(完整版)二次根式混合运算(可编辑修改word版)

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二次根式混合运算(经典)

2
x2
1 2 x2
的值。
练习： 1 x - 6 x +2 已知x = ，求的值. x -3 3 +2 2
2
实战练习 1. 计算：
( 1 ) 5 × ( 15 - 4 3 ) ； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
知能迁移:
10 6 (1) － 18－； 2 2
(2)(－3) －
1 (2) Q a 52 , 52 1 b= 5 2. 52 a 2 2ab b 2 7
2 （a-b） 7
1 1 1 1 3 2 2 3 当x , y 时，原式= 5. 1 1 2 3 3 2 2 3
x xy - yx y = x-y x +y = x -y
x－y ＝ 6×－4 2 原式＝ x＋y 2 2 x＋y －2xy 6 －2×1
＝－24 2 ＝－ 12 2 . 34 17
三：注意二次根式运算中隐含条件
2 2 1 a －1 a －2a＋1 例3 已知：a＝，求－的值． 2 a＋1 2＋ 3 a －a
学生作答
2 a ＋ 1 a － 1 a － 1 解：原式＝－ a＋1 aa－1 ＝ a － 1 － a －1 ＝ a － 1 － 1 . aa－1 a
二次根式的混合运算
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母表示为：
. 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母表示为
上次更新: 2019年3月6日星期三

15.4 二次根式的混合运算

A. a b ab
B． a2 2 a4
C．a 22 a2 4
D. a b a (a≥0，b＞0) b
知1－练
（来自《典中点》）
知1－练
3 【中考·钦州】对于任意的正数m，n，定义运算※为：
m※n＝
m m
n (m≥n)， n (m＜n)，计算(3※2)×(8※12)的结
果为( B )
第十五章二次根式
15.4 二次根式的混合运算
1 课堂讲解 2 课时流程
二次根式的混合运算乘法公式在二次根式中的应用
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
母亲节快到了，为了表示对妈妈的敬意，格格同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为 800 cm2，另一张面积为 450 cm2，她想，如果把壁画的边包上金色彩带应该会更漂亮，她手上现有1.2 m 长的金色彩带，请你帮格格算一算，她的金色彩带够用吗? 如果不够，还需买多长的金色彩带?
(1) 2 8 10 ;
(2) 24 50 2;
解：(1) 2 8 10 16 20 4 2 5.
还可以：
2 8 10 2 2 2 2 5 4 2 5.
（来自《教材》）
(2) 24 50 2
24 2 50 2 12 25 2 3 5. 还可以：
(3)原式
6 3 2
6 2
3
3 1
3 3
6 3 6 3 3 3 3 6 1 6
22
3
3
2 6.
（来自《点拨》）
(4)原式 6 3 2 1
6
3 2
6 6 3 2 3 2 6.
知1－练
（来自《点拨》）
2 【中考·宁夏】下列计算正确的是( D )

(完整版)二次根式混合运算经典

( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算

二次根式的混合运算 (1)

=9 2−9 3
解题方法
本题解题的关键是先利用乘法分配律进行计算，再乘除，后将同类
二次根式进行加减。
乘法分配律： + = + .
加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
应用练习
3.3 化简：2
−2
−
3−2
2
−
7−1
0
1
+
.
2− 3
应用练习
3.4 化简： 12 +
1 −2
3
− −2
0
+ − 2
2
−
3−3 .
应用练习
3.5 计算：
2012 − 1
0
+
1 −1
−
3
−
2−2 −
1
.
2+1
应用练习
3.6 化简：
3−2
2015
∙
3+2
2016
− − 2
0
+ −
1 −1
①加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
②乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
除法法则： ÷ =

≥ 0, > 0
知识讲解
三、相关知识点

①二次根式的性质:(1)
②分母有理化： (1)
1
(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.
易错点：
例题讲解
2.计算：

八年级下册数学-二次根式知识点整理(2)[2]

八年级下册数学-二次根式知识点整理(2)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级下册数学-二次根式知识点整理(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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八年级下册数学-二次根式知识点整理(2)(word版可编辑修改)二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.2、解不等式(组）：尤其注意当不等式两边乘（除以）同一个负数，不等号方向改变.如:-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的3、分式有意义的条件:分母≠04、绝对值:｜a｜=a （a≥0）;|a｜= - a (a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“错误!”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念,要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“错误!”,“错误!”的根指数为2，即“错误!”，我们一般省略根指数2，写作“错误!”。

如错误!可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数,也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子错误!表示非负数a的算术平方根,因此a≥0，错误!≥0。

其中a≥0是错误!有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式错误!，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a (a≥0）的式子也是二次根式,b与错误!是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数,例如83错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!。

二次根式的性质(例题+经典习题)(可编辑修改word版)

a 2 a 2 25 (-7)2 (1 - 2 )2 (-5)2 5 52 - 42 5242 (-16)(-25) -16 ( ) + ( )13 135 12 2 2 42 ⨯ 7 42 7 ab a a + 3 aa + 3 16125二次根式的性质一．复习以前所学相关知识点：平方差公式：完全平方公式：同底数幂的乘法法则：幂的乘方法则：积的乘方法则：规定：（1）二次根式 ( a )2 的性质2( a )2=a (a ≥0)2⎛ 1 ⎫22计算 :(1) ( ) = ; (2) (3 2) =;(3) ⎝ 3 5 ⎪ =;(4) (-3 2)⎭⎛ 1⎫2( )2= ;(5) - ⎝ 2 3 ⎪ = ⎭;（6） a= _ .a (a ≥ 0) （2）二次根式的性质=|a |=- a (a 0)1、计算:(1) =_(2) =(3) =(4) +（- ）2=．（3）二次根式积的性质ab = a ⋅ b (a ≥0,b ≥0)1、(1) 169 ⨯196 =_ _; (2) 42 ⨯ 3 =_ ; (3) 0.01⨯ 0.49 = ;2、下列运算正确的是（）(4) 32 ⨯ 52 =_;A. = - =5-4=1B. = × -25 =-4×（-5）=205 C ． = 12 17 + =D ． = × =4 13 13 13（4）二次根式商的性质= (a ≥0,b ＞0)1、(1)=;(2) = ;2、能使等式 = 成立的a 的取值范围是.3、化简：(1) ( 2)4 b 527a b 925 2 932 27223 3 40 50 200 90 0.5 1⨯ 22 ⨯ 2 2 220.001 5 827 20 3 1 2 7 ⨯ 2 2 ⨯ 2 14 22 1124 4 927x 3 y 5 3.6 ⨯105 96a 3b 6 ⨯105 0.5a 3b 5（5）最简二次根式：①被开方数中不含分母。

二次根式混合运算125题(含答案)[3]

(直打版)二次根式混合运算125题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)二次根式混合运算125题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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二次根式混合运算125题（含答案）1、2、3、4、5、6、7、．8、9、．11、．12、;13、；14、．15、；16、．17、．19、20、；21、22、．23、24、25、26、；．27、28、；；29、；30、31、；（5）；32、33、;34、;35、36、3﹣9+337、÷（3×）38、39、40、;．42、43、44、45、;46、．47、（﹣）2﹣；48、；50、．51、;52、．53、3﹣﹣+(﹣2）（+2)54、55、56、57、58、59、2÷﹣（2﹣）260、﹣2+(﹣1）261、（+2）﹣．62、63、64、65、．66、67、．68、69、70、3﹣（﹣）71、72、﹣273、74、75、76、77、÷78、×+÷﹣79、80、81、﹣．82、83、84、85、（+1）2﹣286、（+1)（1﹣)﹣（﹣1）2+（+1）287、88、89、90、；91、．92、；93、;；94、95、；96、；97、98、|﹣｜+﹣；99、;；100、101、（+）2008（﹣）2009．102、；103、；104、．105、(3+）÷；106、107、；108、；109、．110、﹣1111、(﹣)（+）+2+｜﹣3|﹣2﹣1(4）(﹣2）×﹣6 114、115、（2﹣）;116、；117、118、．119、．120、121、122、+6a；﹣×．123、124、(2）（7+4)(7﹣4）+（2+）125、参考答案1、原式=2﹣3=﹣;2、原式=×==30；3、原式=2﹣12=﹣10．4、原式==2．5、原式===﹣6a．6、原式=；7、原式=()2﹣（﹣1)2=2﹣(3﹣2+1）=8、原式=．9、．原式=（3﹣2+3）×=（+3）×=1+10、原式=﹣+=；11、原式=（4+）÷3=12、原式=2+3﹣=；13、原式==；14、原式=（7+）（7+）=14×2=15、原式==3+6﹣10=﹣1；16、原式=2﹣=﹣2．17、原式=﹣2+=3﹣2+=18、原式=（3﹣2)（3+2)=18﹣12=6；19、原式=（2﹣+）=（+)=+120、原式=﹣3•5÷=﹣15÷=﹣15；21、原式=3+﹣2+﹣3=；22、原式=3a+﹣2b23、原式=3﹣2+1﹣（2﹣3）=5﹣2．24、原式==25、原式=2+1﹣(﹣）=3﹣1=2．26、原式=17﹣（19﹣）=﹣2+；27、原式=2﹣3﹣2=﹣3．28、原式=4+12=；29、原式=+2﹣10=；30、原式=4﹣+=;31、原式=6﹣5=1；32、原式=12+18﹣12=；33、原式=（2+）×﹣2=3﹣2=1；34、原式=+×6﹣m=2m+3m﹣m=0；35、原式=++1=﹣1++1=36、原式=12=(12﹣3﹣+6）=；37、原式=6÷(×）=6÷6=38、原式=+3﹣2=3+3﹣2=3+．39、原式=++×1=6+1+=7+．40、原式=×3+6×﹣2x•=2+3﹣2=3；41、原式=2﹣+3﹣2=2﹣2+142、原式=(6﹣+﹣2）÷2﹣3=3﹣+﹣﹣3=﹣+﹣;43、原式===444、=（4÷2）=45、原式=2+3﹣7=﹣2;46、原式===14．47、原式=10﹣7+=3+；48、原式=×（2﹣+）=+×=+1;49、原式=﹣1；50、原式=2+3+2﹣（2﹣3)=5+2+1=6+251、原式=4+﹣4=;52、原式=(4﹣2+6）÷=2+253、原式=6﹣3﹣+5﹣4=（6﹣3﹣）+1=+154、原式==;55、原式==．56、原式=[﹣（﹣）]［+(﹣）］=5﹣（﹣）2=5﹣（5﹣2）=2．57、原式=4×2﹣16+12﹣16﹣8=﹣4﹣16；58、原式=+﹣+3=59、原式=2﹣(4﹣4+2）=2﹣6+4=6﹣6．60、原式=×2﹣2×3+5﹣2+1=﹣6﹣2+6=6﹣7．61、原式=a+2=2．62、原式=；63、原式=﹣+=﹣+=0．64、=2+﹣2=．65、=﹣=66、原式=9﹣14+4=﹣；67、原式=﹣43=﹣12=﹣11．68、原式=2×=12；69、原式=×3×=﹣;70、原式=12﹣2+6=16;71、原式=（4﹣2+6）×=2+272、原式=27÷（3×）×﹣8=3×﹣8=﹣8；73、原式=（）2﹣（）2=3﹣（2+2+5）=﹣4﹣274、原式=3+8=11；75、原式=2﹣12=﹣10;76、原式=5+﹣6=0；77、原式=÷=÷=1．78、原式=﹣==4+=4+．79、原式===；80、原式==9+6=1581、原式=（+)2﹣=3+2+2﹣=5+82、原式==；83、原式=；84、原式=5﹣6=﹣1；85、原式=4+=86、（1+)（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）2=1﹣（）2﹣（2﹣2+1）+2+2+1 =1﹣2﹣2+2﹣1+2+2+1=4﹣1．87、原式=+4×﹣+1=++1=1+．88、原式=（40）=30=15；89、原式=2+2=2+．90、原式===；91、原式===12．92、原式=2+2+4+2=；93、原式=9﹣14+24=；94、原式=（7+4）（7﹣4）+4﹣3=49﹣48+1=2；95、原式=﹣4×+9﹣12﹣（)=﹣8+9﹣12﹣+1=﹣11;96、原式=﹣+=2x+=；97、原式=2a(b﹣×+)=2ab﹣+ab=98、原式=﹣+3﹣5=2﹣4;99、原式=12﹣4+1=13﹣4；100、原式=2+﹣=；101、原式=（）=102、原式=3×2﹣2×3+5×4=6﹣6+20=20；103、原式=7﹣3+2=6;104、原式=•(﹣）×=﹣=﹣105、原式=3÷+÷=3+=;106、原式=3﹣1﹣=2﹣107、原式=+1﹣×2=2+1﹣2=1；108、原式=3﹣2+1﹣1=3﹣2;109、原式=+4﹣3=110、﹣1=﹣1=﹣1=0；111、(）（）+2=﹣+2=5﹣7+2=0；112、+|﹣3|﹣2﹣1=1+3﹣=3；113、（﹣2）×﹣6=﹣4﹣=﹣9﹣=﹣114、原式=4﹣5=﹣1;115、原式=×=1;116、原式=5﹣2﹣5+2=；117、原式=4﹣2+﹣1=3﹣118、原式==3﹣2=1．119、原式==120、原式=+1=121、原式=3+6a=2a+3a=5a；122、原式=﹣=﹣=3﹣2=1．123、原式==12；124、原式=49﹣48+2+=3+．125、原式===．。

二次根式混合运算题有答案ok完整版

二次根式混合运算题有答案o kHUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】二次根式混合运算125题（有答案）7、．8、9、．10、；11、．12、；13、；14、．15、；16、．17、．18、19、20、；21、22、．25、26、；．27、28、；；29、；30、31、；（5）；32、33、；34、；35、36、3﹣9+337、÷（3×）38、39、40、；．41、42、43、44、45、；46、．47、（﹣）2﹣；48、；49、；50、．51、；52、．53、3﹣﹣+（﹣2）（+2）55、56、57、59、2÷﹣（2﹣）260、﹣2+（﹣1）261、（+2）﹣．62、63、64、65、．67、．68、69、70、3﹣（﹣）71、72、﹣273、74、75、76、77、÷78、×+÷﹣79、80、81、﹣．82、83、84、85、（+1）2﹣286、（+1）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）287、88、89、90、；91、．92、；93、；；94、95、；96、；97、98、|﹣|+﹣；99、；；100、101、（+）2008（﹣）2009．102、；103、；104、．105、（3+）÷；106、107、；108、；109、．110、﹣1111、（﹣）（+）+2+|﹣3|﹣2﹣1（4）（﹣2）×﹣6 114、115、（2﹣）；116、；117、118、．119、．120、121、122、+6a；﹣×．123、124、（2）（7+4）（7﹣4）+（2+）125、参考答案1、原式=2﹣3=﹣；2、原式=×==30；3、原式=2﹣12=﹣10．4、原式==2．5、原式===﹣6a．6、原式=；7、原式=（）2﹣（﹣1）2=2﹣（3﹣2+1）=8、原式=．9、．原式=（3﹣2+3）×=（+3）×=1+10、原式=﹣+=；11、原式=（4+）÷3=12、原式=2+3﹣=；13、原式==；14、原式=（7+）（7+）=14×2=15、原式==3+6﹣10=﹣1；16、原式=2﹣=﹣2．17、原式=﹣2+=3﹣2+=18、原式=（3﹣2）（3+2）=18﹣12=6；19、原式=（2﹣+）=（+）=+120、原式=﹣35÷=﹣15÷=﹣15；21、原式=3+﹣2+﹣3=；22、原式=3a+﹣2b23、原式=3﹣2+1﹣（2﹣3）=5﹣2．24、原式==25、原式=2+1﹣（﹣）=3﹣1=2．26、原式=17﹣（19﹣）=﹣2+；27、原式=2﹣3﹣2=﹣3．28、原式=4+12=；29、原式=+2﹣10=；30、原式=4﹣+=；31、原式=6﹣5=1；32、原式=12+18﹣12=；33、原式=（2+）×﹣2=3﹣2=1；34、原式=+×6﹣m=2m+3m﹣m=0；35、原式=++1=﹣1++1=36、原式=12=（12﹣3﹣+6）=；37、原式=6÷（×）=6÷6=38、原式=+3﹣2=3+3﹣2=3+．39、原式=++×1=6+1+=7+．40、原式=×3+6×﹣2x=2+3﹣2=3；41、原式=2﹣+3﹣2=2﹣2+142、原式=（6﹣+﹣2）÷2﹣3=3﹣+﹣﹣3=﹣+﹣；43、原式===444、=（4÷2）=45、原式=2+3﹣7=﹣2；46、原式===14．47、原式=10﹣7+=3+；48、原式=×（2﹣+）=+×=+1；49、原式=﹣1；50、原式=2+3+2﹣（2﹣3）=5+2+1=6+251、原式=4+﹣4=；52、原式=（4﹣2+6）÷=2+253、原式=6﹣3﹣+5﹣4=（6﹣3﹣）+1=+154、原式==；55、原式==．56、原式=[﹣（﹣）][+（﹣）]=5﹣（﹣）2=5﹣（5﹣2）=2．57、原式=4×2﹣16+12﹣16﹣8=﹣4﹣16；58、原式=+﹣+3=59、原式=2﹣（4﹣4+2）=2﹣6+4=6﹣6．60、原式=×2﹣2×3+5﹣2+1=﹣6﹣2+6=6﹣7．61、原式=a+2=2．62、原式=；63、原式=﹣+=﹣+=0．64、=2+﹣2=．65、=﹣=66、原式=9﹣14+4=﹣；67、原式=﹣43=﹣12=﹣11．68、原式=2×=12；69、原式=×3×=﹣；70、原式=12﹣2+6=16；71、原式=（4﹣2+6）×=2+272、原式=27÷（3×）×﹣8=3×﹣8=﹣8；73、原式=（）2﹣（）2=3﹣（2+2+5）=﹣4﹣274、原式=3+8=11；75、原式=2﹣12=﹣10；76、原式=5+﹣6=0；77、原式=÷=÷=1．78、原式=﹣==4+=4+．79、原式===；80、原式==9+6=1581、原式=（+）2﹣=3+2+2﹣=5+82、原式==；83、原式=；84、原式=5﹣6=﹣1；85、原式=4+=86、（1+）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）2=1﹣（）2﹣（2﹣2+1）+2+2+1 =1﹣2﹣2+2﹣1+2+2+1=4﹣1．87、原式=+4×﹣+1=++1=1+．88、原式=（40）=30=15；89、原式=2+2=2+．90、原式===；91、原式===12．92、原式=2+2+4+2=；93、原式=9﹣14+24=；94、原式=（7+4）（7﹣4）+4﹣3=49﹣48+1=2；95、原式=﹣4×+9﹣12﹣（）=﹣8+9﹣12﹣+1=﹣11；96、原式=﹣+=2x+=；97、原式=2a（b﹣×+）=2ab﹣+ab=98、原式=﹣+3﹣5=2﹣4；99、原式=12﹣4+1=13﹣4；100、原式=2+﹣=；101、原式=（）=102、原式=3×2﹣2×3+5×4=6﹣6+20=20；103、原式=7﹣3+2=6；104、原式=（﹣）×=﹣=﹣105、原式=3÷+÷=3+=；106、原式=3﹣1﹣=2﹣107、原式=+1﹣×2=2+1﹣2=1；108、原式=3﹣2+1﹣1=3﹣2；109、原式=+4﹣3=110、﹣1=﹣1=﹣1=0；111、（）（）+2=﹣+2=5﹣7+2=0；112、+|﹣3|﹣2﹣1=1+3﹣=3；113、（﹣2）×﹣6=﹣4﹣=﹣9﹣=﹣114、原式=4﹣5=﹣1；115、原式=×=1；116、原式=5﹣2﹣5+2=；117、原式=4﹣2+﹣1=3﹣118、原式==3﹣2=1．119、原式==120、原式=+1=121、原式=3+6a=2a+3a=5a；122、原式=﹣=﹣=3﹣2=1．123、原式==12；124、原式=49﹣48+2+=3+．125、原式===．。

二次根式混合运算题含答案

二次根式混合运算125题（含答案）1、、2、3、45、6、7、．、8．9、；、10．、．1112、；13；、、．14；15、、．16、．17、18．、1920；、、2122．、、23、 2425、26、；．、27；、28；、29；、3031；、；）5（、3233、；、34；、 35+39﹣36、3）×337、÷（38、、3940、；．、41、42．、43、44；、45．、462）；﹣47、（﹣、48；49、；．、50．、；5152．、（）+2）53、3﹣+﹣2（﹣、54、5556、、 57、58．2﹣2﹣（2）、59÷2）+21（60﹣、﹣）﹣．（61+2、、62、6364、65．、、66．、67．、68、69﹣﹣（70、3）71、2、72﹣、7374、75、76、÷77 、﹣+÷×、78、79、80﹣81、．、8283、84、22 ﹣85、+1（）22 +1+）（1﹣86、（（）﹣（﹣1）+1）、8788、、89、90；．、91；92、93、；；、94、95；；、96、97、；|﹣|+﹣9899；、；、10020092008．）﹣、101（（）+、；102；103 、．、104；+）105、（3÷106、；107、；108、、109．1 ﹣、110．+）、（（+2﹣）1111﹣6 ×（4）（﹣﹣2）﹣﹣+|3|2、114﹣）（；2 115、116、；、117．118、．119 、、120、121+6a、；122﹣×．、1232+）﹣）4+（7））（2124、（7+4（125、参考答案﹣； 31、原式==2﹣=30、原式==；× 2 =2﹣12=﹣10．3、原式=2=．、原式 4=5、原式==﹣6a．；= 6、原式22= ）﹣（+1﹣（3﹣）、原式7=2（﹣1）=2=．8、原式2+3）×=）×9、．原式=（=1+3（﹣+3+；、原式10﹣==+3）÷=11、原式=（4=12、原式+3=2﹣；13、原式==；2×（14、原式=）7+）（7+=14==3+6﹣10=15、原式﹣=1；=﹣2=216、原式﹣．=﹣ 2=3﹣++217、原式=）=18﹣2、原式18=（3）（3+2﹣12=6；2、原式19=）﹣（=+1（++）=3=﹣15÷；÷? 5、原式﹣=1520=﹣2 =3﹣=；﹣+321、原式+﹣22、原式2b=3a+2． =5﹣3）﹣+123、原式=3﹣2﹣（2== 24、原式﹣）=3﹣1=225、原式=2+1．﹣（2+；）﹣=﹣﹣（26、原式=17193． 3﹣2=﹣、原式27=2﹣；=+12=4、原式28．=；﹣29、原式 =10+2；30、原式 =4=+﹣31、原式=6﹣5=1；=；12 32、原式=12+18﹣﹣2=3+﹣2=1）×33、原式=（；26×； 34、原式+3m=﹣﹣+mm=2m=0+1=1+=+1=﹣ 35、原式+）+6﹣3﹣=；36、原式 ==12（126==637、原式×=6）÷（÷2238、原式+3==3++3．﹣=3﹣．=7+× 1=6+1+++39、原式=? +3×﹣2x=3+6=2﹣、原式402=×3；2=2﹣+1﹣41、原式=2+3﹣2﹣；﹣ 2﹣3=3﹣++3=（、原式42=6﹣+﹣﹣2）÷﹣=4 43=、原式==44÷、=（42）2； 7=﹣45、原式=2+3﹣=14=．、原式46=；=3+﹣=1047、原式7+=+1×+）×（、原式48=2﹣=；+=﹣1； 49、原式+1=6+2） =5+2﹣（2﹣50、原式3=2+3+2=+；4、原式51﹣=4=2）÷52、原式=（4+2+6﹣2+1=+1﹣（﹣﹣3﹣=6、原式53+54=63﹣）；==、原式54．=．=55、原式2=2．2 ﹣（）=[﹣﹣（）﹣）=5][+﹣（（5﹣）]=556、原式﹣16；=﹣416+12﹣16﹣﹣857、原式=4×﹣2﹣+358、原式==+﹣+259、原式）=24﹣=24﹣66+4．=6 ﹣（2﹣﹣67﹣2﹣×60、原式×=+1=23．2 +6=6﹣+5．=a+2=2 、原式6162、原式；=．=、原式=﹣++﹣=063+2=2﹣64、=．==65、﹣=9﹣14+4=；、原式66﹣=﹣12﹣3=67、原式=．11﹣4×=2=12；68、原式×﹣369、原式=×；==16；﹣270、原式=12+6+2 71+6=2）﹣（、原式=×428；×﹣）×、原式72=278==3×﹣﹣8（÷32224﹣+52+2））73、原式==（）=3﹣（﹣（﹣+874、原式=11=3；；、原式=2﹣12=﹣1075=0+﹣76、原式；=56=÷．=÷、原式77=1=4+．= ﹣=4+=78、原式=；= 79、原式==9+6=15 =80、原式2﹣=5+ ﹣=81、原式+（）=3+2+2==82 ；、原式=；、原式8384、原式=5﹣6=﹣1；=、原式85=4+222+1+2+2）+12﹣2﹣（+11）﹣（﹣）+（1）、86（1+（﹣）=1﹣（）．1﹣+1=41+2+2﹣2+2﹣2﹣=1+1=1++1==+4．×﹣+87、原式=15；）88、原式=（=3040+2=2+．89、原式=2=；= =90、原式==12．= 91、原式=；+492、原式=2+2+2=；1493、原式=9﹣+244）+4﹣3=49﹣（7﹣48+1=2；94、原式=（7+4）﹣+1=﹣11﹣；84 ×+9﹣12﹣12+9=﹣（）95、原式=﹣=+=；﹣=2x 96、原式+）﹣+ab+=2a97、原式（=2abb×=﹣5﹣﹣98、原式=4﹣=2 +3；4﹣4+1=13；99、原式=12﹣=﹣100、原式；=2 +）==、原式101（102、原式=32﹣34=6﹣；+5××6+202×=20103、原式=7﹣3；+2=6﹣、原式104==?（﹣）=×﹣÷=3=+、原式=3÷+；105﹣1 、原式=3=2﹣﹣106﹣=2+1﹣2=1×2、原式；=+1 10721=3﹣=3﹣+12﹣108；、原式=3+4﹣109 、原式=1=﹣1=0﹣110﹣1=；、﹣+2=5））+2=﹣（111、（7+2=0；1﹣=3；112﹣、﹣+|3|﹣2 =1+3﹣﹣﹣×﹣69=﹣=4﹣）﹣113、（2=114、原式=4﹣5=﹣1；×=1；= 115、原式=；5+2﹣、原式=52﹣116﹣1=3、原式117=4﹣2﹣+=3﹣=2=1．、原式118==、原式119．=+1120、原式==5a；+6a+3a121、原式3==2a=3﹣=﹣﹣2=1=．、原式122=123、原式=12；=3+．48+2+=49124、原式﹣、原式125=．==。

(完整word版)【精华版】二次根式计算专题训练(附答案)(可编辑修改word版)

﹣ ﹣ ﹣ 二次根式计算专题训练一、解答题（共 30 小题）1. 计算：（1）+；（2）（ +）+（）．2. 计算：（1）（π﹣3.14）0+| ﹣2|﹣ +（）-2．（2） ﹣4 ﹣（）．（3）（x ﹣3）（3﹣x ）﹣（x ﹣2）2．3. 计算化简：（1） ++ （2）2 ﹣6 +3．4. 计算（1） +（2） ÷×．5. 计算：（1）×+3×2 （2）2 ﹣6 +3．6. 计算：（1）（）2﹣20+|﹣ |（2）（）×﹣﹣ ﹣ ﹣ ﹣ （3）2 ﹣3 +；（4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ）7. 计算（1）•（a ≥0）（2） ÷（3）+ （4）（3+ ）（）8. 计算：：（1） +（2）3+（）+ ÷ ．9. 计算（1）﹣4 +÷ （2）（1﹣ ）（1+ ）+（1+ ）2．10. 计算：（1） ﹣4 + （2） +2﹣（）﹣﹣﹣ ﹣﹣（3）（2+）（2）；（4） +﹣（ ﹣1）0．11. 计算：（1）（3 + ﹣4 ）÷ （2） +9﹣2x 2• ．12. 计算：①4 +﹣ +4 ； ②（7+4 ）（7﹣4 ）﹣（3 ﹣1）2．13. 计算题（1） ×× （2）+2（3）（﹣1﹣ ）（﹣+1）（4）÷（）（5）÷ ×+（6）．﹣14.已知：a=，b= ，求a2+3ab+b2的值．15.已知x，y 都是有理数，并且满足，求的值．16.化简：﹣a ．17.计算：（1）9 +5﹣3 ；（2）2 ；﹣（3）（）2016（）2015．18.计算：．19.已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20.已知：a、b、c 是△ABC 的三边长，化简．= = ﹣1 == ==﹣21．已知 1＜x ＜5，化简：﹣|x ﹣5|．22. 观察下列等式：①= ③； ②==；=………回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算： +++…+ ．23. 观察下面的变形规律：= ，= ，= ，= ，…解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想= ；（2）计算：（++…+）×（）24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题：；（1）观察上面的等式，请直接写出（n 为正整数）的结果；（2）计算（）（）=；==﹣﹣（3）请利用上面的规律及解法计算：（+ + +…+ ）（）．25. 计算：（1）6﹣2 ﹣3（2）4+26. 计算（1）| ﹣2|﹣ +2（2）27. 计算．+4．×+．28. 计算（1）9 +7 ﹣5 +2 （2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）2．29. 计算下列各题．（1）（30. 计算）×+3 （2）× ．﹣ ﹣ ﹣（1）9 +7 ﹣5 +2 （2）（ ﹣1）（ +1）﹣（1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题） 1．计算：（1）+ = 2+5= 7；（2）（+）+（= 4+2+2= 6+．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2 =1+2﹣﹣4 +9（2）﹣4﹣（）= 2﹣4× =12﹣5； +2=+（3）（x ﹣3）（3﹣x ）﹣（x ﹣2）2 =﹣x 2+6x ﹣9﹣（x 2﹣4x +4）=﹣2x 2+10x ﹣133．计算化简：（1） ++ = 2+3+2 = 5+2；（2）2﹣6+3= 2×2﹣6× +3×4 = 144．计算（1） += 2+4﹣2 = 6﹣2．（2）÷× = 2÷3×3 = 2．5．计算：（1）×+3×2 = 7+30 = 37 （2）2﹣6+3 = 4﹣2+12= 146．计算：（1）（）2﹣20+|﹣ | = 3﹣1+ =（2）（）× =（3 ）× = 24（3）2﹣3+= 4﹣12+5=﹣8+5（4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ）﹣﹣ ﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣﹣ =（2+ ）2（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ） = 1+1 = 27．计算（1）•（a ≥0）== 6a （2）÷ = =（3）+（4）（3+）（8．计算：（1） +（2）3+（ = 2+3﹣2 ﹣4 = 2﹣3）= 3﹣3+2﹣5 =﹣2=+3﹣2 =2 ；）+÷ =+﹣2+ =．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣ ）（1+ ）+（1+ ）2 =1﹣5+1+2+5 =2+2．10．计算：（1）﹣4 + =3 ﹣2 + =2 ；（2） +2﹣（（3）（2 +）（2 ）=2+2﹣3+=3；）=12﹣6 =6；（4）+﹣（ ﹣1）0 =+1+3﹣1 =4．11. 计算：（1）（3+﹣4 ）÷=（9 +﹣2）÷4=8÷4=2；12. 计算：（2）+9﹣2x 2•=4+3﹣2x 2×=7 ﹣2=5．①4+ +4 =4 +3﹣2 +4 =7 +2；②（7+4 ）（7﹣4）﹣（3﹣1）2 =49﹣48﹣（45+1﹣6） =﹣45+6．13. 计算题（1） ×× = ==2×3×5 =30；﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣﹣ ﹣﹣ ﹣﹣ ÷ ﹣×+=4=（2）+2= ×4 ﹣2 +2× =2 ﹣2 + =；（3）（﹣1﹣ ）（﹣+1）=﹣（1+ ）（1﹣ ）=﹣（1﹣5） =4；（4）÷（（5））=2 ÷（ ÷ ）=2 ÷ =12；+2 =4+ ；（6）==．14. 已知：a=，b= ，求 a 2+3ab +b 2 的值．解：a==2+，b=2﹣，则 a +b=4，ab=1， a 2+3ab +b 2=（a +b ）2+ab=17．15. 已知 x ，y 都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出 x ，y 的值，因此，将已知等式变形：，x ，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x ，y 都是有理数，∴x 2+2y ﹣17 与 y +4 也是有理数， ∴ 解得∵有意义的条件是 x ≥y ，∴取 x=5，y=﹣4， ∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16. 化简：﹣a ．【分析】分别求出=﹣a，=﹣，代入合并即可．﹣ ﹣﹣﹣ 【解答】解：原式=﹣a + =（﹣a +1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当 a ≥0 时，=a ，当 a ≤0 时，=﹣a ．17. 计算：（1）9 +5﹣3 = 9+10 ﹣12 = 7；（2）2= 2×2×2×=；（3）（）2016（ =[（ +）（）2015．）]2015•（ +）=（5﹣6）2015•（ +）=﹣（ +）=﹣ ．18. 计算：．解：原式=+（）2﹣2+1﹣ +=3+3﹣2 +1﹣2+=4﹣ ．19. 已知 y=+﹣4，计算 x ﹣y 2 的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得 x 的值，进而可求出 y 的值，然后代入 x ﹣y 2 求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把 x=代入 y=+﹣4，得 y=﹣4，当 x=，y=﹣4 时 x ﹣y 2=﹣16=﹣14 ．20. 已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简．﹣ ﹣==【解】解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴a +b ＞c ，b +c ＞a ，b +a ＞c ， ∴原式=|a +b +c |﹣|b +c ﹣a |+|c ﹣b ﹣a |=a +b +c ﹣（b +c ﹣a ）+（b +a ﹣c ） =a +b +c ﹣b ﹣c +a +b +a ﹣c=3a +b ﹣c ．21．已知 1＜x ＜5，化简：﹣|x ﹣5|．解：∵1＜x ＜5，∴原式=|x ﹣1|﹣|x ﹣5| =（x ﹣1）﹣（5﹣x ）= 2x ﹣6． 22．观察下列等式： ①= ；② == ；③=…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算： +++…+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（1）原式= =；）（2）原式=+ ++…+=（﹣1）．23. 观察下面的变形规律： = ， = ， = ，=，…解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想=﹣ ；（2）计算：（+ +…+ ）×（）= ﹣1 ==﹣ 解：原式=[（﹣1）+（）+（）+…+（）]（+1）=（ ﹣1）（+1）=（）2﹣12 = 2016﹣1 = 2015．24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题：==； =（1）观察上面的等式，请直接写出（n 为正整数）的结果﹣ ；（2）计算（）（）= 1 ；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+ + +…+ ）（）．=（ ﹣1+ +…+）（）=（ ﹣1）（+1）=2017﹣1 =2016．25．计算：（1）6﹣2﹣ 3 = 6﹣ 5 = 6﹣ ；（2）4+ +4= 4+3﹣2 +4 = 7+2．26．计算（1）| ﹣2|﹣ +2= 2﹣﹣2+2 =；（2）×+= ×5+ =﹣1+ =﹣ ．27．计算．=（10 ﹣6 +4）÷ =（10 ﹣6 +4）÷=（40 ﹣18 +8）÷=30 ÷ =15．﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣ 28．计算（1）9+7 ﹣5 +2 = 9 +14 ﹣20 + = ；（2）（2﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2）2 = 12﹣1﹣1+4﹣12 = 4﹣2．29. 计算下列各题．（1）（）×+3 = + =6﹣6 + =6﹣5 ；（2）×=+1﹣= 2+1﹣2．30. 计算（1）9 +7 ﹣5 +2 = 9 +14 ﹣20 + = ；（2）（ ﹣1）（ +1）﹣（1﹣2 ）2=3﹣1﹣（1+12﹣4 ）=2﹣13+4 =﹣11+4．﹣ ﹣。

二次根式练习题及答案(2)(可编辑修改word版)

若代数式V 乔（X-1）。

在实数范用内有意义，则X 的取值范用为.四-解答题（共8小题）10.若禹 b 为实数，a={2b- 14+\/7-bD 抑G-b)2・二次根式练习题 A. 要使式子字有意义，则X 的取值范囤是（ x>l B. x> - 1 C. x>l D. x> - 12. A. 式子/丄圧实数范用内有意义,则S 的取值范用是（ V X - 1 x<l B. xWl C. x>l D. s213. 下列结论正确的是（ A ・ 3a'b - a'b=2B .单项式-x=的系数是-1 C .使式子\忌有意义的X 的取值范用是x> - 2 D . 4. A. 5. 色2-1 若分1 _的值等于 a+1要使式子』应有意义，则a 的取值范囤是（）a aHO B. a> • 2 且 aT^O C ・ a> ・ 2 或 aHO D, aM - 2 且 aHO 使返豆有意义，则s 的取值范用是—• X 0,则 a=+l 6.若代数仔有意义，则X 的取值范帥 7. 已知屈二£是正整数，则实数n 的最大值为.9. 若实数a 满足a ・8 +Ja- 10=a ，则a=11.已知也=返垒陌1_3,求伽+ “严的值?n +412.已知小y为等腰三角形的两条边长，且X, y满足y = 二雄二r + 4,求此三角形的周长13.己知a、b、c满足J2d+b - 4小-c+l|=JL^+需丸.求a+b+c的平方根.14・若a、b为实数，且沪\/14 ■ Zb+Jb ■ 7+3・求寸（自• b） 2•15・已知yVJx■旷02・Z化简ly・3l - Jy2 - 8y+16・16. 已知a 、b 满足等式br/2a- 6+的-3d - 9・求出a. b 的值分别是多少？试求五亦-傅十需溯值•已知实数a 满足｛(2008- d) 2009"，求" 2008=的值是多少？(1) (2)参考答素与试8解析 J Y — 11・（2016•划门）要使式- —j 恿义，则X 的取值范隔是（2A. x>l B ・ x> - 1 C. xMl D ・ xM - 1J V — 1 【解答】解：要使式子P c 有意义,2 故乳・1MS 解得：xN 】・则X 的取值范困是:xMl.故选：C. 2.（缈6•贵港）式勺E 做数范碉内《义，则•，的取值范碉是C A. x<l B ・ xWl C. x>l D. xNl【解答】解：依題总得：X-1>O. 解得x>l ・故选：C. 3. （2016-杭州校级自主招生）下列结论正确的是（ A. 3a-b - a-b=2 in 项式-x ：的系数是-1使式-"h+2右恿义的X 的取值范用是x> - 2 B. C, D ・界-1若分式 -------- 的值等于0,则沪±1a+1【解答】解：3a=b - a^b=2a=b, A 错熙爪项式的系数是• 1. B 正确：使式fVx+2竹意义的X 的取值范用是xM-2. C 错決界-1若分式 -------- 的值等于0.则沪1,错误,a+1故选：B. 4. <2016•博野县校级自主招生）要使式子』应有恿义・则a 的取值范ra 是（ A ・ aHO B. a> - 2 且 aHO C ・ a> -2 或 aHO D ・ aM ・ 2 且 a 工0 【解答】解：由題意得・計2M0. aHO.解斜• aM ・2且aHO.故选：D. 5."州校级自主招生）沮警有意义，则•，的取值范収亠寻9. 【解答】解：根据题意得，3X-2M0且xHO.9 解斜x>-三且xHO ・ 3 故答案为.xM-gL xHO.yA/ V — 26.（沁•永«模拟）若代数式匕有意义，则•，的取值范册.【解答】解2根据题御X-2MS 且X-3H0. 解得• xN2且x#3：故答案是：xN2且xH3, 7.（2016春•固始县期末）已知（12- n是正整数・则实数n 的报大值为_ H・【解答】解：由题总可知12-n是一个完全平方数，且不为0.嚴小为1-所以n的最大值为12-1=11.8. （2016-大悟县_模）若代数式”x+3牛（x-l）°在实数范困内有意义，则X的取值范隔为xN・3且xH【解答】解：由題总得：寸3MS且x・lH0・解得：xM・3且xHl.故答案为.xM- 3且xHl.9・（2009 -兴化市模拟）若实数a满足la-8 认 -]0% 则沪_Ll【解答】解，根据题意得，a-105^0,解得a^lO.•••原等式可化为S a・8+&- 10%叭/d-10冷Aa- 10=61,解御：a=74.10. <2015 #•绵阳期中〉若 a. b 为实数，叫2b - 14+"7 - 2 求J(a- b) 2.【解答】解：由題总得・2b - 115= 0且7-b>0. 解得bN7且bW7, a=3i 所以• J(a-b)&J(3-7)S・L r _ 2di 7求（mF宀的值?H. <2016-^顺县校级篠拟〉已知n+4【解答】解.由題意得.16・£MO. n=- 16^0.十4H0. 则n'=16. nH - 4.解得■ n=*L则m= - 3,(m+n)浹=】• 12. （2016春•微ft县校级〃考〉已知M.y为等腰三角形的两条边长，且斗y满足尸｛齐左（2« - 6別・求此三允形的周长.【解答】解：由題意得・3-x^O. 2K・6M0・解斜• x=3.则 y=4i半腰为3•底边为4时，-角形的周长为：3+3+4=10, 腰为4•底边为3时，三角形的周长为：3+4+4=11, 答：此三角形的周长为10或H ・13. （2015 春•武昌区期中）已知 a 、b 、c 满足V2d+b -4+ a-crln/b-求屮br 的平方根.【解答】解：由題总b • cM 0且c - bMO. 所以• bNc 且cNb,所以• b=c.所以.等式可变为"2册 -4Ta ・bT =°，解 <a=tlb=2 所以•c=2.所以.a+b+c 的平方根是±>/^・ 14. （2015 R-宜兴市校级期中）若a 、b 为实数，且知期-2b+{b-7+3,求寸（a - b ） 2.【解答】解：根据题氫得：”4 我Aolb-7>0解斜:b=7 •则 a=3.则原式=a-b| = |3-7|=4.15. （2015 #•荣县校级JJ 考）已知y v#x-卩/2 - Z 化简1厂3| -£2_ 8y+16・【解答】解：根据题意得：, 2^匕解得：E12-x>0则yV3・则原式=3 - y - y - 4|=3 - y - <4-y ） = -2y-l.16.（2014春•富顺县校级期末）已知a 、b 满足等式b 二y2a • 6十“9 - 33 -9（1）求出a 、b 的值分别是多少?⑵试求A ZT 亦-的忆【解答】解：（1）由题总:得.2a-6^0且9・3aM0, 解得&S 且aW3・所以，a=3> b=・ 9；由非负数的性质斜.2a+b-4=0, a- b+l=O- d(-9)2+ 引3%(-9)・=6-9-3.=-6・17. （2014秋•宝兴县校级期末）已知实数a满足+乜8・2009% 求a・2008’的值是多少？【解答】解:72：次根式有恿义.Aa- 20095=0.即a5= 2009,•••2008・aW-lV0・•"・2008勺0- 2009"・解得寸Q-2009=2°°&等式两边平方，整理a -2008^2009.。

华师大九年级(上)教案-第22章-二次根式(全)

22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a ≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题．教学过程回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2；当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-；（2）23-x ；（3）2)3(-x ；（4）x x 3443-+-拓展例当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．布置作业1．教材P422.1 二次根式（2）教学内容1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）．教学目标a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 ［老师点评（略）．］二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；（2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，274=．三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （222- 四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P教学反思：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习教材P ．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0；（2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2 五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学反思：22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0,b<0）=b．教学方法：三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．×D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（3；（4=________．2．利用计算器计算填空:（1=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1 （2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计一、选择题1÷的结果是（）．A ．27B ．27C D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）B A C计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（）A B =±12C 2D ．4的结果是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y x y -的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计一、选择题1．以下二次根式：；；是同类二次根式的是（）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式-3的最后结果是________．三、综合提高题1≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米．则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得=所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A ．BC ．D ．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（-1）2=（）2-2·12 反之，-1）2 ∴=-1）2-1求：（1；（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．的值是（）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1时，（结果用最简二次根式表示）2．当教后反思：。

(完整版)二次根式混合计算练习(附答案)

（2）把二次根式化成最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（1）原式=1-1+2 +2-
=2+ ；
(2)原式=
= ．
考点：实数的混合运算；2．二次根式的混合运算．
6． .
【解析】
试题分析：先进行二次根式的化简，财进行乘除运算，最后合并同类二次根式即可求出答案.
试题解析：原式=
.
考点: 实数的混合运算.
15．385
【解析】解:因为，
，
，
所以 .
16．．
【解析】
试题分析：先化成最简二次根式,再进行计算．
试题解析：
．
考点：二次根式化简．
17．．
【解析】
试题分析：先化成最简二次根式,再进行计算．
试题解析：．
考点：二次根式化简．
18．(1)22; (2)
【解析】
试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.
＝2＋1－＋＝3－3＋2＝2
9．1＋
【解析】
解：原式＝4－(3－2 )＋
＝4－3＋2 ＋＝1＋
10．（1）；（2）11 -9 ；（3）-4-2 ；（4）8- .
【解析】（1）利用 =a(a≥0)， = (a≥0,b≥0)化简；
（2）可以利用多项式乘法法则，结合上题提示计算；
（3）利用平方差公式；
点评：本题主要考查了二次根式的加减运算.首先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式.
4．0
【解析】
试题分析：根据实数的运算法则进行计算即可救出答案.
试题解析：
=
=0
考点：实数的混合运算.
5．(1) 2+ ；(2) ．

(完整版)二次根式的加减法

二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。