传热实验中数据处理的最小二乘法与作图法比较
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(College of Chemistry and Chemical Engineering，Qiqihar University，Hei Long Jiang Qiqihar，161006，China)
Abstract: This article makes a comparison between the construction of data handling and the least square, taking the experience of heat transmission as an example. And it analysed the least square in detail through the result of data handling with a computer. The author believes that this method should take an important part in the method training the principle of chemical engineering experimental lessons. Key words：heat transmission；data processing；construction；least squares methods
[1] 老健正，梅慈云. 化工原理实验指导[M]，广州：科普出版社广州分社，1985，6. [2] 杨祖荣. 化工原理实验[M]. 北京：化学工业出版社，2004，5.
The Comparison Between the Least Square of Data Handling and the Construction in the Experience of Heat Transmission LI Shu-peng
（8）
b=
i =1
∑ xi ∑ yi − n ∑ xi yi
i =1 i =1 n
n
n
n
⎛ ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ − n ∑ xi2 i =1 ⎝ i =1 ⎠
n
2
（9）
由此求得截距为 a, 斜率为 b 的直线方程，就是关联各实验点的最佳直线。
3 结果与讨论
计算出的实验结果见表 1、表 2。
表1 计前 表压 流量计 示 值 蒸汽 温度 壁面 温度 进口 温度 出口 温度 用作图法计算的数据 对数平 均温度 定性 温度 体积流量 雷诺准数 实测的 努塞尔 特准数 作图法计 算的努塞 尔特准数 公认式计 算的努塞 尔特准数 相对 误差
δ
％ 2.9 3.0 3.3 3.5 3.8
Nu 最
87.1 76.1 65.7 57.5 47.3
Nu 理
89.6 78.4 67.9 59.5 49.1
δ =3.3
整理后得指数和系数分别为 0.806 和 0.0165。即由最小二乘法得到的准数关联式为
Nu = 0.0165Re 0.806 （11） 采用同样一组测量数据，如果将作图法和最小二乘法两种数据处理方法的实验结果分别与资料介绍的
a=
i =1
（7）
的形式。最后归结为通过测得的一组数据 xi，yi(i=1,2,···,n),找出回归方程(8)来，亦即确定系数 a 及 b，y 表
n n n n
∑ xi yi ∑ xi − ∑ yi ∑ xi2
i =1 i =1 i =1 n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ − n ∑ xi2 i =1 ⎝ i =1 ⎠ 2
1 实验简介
在化工原理实验中为了测定传热实验准数关联式中的常数和系数，采用了作图法。当空气在圆形直管 中作湍流流动，无相变时对流传热准数关联式的一般形式为
Nu = ARe m Pr n Gr p
（1）
其中，Nu 表示努塞尔特准数，Re 表示雷诺准数，Pr 表示普兰特准数，Gr 表示格拉斯霍夫准数。A、m、n、
优点：1、方法严密；2、数据处理准确，不会引入“误差” ；3、 对计算结果可进行严密的统计分析；4、能定量地给出误差估计。 缺点：1、计算复杂；2、手工处理实验数据的时间长。
4 结论
综上所述，在对准数关联式中的常数和系数求值的问题上，无论在数据处理方法的严密性，还是在实 验结果的准确性上，最小二乘法均优于作图法。另外，最小二乘法还可以对计算结果进行严密的统计分析 并能定量地给出误差估计。因此，在计算机已经普及的情况下，最小二乘法作为化工原理实验课中的一种 数据处理方法，应当在所有方法的训练中占有重要地位。 参考文献
℃ 24.9 24.4 25.4 25.9 27.0
℃ 51.8 51.9 53.4 54.3 55.8
Vs m3/s
0.00929 0.00785 0.00656 0.00554 0.00435
Re
41570 35160 29301 24801 19473
Nu 实
87.3 76.3 66.2 57.7 47.4
收稿日期：2007-09-10 作者简介：李书鹏(1959-),男，黑龙江齐齐哈尔人，本科，高级实验师，主要从事化学工程实验研究工作，E-mail:lishupenghy@163.com。
第1期
传热实验中数据处理的最小二乘法与作图法比较
·29·
就是能使各数据点同回归线方程求出值的偏差的平方和为最小，也就是一定的数据点落在该直线上的概率 为最大。即用最小二乘法回归，可以得到最佳关联结果。应用计算机辅助手段对多变量进行一次回归，就 能同时得到(2)式中的 A、m 值。 上述(3)式可化为关联式 y=a+bx 示式(3)中的 lnNu，x 表示式(3)中的 ln Re，a 表示 lnA，b 表示 m。根据最小二乘法不难求出
Rp
R
T
tw
t进
t出
℃
Δtm
℃ 65.0 64.7 63.0 61.9 60.1
t定
mmHg 30.6 29.3 34.5 38.2 44.7
mmH2O 70.0 50.0 35.0 25.0 15.5
℃ 120.4 120.5 120.5 120.5 120.6
℃ 120.1 120.3 120.3 120.4 120.4
第 24 卷第 1 期 2008 年 1 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Journal of Qiqihar University
Vol.24,No.1 Jan.,2008
传热实验中数据处理的最小二乘法与作图法比较
李书鹏
(齐齐哈尔大学化学与化学工程学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006 )
摘要：本文以传热实验为例，比较了实验数据处理的作图法与最小二乘法，通过计算机处理数据，对最小二乘法 进行了回归。作者认为，该法在化工原理实验课的方法训练中应占有重要地位。 关键词：传热，数据处理，作图法，最小二乘法 中图分类号：TQ021.3 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2008)01-0028-03
[1]
3
Nu = 0.0199 Re 0.8ε t 进行比较，计算出相对误差。本实验条件符合公认式的要求，式中εt 为温度修正系数。
（6）
2 数据处理的最小二乘法
[2]
使用作图法时，在坐标上标点会有误差，而根据点的分布确定直线的位置时，具有较大的人为性。因 此，用作图法确定直线斜率及截距显得不够准确。较为准确的方法是最小二乘法，其原理为：最佳的直线
（10）
xi
(lnRe) 10..63513 10.46766 10.28538 10.11864 9.87678
yi
(lnNu) 4.46935 4.33467 4.19268 4.05178 3.85862
xi
2
xiyi
Re
113.10599 109.57191 105.78904 102.38688 97.55078 47.53212 45.37385 43.12331 40.99850 38.11074 41570 35160 29301 24801 19473
公认式(6)进行比较，作图法的相对误差为 5.3％，最小二乘法的相对误差为 3.3％。表 3 将两种数据处理方 法的特点进行比较
表3 作 图 法 两种数据处理方法的特点 最 小 二 乘 法
优点：1、简单直观；2、有取平均值的效果，可发现某些测 量错误。 缺点：1、方法严密性差；2、作图具有人为性，有效数字位 数受图纸限制；3、数据处理中引入了“误差” ；4、不易估计计算 结果的误差。
p 分别为系数和指数。
对于强制湍流而言，Gr 准数可以忽略，对气体而言，从理论上分析原子数相同的气体，Pr 准数应为 一常数不随温度压力而变。因此
Nu = ARe m
（2）
本实验中，用作图法计算上述准数关联式(2)中的系数 A 和指数 m。用作图法对方程进行关联时, 对于 单变量方程，在两边取对数得到直线方程为 lnNu=lnA+ mlnRe （3） 在双对数坐标中作图，见图 1。以 Re 为横坐标，以 Nu 为纵坐标作图，可得到一条直线，求出直线斜 率即为方程的指数 m。 在直线上任取一点函数值代入方程(2)中，则可得到系数 A。对于方程的关联，首先 要测算出 Nu、Re 的数据组。其特征准数定义式分别为
Nu =
Re =
2
αd λ
µ
2
（4） （5）
duρ
式中，α为传热膜系数 w/(m ・℃)，d 为来自百度文库径 m，λ为流体的导热系数 w/( m・℃)，u 为流速 m/s，ρ为定性
μ为定性温度下流体粘度 Ns/m 。 这些参数可直接测定或由相应的公式计算得到， 温度下流体密度 kg/m ，
这样就可以得到在本实验条件下的准数关联式，然后将由该关联式计算的 Nu 值与资料介绍的公认式
Nu 图
Nu 理
89.6 78.4 67.9 59.5 49.1
δ
%
78.6 79.7 81.4 82.7 84.6
84.6 74.3 64.4 56.6 46.9
5.9 5.5 5.4 5.1 4.7
δ =5.3
200 150
100 90 80 70 60
Nu
50
40
30
20 4 10
1.5
2
3
4
5
6
7
8 9 10
5
Re
图1 努塞尔特准数与雷诺准数关系
通过作图法计算得指数 m 和系数 A 分别为 0.777 和 0.0218。即由作图法得到的准数关联式为
·30·
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
2007 年
Nu = 0.0218Re 0.777
表2 用最小二乘法计算的数据 雷诺准数 最小二乘法计算 的努塞尔特准数 公认式计算的 努塞尔特准数 相对误差
Abstract: This article makes a comparison between the construction of data handling and the least square, taking the experience of heat transmission as an example. And it analysed the least square in detail through the result of data handling with a computer. The author believes that this method should take an important part in the method training the principle of chemical engineering experimental lessons. Key words：heat transmission；data processing；construction；least squares methods
[1] 老健正，梅慈云. 化工原理实验指导[M]，广州：科普出版社广州分社，1985，6. [2] 杨祖荣. 化工原理实验[M]. 北京：化学工业出版社，2004，5.
The Comparison Between the Least Square of Data Handling and the Construction in the Experience of Heat Transmission LI Shu-peng
（8）
b=
i =1
∑ xi ∑ yi − n ∑ xi yi
i =1 i =1 n
n
n
n
⎛ ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ − n ∑ xi2 i =1 ⎝ i =1 ⎠
n
2
（9）
由此求得截距为 a, 斜率为 b 的直线方程，就是关联各实验点的最佳直线。
3 结果与讨论
计算出的实验结果见表 1、表 2。
表1 计前 表压 流量计 示 值 蒸汽 温度 壁面 温度 进口 温度 出口 温度 用作图法计算的数据 对数平 均温度 定性 温度 体积流量 雷诺准数 实测的 努塞尔 特准数 作图法计 算的努塞 尔特准数 公认式计 算的努塞 尔特准数 相对 误差
δ
％ 2.9 3.0 3.3 3.5 3.8
Nu 最
87.1 76.1 65.7 57.5 47.3
Nu 理
89.6 78.4 67.9 59.5 49.1
δ =3.3
整理后得指数和系数分别为 0.806 和 0.0165。即由最小二乘法得到的准数关联式为
Nu = 0.0165Re 0.806 （11） 采用同样一组测量数据，如果将作图法和最小二乘法两种数据处理方法的实验结果分别与资料介绍的
a=
i =1
（7）
的形式。最后归结为通过测得的一组数据 xi，yi(i=1,2,···,n),找出回归方程(8)来，亦即确定系数 a 及 b，y 表
n n n n
∑ xi yi ∑ xi − ∑ yi ∑ xi2
i =1 i =1 i =1 n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ − n ∑ xi2 i =1 ⎝ i =1 ⎠ 2
1 实验简介
在化工原理实验中为了测定传热实验准数关联式中的常数和系数，采用了作图法。当空气在圆形直管 中作湍流流动，无相变时对流传热准数关联式的一般形式为
Nu = ARe m Pr n Gr p
（1）
其中，Nu 表示努塞尔特准数，Re 表示雷诺准数，Pr 表示普兰特准数，Gr 表示格拉斯霍夫准数。A、m、n、
优点：1、方法严密；2、数据处理准确，不会引入“误差” ；3、 对计算结果可进行严密的统计分析；4、能定量地给出误差估计。 缺点：1、计算复杂；2、手工处理实验数据的时间长。
4 结论
综上所述，在对准数关联式中的常数和系数求值的问题上，无论在数据处理方法的严密性，还是在实 验结果的准确性上，最小二乘法均优于作图法。另外，最小二乘法还可以对计算结果进行严密的统计分析 并能定量地给出误差估计。因此，在计算机已经普及的情况下，最小二乘法作为化工原理实验课中的一种 数据处理方法，应当在所有方法的训练中占有重要地位。 参考文献
℃ 24.9 24.4 25.4 25.9 27.0
℃ 51.8 51.9 53.4 54.3 55.8
Vs m3/s
0.00929 0.00785 0.00656 0.00554 0.00435
Re
41570 35160 29301 24801 19473
Nu 实
87.3 76.3 66.2 57.7 47.4
收稿日期：2007-09-10 作者简介：李书鹏(1959-),男，黑龙江齐齐哈尔人，本科，高级实验师，主要从事化学工程实验研究工作，E-mail:lishupenghy@163.com。
第1期
传热实验中数据处理的最小二乘法与作图法比较
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就是能使各数据点同回归线方程求出值的偏差的平方和为最小，也就是一定的数据点落在该直线上的概率 为最大。即用最小二乘法回归，可以得到最佳关联结果。应用计算机辅助手段对多变量进行一次回归，就 能同时得到(2)式中的 A、m 值。 上述(3)式可化为关联式 y=a+bx 示式(3)中的 lnNu，x 表示式(3)中的 ln Re，a 表示 lnA，b 表示 m。根据最小二乘法不难求出
Rp
R
T
tw
t进
t出
℃
Δtm
℃ 65.0 64.7 63.0 61.9 60.1
t定
mmHg 30.6 29.3 34.5 38.2 44.7
mmH2O 70.0 50.0 35.0 25.0 15.5
℃ 120.4 120.5 120.5 120.5 120.6
℃ 120.1 120.3 120.3 120.4 120.4
第 24 卷第 1 期 2008 年 1 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Journal of Qiqihar University
Vol.24,No.1 Jan.,2008
传热实验中数据处理的最小二乘法与作图法比较
李书鹏
(齐齐哈尔大学化学与化学工程学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006 )
摘要：本文以传热实验为例，比较了实验数据处理的作图法与最小二乘法，通过计算机处理数据，对最小二乘法 进行了回归。作者认为，该法在化工原理实验课的方法训练中应占有重要地位。 关键词：传热，数据处理，作图法，最小二乘法 中图分类号：TQ021.3 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2008)01-0028-03
[1]
3
Nu = 0.0199 Re 0.8ε t 进行比较，计算出相对误差。本实验条件符合公认式的要求，式中εt 为温度修正系数。
（6）
2 数据处理的最小二乘法
[2]
使用作图法时，在坐标上标点会有误差，而根据点的分布确定直线的位置时，具有较大的人为性。因 此，用作图法确定直线斜率及截距显得不够准确。较为准确的方法是最小二乘法，其原理为：最佳的直线
（10）
xi
(lnRe) 10..63513 10.46766 10.28538 10.11864 9.87678
yi
(lnNu) 4.46935 4.33467 4.19268 4.05178 3.85862
xi
2
xiyi
Re
113.10599 109.57191 105.78904 102.38688 97.55078 47.53212 45.37385 43.12331 40.99850 38.11074 41570 35160 29301 24801 19473
公认式(6)进行比较，作图法的相对误差为 5.3％，最小二乘法的相对误差为 3.3％。表 3 将两种数据处理方 法的特点进行比较
表3 作 图 法 两种数据处理方法的特点 最 小 二 乘 法
优点：1、简单直观；2、有取平均值的效果，可发现某些测 量错误。 缺点：1、方法严密性差；2、作图具有人为性，有效数字位 数受图纸限制；3、数据处理中引入了“误差” ；4、不易估计计算 结果的误差。
p 分别为系数和指数。
对于强制湍流而言，Gr 准数可以忽略，对气体而言，从理论上分析原子数相同的气体，Pr 准数应为 一常数不随温度压力而变。因此
Nu = ARe m
（2）
本实验中，用作图法计算上述准数关联式(2)中的系数 A 和指数 m。用作图法对方程进行关联时, 对于 单变量方程，在两边取对数得到直线方程为 lnNu=lnA+ mlnRe （3） 在双对数坐标中作图，见图 1。以 Re 为横坐标，以 Nu 为纵坐标作图，可得到一条直线，求出直线斜 率即为方程的指数 m。 在直线上任取一点函数值代入方程(2)中，则可得到系数 A。对于方程的关联，首先 要测算出 Nu、Re 的数据组。其特征准数定义式分别为
Nu =
Re =
2
αd λ
µ
2
（4） （5）
duρ
式中，α为传热膜系数 w/(m ・℃)，d 为来自百度文库径 m，λ为流体的导热系数 w/( m・℃)，u 为流速 m/s，ρ为定性
μ为定性温度下流体粘度 Ns/m 。 这些参数可直接测定或由相应的公式计算得到， 温度下流体密度 kg/m ，
这样就可以得到在本实验条件下的准数关联式，然后将由该关联式计算的 Nu 值与资料介绍的公认式
Nu 图
Nu 理
89.6 78.4 67.9 59.5 49.1
δ
%
78.6 79.7 81.4 82.7 84.6
84.6 74.3 64.4 56.6 46.9
5.9 5.5 5.4 5.1 4.7
δ =5.3
200 150
100 90 80 70 60
Nu
50
40
30
20 4 10
1.5
2
3
4
5
6
7
8 9 10
5
Re
图1 努塞尔特准数与雷诺准数关系
通过作图法计算得指数 m 和系数 A 分别为 0.777 和 0.0218。即由作图法得到的准数关联式为
·30·
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
2007 年
Nu = 0.0218Re 0.777
表2 用最小二乘法计算的数据 雷诺准数 最小二乘法计算 的努塞尔特准数 公认式计算的 努塞尔特准数 相对误差