素数定理随笔

素数定理随笔

SCIbird

本文献给数学大师高斯

本文试图介绍猜测素数定理的一种思路，以及简单的解析证明。尽管看起来有些事后诸葛亮的感觉，但确实是一种认识素数定理的途径，希望本文能够给读者以启迪。

约定p 始终代表素数，,z s 表示复数。记()x π表示不超过x 的素数的个数，所谓素数定理，指下面极限表达式

()lim

1/ln x x x x π→∞= 本文主要围绕这个表达式来谈谈自己的一些心得体会。应该指出，上述结论已经有严格的数学证明（包括初等证明），但本文重点是给出一条探索素数的途径，文章中主要以近似和形式推导为主，大胆猜测，严格证明。

通过原始的数值计算来观察()x π的分布规律是常见的思维方法，见下表：

表格出自华罗庚的《数论导引》

其中，函数2Li ln x

dt x t

=∫（这是一个非初等积分）由高斯所发现，是()x π的另一个渐进表达式。由洛比达法则可知

Li lim 1/ln x x x x →∞=

函数li x 按如下方式定义

1001li lim ln x dt x t

η

ηη−→+⎛⎞⎟⎜=+⎟⎜⎝⎠∫∫ 显然Li li li 2x x =−.

从上表可以看出，利用li x 作为()x π的渐进函数，效果比/ln x x 要好一些，不过本文的主角其实是函数Li x .

素数作为整数的基础，自古以来备受数学家们的重视。首先，素数有无穷多个。其次，素数又非常少，即()/0x x π→. 第三，素数的分布似乎毫无规律，总的来看很稀疏，偶尔有集聚现象。

所以当人们证明()x π的极限情况有很简单的渐进表达式/ln x x 时，还是感到很神奇。据称，素数定理、费马大定理和哥德巴赫猜想是20世纪初数论中的三大著名猜想，而且素数定理当时的名气最大。

我们主要沿着高斯的发现途径Li x 来找到突破口，这里面也包含很多后来人的工作。与前人思路不同高斯不是简单研究()x π的数值分布特点，而是考察比值()/x x π的分布特点，猜测是否有简单函数()x ϕ来近似代替。

按数学家迪厄多内的说法，高斯考虑(,1000)x x +内的所有素数，通过大量的计算，高斯从数值表中观察到，当x 很大时，有下面的近似性质：

(1000)()1000x x ππ+−正比于1ln x

数值计算表明，用Li x 来近似表示()x π，效果不错。

这一深刻的发现一方面包含高斯辛勤的计算劳动，同时体现了高斯的敏锐直觉。另一方面，直观上也不难理解高斯的发现，笔者当初第一感觉是高斯似乎在寻找素数分布的某种概率分布（笔者下意识想到了正态分布），正确地说，高斯是在寻找素数的某种密度函数分布（近似表达式）。

同一时期，法国数学家勒让德（此人数学上经常与高斯撞车）也发现了素数分布近似关系()~/(ln )x x x B π−，其中B 是一个常数。数学史上一般认为，勒让德和高斯是素数定理的“发现者”（他们没有给出数学证明）。

有没有比数值计算更纯数学一些，更有逻辑一些，来猜测出素数定理的表达式呢？数学家柯朗在《数学是什么》一书中，给出一种从统计方法角度来猜测素数定理的途径。总的方向是寻找一种简单连续函数()x ϕ，使得对较大的数a 与b 有近似关系

()()()b

a b a x dx ππϕ−≈∫ 当然，如果对较大的数x 有近似表达式

2()()x

x t dt πϕ≈∫ 就更好了！严格说，满足上述要求的简单函数()x ϕ未必存在，至少不能预先知道。不过从数学和谐角度看，可以假设这样的()x ϕ存在，下面通过形式推导来猜一猜()x ϕ的表达式。

数论中有一个关于阶乘!n 的定理，即素数p 是!n 的一个素因子，则p 作为因子的次数“约为”（当整数n 很大时）

231

p n n n n n n n p p p p p p p α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⋅⋅≈+++⋅⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这里[]x 表示不超过x 的最大整数。

可以证明，满足p n ≤的所有素数皆为阶乘!n 的因子，反之亦然。于是

1!p n

p p n p n n p

p α≤≤=≈∏∏

根据斯特林公式ln !n 近似等于ln n n ，故

ln ln 1p n

p n p ≤≈−∑

用x 代替n ，得到近似表达式 ln ln 1

p x p x p ≤≈−∑ 因而对上述等式右侧进行近似是突破口。

考虑区间[2,)x ，其内的素数按照从小到大顺序排列为

122m p p p =<<⋅⋅⋅<

因为ln /(1)x x −是减函数，所以在区间1[,)i i p p +上有

11111ln ln ln ()()()111i i i i i i

p p p p i i p i p i p p t t dt t dt t dt p t p ϕϕϕ+++++≤≤−−−∫∫∫

根据假设，()x ϕ应该使得1

()1i i p p t dt ϕ+≈∫（对较大的素数i p ）. 对上面不等式

在区间[2,)x 内的素数求和，得到“近似”表达式

2ln ln ()11

x

p x t p t dt t p ϕ≤≈−−∑∫ 这个近似关系自然不是很严格，但在形式推导之中还是有启迪作用的（至少比没有方向强）。下一步，“大胆假设”

2ln ln ()1

x t x t dt t ϕ=−∫ 等式两边对x 求导，得到

1()ln x x x x

ϕ−= 当x 较大时，(1)/1x x −≈. 因此猜测：当x 较大时，

2Li ln x dt x t

=∫ 作为()x π的近似表达式是一种可能。幸运的是，数值计算表明近似效果不错，这应该是形式推导与数值计算结合的一个典范。

上面说过了素数定理的猜想思路，下面再说说素数定理的证明。第一个证明来自阿达玛和普桑，证明方法比较高深。后来塞尔伯格和厄尔多斯给出了纯初等证明（一堆繁琐的不等式估计，思路比较复杂），证明细节可参考华老的《数论导引》。后来人经过化简，给出了素数定理一个简洁的解析证明，使用的数学工具难度不超过复变函数中的柯西积分定理。这方面的文章见美国数学月刊

一文。下面的内容不准备深入讨论证明细节，只讨论证明的整体框架。

定义函数

11ln (),(),()ln n p p x s s p s s x p n p ζφϑ∞

=≤===∑∑∑ 第一个函数()s ζ就是传说中的黎曼zeta 函数！这方面有太多熟知的重要结论了，如其无穷乘积表达式（欧拉的工作）