投资组合优化

• 给定收益情况下风险最小化
• 风险采用方差来衡量
• 目标函数 min1/ 2wTVw
w
• 约束条件1 • 约束条件2
wT
e

E r~p

wT 1
投资组合优化
•其中，w 为N支股票权重的列向量，e表示N支股票的N维 期望收益率向量，I为N维单位向量，V为投资组合的方差协 方差矩阵,以三维为例
投资组合优化
Outline • 矩阵求导简介 • 优化知识 • 允许卖空情况下的投资组合优化 • 不允许卖空情况下的投资组合优化
矩阵求导的有关知识
数对向量求一阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
f X f (x1, x1, , xn)
• 定义n阶向量的一阶导数如下：
• 定义n阶向量的二阶导数如下：
f11 f12
• 2 f


f21
f22
X X

fn1
fn2
f1n
f2n
其中

f
nn

fij

f xix j
• Remark：scalar-valued function of a vector，又称 海赛矩阵，n*n方阵
A A X 也为列向量
• 列向量对列向量求导为矩阵
AX A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵 X
主要内容 • 问题1：给定预期收益，最小化风险 • 问题2：给定风险，最大化预期收益 • 问题3：不考虑预期收益，最小化风
险
• 问题4：不考虑风险，最大化预期收 益
问题1
• 给定预期收益时，最小化风险
w1
w


w2

w3
e1
e


e2

e3
1 1 1
1


2 1
V 121 2

13
1
3
121 2

2 2
23 2 3
131 3

23 2 3

2 3

投资组合优化
wT e w1 w2
w3
e1


e2
e3



w1e1

w2e2

w3e3

E
r~p

• 约束条件2
1
wT w1
w2
w3


1

1
1
投资组合优化的数学表述
• 第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数
min
w. .
• 目标函数为二次型 min1/ 2wTVw
w
• 约束为线性约束
wT
e

E
r~p

• •
当 当不 限允 制许 了卖 某空个时资，产投0资w份T额w i，给11定投资权重的
上下界
Li wi Ui
Biblioteka Baidu题2
• 给定风险时，最大化收益
• 目标函数为线性
max wT e
w • 约束为非线性约束和线性约束
wTVw


2 p
wT 1
问题3
• 不考虑预期收益，最小化风险 • 目标函数为二次型
min1/ 2wTVw
w
• 约束为线性约束
wT 1
问题4
• 不考虑风险，最大化收益 • 目标函数为线性
max wT e
w • 约束为线性约束
wT 1
允许卖空时投资组合优化
投资组合优化的数学表述
Matlab实现
• Syms s t • V=[s;t] • f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)] • dfdx=jacobian(f,V)
例子
• 假如
X

x1

x2

f X f (x1, x2) 2x1 3x1x2
f
f X


例子
• 假如
X

x1

x2

f X f (x1, x2) 2x1 3x1x2
f
f X


x1 f


2
3x2 3x1


x2

2 f

f
X
X X X


0 3
3
0

Matlab实现
• Syms x1 x2 • X=[x1 x2] • F=2*x1+3*x1*x2 • Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)] • g1=jacobian(Dfdx,X)
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
x1 f


2
3x2 3x1


x2

2 f

f
X
X X X


0 3
3
0

向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，A为方阵
AX A X
a11 a12
A


a21
a22

am1 am2
f1
•
f


f
2

X

f
n

其中
fi

f xi
• Remark：scalar-valued function of a vector，又称 梯度
数对向量求二阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
f X f (x1, x2, , xn)
• 目标函数
1 2 wVw w1
w2
w3



2 1
21
12

2 2
13 23




w1 w2


31
32

2 3

w3


w1212

w22
2 2

w32
2 3

2w1
w212

2w1
w313

2w2 w3
23
• 约束条件1
f1 X
f

X



f2

X



f
m

X


• f(X)的一阶导数如下：
x1
X


x2


xn
f11 f12
f


f21
f22
X

fm1
fm2
f1n
f
2n


fij

fi x j
fmn

L

1/
X AX A A X
X
a1m
a2m


amm
x1
X


x2


xm
如果A为对称阵则
X AX 2AX X
优化与投资组合理论
总结
• 数对列向量求导仍为列向量
X AX A A X中
X X AX 为标量 X 为列向量，