( )A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，π＋θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，－θ)答案：B2．将曲线y ＝12sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y 答案：D3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)解析：ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2， tan θ＝3，∴θ＝4π3，z ＝3，∴选C.答案：C4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线(y ＝2)与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线(x ＝2)与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆都相离．答案：B 二、填空题5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 解析：∵点M 的极坐标为(6，11π6)，∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3，∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)． 答案：(－33，－3)6．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．解析：在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：1 三、解答题7．说出由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan2x 的变换过程，并求满足其图形变换的伸缩变换．解：y ＝tan x 的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan2x .设y ′＝3tan2x ′，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ>0y ′＝μ·y μ>0，将其代入y ′＝3tan2x ′，得μy ＝3tan2λx与y ＝tan x 比较，可得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝3λ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y.8．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求RP 的最小值． 解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12，∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得RP 的最小值为1.[高考·模拟·预测]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.答案：4 33．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝22.答案：224．两直线ρsin(θ＋π4)＝2008，ρsin(θ－π4)＝2009的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)解析：两直线方程可化为x ＋y ＝20082，y －x ＝ 20092，故两直线垂直． 答案：垂直5．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程． 同理，x 2＋y 2＋y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.6．求经过极点O (0,0)，A (6，π2)，B (62，9π4)三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos(θ－π4)．。
高三数学天天练(1) 文 新人教A版
汉台中学2013届文科数学综合考练一（时间:120分钟 满分:150分）一﹑选择题（5×10=50分）1．.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N=（ ）A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π3．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗()a c ⊕=（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d4．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的 体积为( )A ． B.5 C.4 D. 925．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C.[1，+∞） D （0，+∞）6．已知α，β的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ）A ．(,1)-∞-B ．（1，+∞）C ．（-1，1）∪（1，+∞）D ．（-∞，+∞）8．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A ．4B ．14C ．-4D ．-149．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ． 45-B ．35-C ．35 D ．4510．已知m<-2，点（m-1,y 1），（m,y 2），（m+1,y 3）都在二次函数x x y 22-=的图像上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3二﹑填空题（5×5=25分）11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = 12．在ABC ∆中，若3a =，3b =，3A π∠=，则C ∠的大小为13．函数y=x 2-2ax-3在（2,+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 14．函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是15．【本题A 、B 、C 三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分】 （A 不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立， 则实数a 的取值范围是 .（B 几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= . 相交的（C 坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=弦长为 ． 三﹑解答题（共75分）: 16．（12分）已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。
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单元质量检测(一)一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U A 等于( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x <2}C ．{x |x <0或x >2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：由x 2－2x >0得x >2或x <0，所以∁U A ＝{x |0≤x ≤2}． 答案：A2．若集合A ＝{x ||2x －1|<3}，B ＝{x |2x ＋13－x<0}，则A ∩B 是( )A ．{x |－1<x <－12或2<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |－12<x <2}D ．{x |－1<x <－12}解析：∵A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，－12)∪(3，＋∞)，∴A ∩B ＝(－1，－12)，故选D.答案：D3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x ≤0}，集合B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{2}C ．{0,2}D ．{1,4}解析：本题考查集合与不等式的相关知识，首先由集合A 得0≤x ≤2(x ∈Z )，即A ＝{0,1,2}，再由集合B ＝{0,2,4}，故选C.答案：C4．集合A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{y |y ＝(12)x ，x >0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(－∞，0)解析：易得集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{y |0<y <1}，所以A ∩B ＝(0,1)故选C. 答案：C5．设集合M ＝{x |x 2<4，且x ∈R }，N ＝{x |x <2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题知，M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x <2}．那么，若a ∈M ，则a ∈N 成立，反之不一定成立．于是a ∈M 是a ∈N 的充分不必要条件．答案：A6．命题：“∀x ∈R ，x 2－x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋2≥0 B ．∀x ∈R ，x 2－x ＋2≥0 C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋2<0 D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋2<0解析：根据全称命题的否定是特称命题可知应选C. 答案：C7．有下列四个命题，其中真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n D ．∀n ∈R ，n 2<n解析：对于选项A ，令n ＝12即可验证不正确；对于选项C 、选项D ，可令n ＝－1加以验证其不正确，故选B.答案：B8．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 2＋y 2＝1得x 2＋x ＝0，Δ＝1>0，从而“k＝1”推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分不必要条件．答案：A9． “－2≤a ≤2”是“实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0有虚根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根可得Δ＝a 2－4<0⇒－2<a <2，故可知－2≤a ≤2是方程x 2＋ax ＋1＝0有虚根的必要不充分条件．答案：A10．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点．②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数．③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β. ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：在①中，函数有两个零点，则Δ＝m 2－4m －12>0，解得m >6或m <－2，所以p 是q 的充要条件；②中p 是q 的必要不充分条件；③中p 是q 的既不充分也不必要条件；④中p 是q 的充要条件，所以选D.答案：D11．对任意两个正整数m ，n 定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n (m 与n 奇偶性相同)mn (m 与n 奇偶性不同)，则集合P ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝20，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．21B ．22C ．23D ．24 解析：由题知，若a ，b 的奇偶性相同有(1,19)，(2,18)，(3,17)，(4,16)，(5,15)，(6,14)，(7,13)，(8,12)，(9,11)，(10,10)，交换顺序可得(a ，b )的个数为20个，其中(10,10)交换后重复，故为19个；若a ，b 的奇偶性不相同，则有(1,20)，(4,5)，交换顺序得(a ，b )的个数为4个，故集合P 中元素的个数为23个．答案：C12．设A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知A ＝{x ||x －12|＋|x －32|≤2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ×B 等于( )A ．[0,1)∪(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]解析：根据绝对值的几何意义，不等式|x －12|＋|x －32|≤2的解集为A ＝{x |0≤x ≤2}，又B ＝{x |x ≥1}，故A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}，故A ×B ＝{x |0≤x <1或x >2}．答案：A 二、填空题 13．已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．解析：根据题意，得m 2＝2m －1，解得m ＝1，经验证符合题意，所以m ＝1. 答案：114．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }．若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________.解析：由0≤x ＋12<4，得－12≤x <72，所以Q ＝{x |－12≤x <72}，故P －Q ＝{4}．答案：{4}15．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析：A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则有－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．答案：(－2,2)16．已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：b ⊥(a －b )；条件N ：对一切x ∈R ，不等式|a －x b |≥|a －b |恒成立．则M 是N 的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：构造直角三角形OAB ，AB ⊥OB ，其中a ＝OA →，b ＝OB →，x b ＝OD →，则a －b ＝BA →，当点D 与点B 不重合时，由斜边大于直角边得|a －x b |>|a －b |，当点D 与点B 重合时， |a －x b |＝|a －b |，反之也成立．答案：充要 三、解答题17．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}且M ＝N ，求a ，b 的值． 解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12， 根据元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12即为所求．18．已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围．解：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集． (1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴Δ＝4－12m <0，即m >13.(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一个解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一解x ＝32；若m ≠0，则Δ＝0，即4－12m ＝0，m ＝13.∴m ＝0或m ＝13.(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据(1)、(2)的结果，得m ＝0或m ≥13.19．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}． 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， ∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.20．已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0<2a －6<1，∴3<a <72.若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72. 故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．21．已知条件p ：5x >a ＋1或5x <1－a (a ≥0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的非负数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p ：5x <－a ＋1或5x >a ＋1，∴x <1－a 5或x >1＋a 5.已知条件q ，即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1，令a ＝4，则p ：x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个非负实数是a ＝4.A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q .自以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不唯一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a5≥1(端点等号不可同时取得)即可)22．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠Ø？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设A ∩B ≠Ø，则方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a 有正整数解，消去y ， 得ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0 (*) 由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0，解得－233≤a ≤233.因a 为非零整数，∴a ＝±1， 当a ＝－1时，代入(*)， 解得x ＝0或x ＝－1， 而x ∈N *.故a ≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠Ø，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．。