第14章 光的衍射-2

光栅衍射条纹的成因——光栅衍射图样是由来自
每一个单缝上许多子波以及来自个单缝对应的子 波彼此相干叠加而形成——单缝衍射和多缝干涉 的总效果。 1）单缝衍射

a
单缝上下移动，条纹位置不变
。因为衍射角相同的光线，会
O
聚在接收屏的相同位置上。
因此来自每一个单缝上许多子 波发出的光波，在屏幕上形成

a
O
的条纹形状不变，强度加强； 因此光栅条纹变细的主要原因是多缝干涉。
和相应的级数？ D f 2 4.8 107 3 2.4 10 m 解：（1）x 3 d d 0.40 10 （2）
d 0.40 5 a 0.08
d N 2 1 9 a
k 0, 1, 2, 3, 4
【例3】这是三个多缝装置衍射图，问（I）它们
少？（3）按以上算得的a、b值，屏上实际呈现的
3 6000nm 解：（1） d sin k d sin ab d d k 4 a 1500nm （2） k a a 4 d （3） d sin kmax kmax 10
全部级数是多少？
没有红光的第三级明纹
∆=90.00-51.26=38.74
第三级光谱所能出现的最大波长
a b sin 90 a b 513nm k 3
绿光
干涉和衍射的区别
（1）干涉和衍射都是光的波动性表征
（2）光的干涉是指两束或有限束光的迭加，使得
某些区域振动加强，某些区域减弱形成明暗条纹 ，且每束光线都按几何光学直线传播； 光的衍射是光在真空中传播时能够绕过障碍 物，且产生明暗条纹的现象，光不是按几何光学
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障 碍 物 与 接 收 屏 是 有 限 距 离
——
回顾 1、惠更斯-菲涅尔原理 空间任一点P的振动为所有子波在该点引起振动的 相干叠加 衍射——无限多个连续分布子波相干叠加 2、单缝夫琅禾费衍射 明暗纹条件 0 a sin (2k 1) 2 k k 1,2,3, 衍射条纹角宽度/线宽度
双 缝 干 涉
五、光栅(grating)衍射
1、 衍射光栅 大量等宽等距离的平行狭缝（或反射面）构成的 光学元件。
透射光栅 反射光栅
光栅类型
反射光栅、透射光栅 实用光栅，每毫米有几十条→上千条缝。 光栅特点 ① 明纹相距较远，明纹之间的暗区较宽。
② 明纹的亮度随狭缝的增多而增大变细。
衍射角
L
P Q
单缝衍射 光栅衍射 第一级极 第三级极 小值位置 大值位置
缺级
k=-6 k=-5
k=-4 k=-3
k=-2 k=-1
k=0
k=1
k=2 k=3
k=4
k=5
k=6
a b 3 若： a 1
d d 单缝衍射中央明纹区主极大条数 2 1 2 2 1 a a
成光谱。
I
sin
-/(a+b) 0 三级光谱 一级光谱 二级光谱
I
sin
-/(a+b) 0 三级光谱 一级光谱 二级光谱
例如 二级光谱重叠部分光谱范围 (a+b)sin=3紫
(a+b)sin=2λ
=3紫/2=600nm =400~760nm，二级光谱重叠部分：600~760nm
【例4】用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的
平面光栅上，求第三级光谱的张角。 解：=400~760nm；a+b=1/6500cm；
(a+b)sin=kλ；
31 0.78 1 51.26 紫光： sin 1 ab
31 红光： sin 2 a b 1.48
入射光波长越大，明纹间相隔越远
a+b一定，增大，k+1-k增大
条纹最高级数
k sin k ab
π 2
k kmax
ab
光栅中狭缝条数越多，明纹越细.
(a)1条缝 (d)5条缝
(b)2条缝
(e)6条缝
(c)3条缝
(f)20条缝
小结： 当有N个缝时，满足(a+b)sin =kλ是主极大；
A1
AN
N (a+b)sin =mλ，m=1,2,3,…
a b sin m

N
m Nk
主极大：(a+b)sin =±kλ 极小值：(a+b)sin =±mλ/N，m ≠ Nk
m 1,2, , N 1 , N, N 1 , N 2 , , 2N 1 , 2N, 2N 1 , 2N 2 ,
成为零振幅，则出现暗纹 （1） 极小值－－多光束叠加得极小 (a+b)sin →光栅相邻两缝两束光线的光程差。 设与之对应的相邻两缝光束的相位差为δθ 若：N (a+b)sin =λ
由多边形的性质可知：
δ=2 合振幅 A=0
δ A2 A1 AN
δ
θ
A3
若：N (a+b)sin =2λ 则有：δ=4 合振幅：A=0 所以，满足下列条件为极小值
的直线传播。
（3）衍射现象就是无数个子波迭加时产生的干涉 的结果，衍射现象的本质也是干涉现象。
六、X射线衍射
1895年，德国物理学家伦琴在研究阴 极射线管的过程中，发现了一种穿透力 很强的射线。 金属靶 高能 电子束
高 压 电 源
X射线
1901年获首届诺贝尔 物理学奖
由于未知这种射线的实质（或本性）， 将它称为 X 射线。
k 0, 1, 2, 3 , 5, 6, 7 , 9
【例2】一双缝，缝距0.40mm，两缝宽度都是 0.08mm。λ=480nm的平行光垂直照射双缝，在双 缝后放一焦距为2.0m的透镜，求:（1）在透镜焦 平面处的屏幕上，双缝干涉条纹间距Δx？（2）在
单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉条纹数目N
次极大
中 央 亮 纹
主极大 (亮纹) 极小值 ？
k=6 k=5
k=4
k=3
k=2
k=1
k=0 k= - 1
k= - 2
k= - 4 k= - 3
k= - 5
k= - 6
缝数N = 5时，光栅衍射光强分布图
如果只有衍射：
I 1 I 2
-2
-1
如果只有干涉：
干涉、衍射均有之：
I
缺 级
-2
缺 级
2
-5 -4
X 射线发现17年后，于1912年， 德国物理学家劳厄找到了X 射线
具有波动本性的最有力的实验证
据；发现并记录了X 射线通过晶 体时发生的衍射现象。 由此，X射线被证实是一种频率 很高（波长很短）的电磁波。在
电磁波谱中，X射线的波长范围
约为 0.005nm到10nm，相当于

O f
2、光栅衍射条纹的形成 光栅的衍射条纹是 衍射和干涉的总效果 每一条缝衍 射后的光强 分布相同 多缝干涉 衍射角
a+b
光栅常数d (a+b)sin
相邻两缝间的光程差: δ = (a+b) sin
明纹位置
(a+b)sin=±kλ (k=0,1,2,…)
a：透光部分的宽度 b：不透光部分的宽度 光栅常数：10-5~10-6m
对（3）a+b=2a，b=a
(III)关闭装置（2）中1、3、5缝，则中
央明纹光强分布如何？ 双缝衍射
ab k k 8k a
d 8a
N=2(8-1)+1
中央明纹内包含15级主极大
（IV）若在（3）中关闭2、4缝，则中央明纹光 强分布如何？ d=4a k=4k’ 第四级缺级
6、衍射光谱 (a+b)sin=±kλ (k=0,1,2,…) 入射光为白光时，不同，k不同，按波长分开形
A1
AN
满足下列条件为次极大
N a b sin n

2
n 2 Nk , n 2m
(a+b)sin=±kλ (k=0,1,2,…)
k 1, sin k 1 sin k
一定，a+b减少，k+1-k增大

ab
光栅常数越小，明纹越窄，明纹间相隔越远
在主极大之间有N-1个暗纹；
暗纹之间应该是次明纹：有N-2条。 亮度：是主极大的4％ 综上述，多缝干涉的光强分布如图所示。 主明纹间5－1＝4个暗纹
5－2＝3个次明纹
次明纹光强很小，所以可以认为主极大间一片暗 区。
光栅衍射的光强分布 光栅方程 (a+b)sin=±kλ (k=0,1,2,…)
包络线为单缝衍射 的光强分布图
2）多缝干涉
每一条单缝有相同宽度a，且满足相干条件；
相邻狭缝对应点在衍射角方向上的光程差满足
(a+b)sin=±kλ (k=0,1,2,…)
此时，它们相干加强，在屏幕上形成明条纹，狭 缝越多，条纹就越明亮； 多缝干涉明条纹亦即主极大
L
P Q O f
3、光栅方程：（确定主极大位置） 主极大位置由下式决定： (a+b)sin=±kλ (k=0,1,2,…) 此时相邻两缝光线的光程差等于波长的整数倍， 干涉加强，形成亮纹。 此式称为光栅公式。
-2 -1
1
2
4
5
4、缺级 由于单缝衍射的影响，在应该出现干涉极大（亮纹
）的地方，不再出现亮纹，称为缺级。
出现缺级必须满足下面两个条件： (a+b)sin =kλ → 缝间光束干涉极大条件（明纹） asin =k’λ →单缝衍射极小条件（暗纹） 缺级条件为：
ab d k k k k 1, 2, a a
(N-1) 个极小
k=1
(N-1)个极小
k=2
一级极大 二级极大 在k=1和k=2两级极大值之间，布满了N-1条暗纹； 缝数N 越多，暗区越宽，亮纹越窄。
亮纹的光强：I=N2I0
（2） 次极大
若：N (a+b)sin =λ/2
则有：δ=
若：N (a+b)sin =3λ/2 则有：δ=3
中央明纹中心 干涉加强（明纹）
干涉相消（暗纹）
2 , C , x f a a a

3、光学仪器分辨率 R=1/0=D/1.22
问题：在单缝衍射中角宽度 ∆=λ/a (1) a↓，Δ↑，I↓ (2)明纹中心 解决办法： 单缝衍射
采用一系列平行单缝
光栅：平行、等宽、等间距的多狭缝
用光矢量A的叠加来解释光强分布: 明纹 当相邻两缝光束的光程差为：(a+b)sin=±kλ 第一个与第二个缝光束的相位差为：2 A1——第一个缝光束的光矢量
A2——第一个缝光束的光矢量
N 个缝光矢量叠加后： A = Ai
A 1 A2
AN
A
暗区
【暗纹】如果所有缝的光束在相遇点P叠加后，合
k k
缺级：k=3,6,9…
注：d/a→进整，一定是奇数
5、光线斜入射时的光栅公式
(a b) sin sin k
(k 0,1, 2,
)
式中表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值
【例1（p247 14-6）】波长600nm的单色光垂直入 射在一个光栅上，第三级明条纹出现在sin = 0.30 处，第四级为缺级，试问:（1）光栅上相邻两缝 的间距为多少？（2）光栅上狭缝的最小宽度为多
有什么共同点？（II）①，②有什么异同点？②，
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③有什么异同点？
①
（I） 均为5缝干涉；
（II）（1）（2）d相同
（dsin=k）
② a不同 （1）asin=
sin a (a+b ) >>a
③ （2）a+b=4a b=3a （2）（3）a相同， d不同
（2）（3）的a相同，d不同
d2 4 d sin k d2 2d3 d3 2
（2）复赛：定于下学期（2017年春），以实验课题的方式进行. 入围复赛名单及复赛具体安排，请于下学期开学第3、4周查看大 学物理课程网站 和教务处信息网 竞赛报名方式: 直接向任课教师报名, 并登记好相关信息. 报名截止时间：本周四（12月22日） 大学物理课程网站有近年校竞赛试题及解答
菲 涅 尔 衍 射