中点的应用

解析：1：△ADE是等腰三角形，H是AC中点 2：△CBE是等腰三角形，H是AC中点 第二问用到第一问的结论 证明：（1）∵F为DE中点，AD=AE， ∴AF为△ADE的高．即AF⊥DE． （2）连接CG，∵CB=CE，G为BE中点， ∴CG⊥BE． ∴∠AFC=∠AGC=90°． 又∵H为AC中点， ∴FH=AC，GH=AC． ∴FH=GH． ∴∠HFG=∠FGH．
例8：
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What we hope to achieve in the short and long run
答案解析
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证明：连接CD．∵在Rt△ABC中，AD=BD． ∴CD=AB=AD． ∵AC=BC． ∴∠A=45°． ∵PE⊥AC，PF⊥BC． ∴四边形PECF为矩形． ∴CF=PE=AE． 又∵CD=AD． ∴∠ACD=∠BCD=45°． ∴△AED≌△CFD（SAS）． ∴DE=DF．
中点在同一个三角形中，利用三线合一， 当不再同一个三角形中时，构造三角形 证全等。
1 E．求证：CD= 2
BE．
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例5 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．求证：BR=2FR
例1
如图所示， 在△ABC 中， ∠ACB=90°， 点 D， E 分别为 AC， AB 的中点， 点 F•在 BC 的延长线上，且∠CDF=∠A ．求证：四边形 DECF 为平行四 边形．
解析：1：△ABC是直角三角形，E是斜边中点 2：D,E为△ABC两边中点
证明：∵D，E分别为AC，AB的中点， ∴DE为△ACB的中位线． ∴DE∥BC． ∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线， ∴CE=1/2AB=AE． ∴∠A=∠ACE． 又∵∠CDF=∠A， ∴∠CDF=∠ACE． ∴DF∥CE． ∴四边形DECF为平行四边形
例7
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例7答案解析
2
重思想综合运用
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证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∠BAC=∠C， 在△ABD和△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠C AD=CE ∴△ABD≌△CAE， ∴∠ABD=∠CAE， ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°， ∴∠BPF=∠APD=60°， 在Rt△BFP中，∠PBF=30°， ∴BP=2PF，
练
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解：延长BD交AC于点F， ∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°， ∴△ABD ≌△AFD， ∴AB=AF=6，BD=DF， 又∵E 为BC 中点， ∴DE=1/2FC=（AC-AF）=（10-6）=2。
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例3
如图所示，AB，CD 交于点 E，AD=AE，CE=BC，F，G，H 分别是 DE，BE， AC 的中点．求证： （1）AF⊥DE． （2）∠HFG=∠FGH．
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例4
如图，在△ABC 中，已知 AB=6，AC=10，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，E•为 BC 中点．求 DE 的长．
解析：1：AD是角平分线，BD⊥AD 2：E是BC中点
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例2
如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC 于点 E， PF⊥BC 于点 F，求证：DE=DF．
点D是AB的中点
解析：1：△ABC是直角三角形，D是斜边中点 2：△ABC是等腰三角形，D是底边中点
练 △ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC，AE 是∠A 的平分线，CD⊥AE 于 D．求
1 证：CD= 2
AE．
A
C D
E
B
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练 如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC，DE⊥BD 于 D，交 BC 于点
中点问题浅析
和中点有关的定理和技巧
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A
直角三角形斜边中线
倍长中线
直角+斜边中点
B
D
C
普通三角形+中点
三线合一
等腰+中点
C
中位线
两个中点
A
B
D E
C
A
D
B
1
定理的直接或联合 运用
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例6
求证：AF=1/2FC
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