第8章 M通道滤波器组

第8章 M 通道滤波器组8．1 M 通道滤波器组的基本关系图8.1.1是一个标准的M 通道滤波器组。

图8.1.1 M 通道滤波器组由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： ()()()k k X z X z H z = (8.1.1)1101111()()1 ()() (8.1.2)M lMk kM l M l l MMM k M l V z XW z M X W z H W z M-=-===∑∑及 101()()()() M llMk k Mk M l U z V z X zWH zW M-===∑ (8.1.3)滤波器组的最后输出111ˆ()()()1()()() (8.1.4)M k kk M M llM k M k l k X z G z U z X zW H zW G z M-=--====∑∑∑. . . ˆ()z (X令 101()()() (8.1.5)M ll kM k k A z HzW G z M-==∑则 10ˆ()()() (8.1.6)M l l M l X z A z X zW -==∑ 这样，最后的输出ˆ()X z 是()lMX zW 的加权和。

由于 (2/)()()j lj l M M z e X zW X e ωωπ-== (8.1.7)在0l ≠时是()j X e ω的移位，因此，ˆ()j Xe ω是()j X e ω及其移位的加权和。

由上一章的讨论可知，在0l ≠时，(2/)()j l M X eωπ-是混迭分量，应想办法去除。

显然，若保证()0 1~1l A z l M ==- (8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.再定义1001()()()()M kk k T z A z Hz G z M-==∑@ (8.1.9)显然，()T z 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。

这时，ˆ()Xz 是否对()X z 产生幅度失真和相位失真就取决于()T z 的性能。

若()T z 是全通的，也即()j T e ωωπ=≤常数，，那么滤波器组可避免幅度失真，若()T z 再具有()kT z cz-=的形式，那么滤波器组又将消除相位失真。

因此，（8.1.9）式的()T z 和（7.2.4）式的()T z 一样，都称为“失真函数”。

由（8.1.5）式，11()~()M A z A z -能否为零取决于()()0~1k k H z G z k M =-，，的性质。

将该式写成矩阵形式，有011000111111101111()()()()()()()()()()()()()()()M M M M M M M M H z H z H z A z G z H zW H zW H zW A z G z M H zW H zW H zW A z G z --------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M MM M L (8.1.10) 令001()[(),0,,0], ()[(),,()] T TM z MA z z G z G z -==L L t g (8.1.11)并令（8.1.10）式右边的矩阵为()z H ，则在去除混迭失真的情况下，有()()()z z z =t H g (8.1.12)式中()z H 的第一行是01(),,()M H z H z -L ，第二至第M -1行分别是由这M 个滤波器的依次移位所构成。

因此，()z H 又称“混迭分量（Alias Component ，AC ）矩阵”。

它等效于两通道情况下由（7.2.8a ）式给出的矩阵m H 。

由（8.1.12）式，我们有1()()()z z z -=g H t (8.1.13)为保证去除混迭失真，可选0()[(),0,,0][',0,,0]T kz MA z c z -==L L t 。

这样，若()z H 已知，即可求出综合滤波器组()z g 。

且整个的M 通道滤波器组还具有PR 性质。

但（8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为：adj ()()()det ()z z z z =H g t H (8.1.14)式中adj ()z H 是()z H 的伴随矩阵。

（1） 若()z H 是FIR 的，显然det ()z H 也是FIR 的，这时()z g 将变成IIR 的； （2） 若选择0det ()()n z czz -=H t ，这时()z g 可保证是FIR 的，但由于()adj ()z z =g H ，因此()z g 的阶次将远大于()z H ；（3） 若()z H 有零点在单位圆上，()z g 的幅度将会产生较大的失真。

此外，由（8.1.13）式或（8.1.14）式并不容易找出()z H 、()z g 的关系以及()z H 自身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失真及探讨实现PR 的途径。

8．2 M 通道滤波器的多相结构仿照（7.6.9）和（7.6.10）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为：1,0()()M l M k k l l H z z E z --==∑ (8.2.1)写成矩阵形式，有00,00,10,1111,01,11,1(1)11,01,11,1()1()()()()()()()()()()()MM M M M MM M M M M M M M M M M H z E z E z E z H z z E z E z E z H z zE z E z E z ----------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M ML (8.2.2) 记 1(1)011()[(),(),,()], ()[1,,,] (8.2.3)T M TM z H z H z H z z z z----==L L h e并记（8.2.2）式右边的矩阵为()Mz E ，则()()()M z z z =h E e (8.2.4)()M E z 称为多相矩阵，而()z h 是由上一节的AC 矩阵()z H 的第一列构成的。

同理，对综合滤波器组()k G z 按第二类多相结构展开，有1(1),0()()M M l M k l k l G z z R z ----==∑ (8.2.5)写成矩阵形式：[](1)(2)0110,00,10,11,01,11,11,01,11,1(),(),,(),,,1 ()()()()()() ()()()M M M M M M M M MM M M M M M M M M G z G z G z z z R z R z R z R z R z R z R z R z R z -----------⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL gLL M ML(8.2.6)记该式右边的多相矩阵为()Mz R ，则（8.2.6）式可写为如下更简洁的形式：(1)()()()T M M z z z z --=g e R % (8.2.7)式中()z g 已在（8.1.11）式中定义，1()[()]Tz z -=ee %。

利用（8.2.2）和（8.2.6）式，图8.1.1的M 通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。

再利用恒等变换，又可改成图（b ）和（c ）的形式。

在图（c ）中，()()()z z z =P R E该图的得到过程与图7.6.1和图7.6.2的导出过程相类似。

因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵()z E 和()z R 的分析，或简单的()z P 的分析。

若()z P 为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。

至此，我们已讨论了M 通道滤波器组的两种表示形式，一是用（8.1.10）式的AC 矩阵表示的形式，二是用（8.2.2）式表示的多相形式。

在深入讨论()z E 、()z R 的性能对整个系统PR 性能的影响之前，我们先讨论一下，AC 矩阵()z H 和多相矩阵()z E 的关系。

由（8.2.3）式对()z h 的定义及（8.1.10）式对()z E 的定义，我们有 1()[(),(),,()]TM z z zW zW -=H h h h L (8.2.8)由（8.2.2）式，()T z H 又可表为11()[()(),()(),,()()] ()[(),(),,()]T M M M M MM z z z z zW z zW z z zW zW--==H E e E e E e E e e e L L图8.2.1 M 通道滤波器组的多相结构； (a)直接表示； (b)利用恒等变换后的表示； (c)进一步的简化表示记 11(1)(1)11111M M M M W W WW ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦W L LM M M L (8.2.9) 1(1)()[1,,,]M z diag z z ---=L D (8.2.10)(a)()X zˆ()z(b)()X zˆ()z (c)()X zˆ()z 0()u n0()v n则 *()()()T M z z z =H E D W (8.2.11a) 或 ()()()HTMz z z =H W D E (8.2.11b) （8.2.11）式即是混迭分量矩阵()z H 和多相矩阵()Mz E 的关系。

8．3 混迭抵消和PR 条件的多相表示我们在8.1节已指出，若11(),,()M A z A z -L 全为零，则可实现混迭抵消。

进一步，若()T z 为全通函数，或()kT z cz -=，则M 通道滤波器组可以实现准确重建。

现在我们讨论这些条件的多相表示。

定理8.1 一个M 通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵()()()z z z =P R E为伪循环矩阵。

所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵0121101221031230()()()()()()()()()()()()()()()()M M M M M M P z P z P z P z P z P z P z P z P z P z P z P z Pz P z P z P z ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L MM M O M L将其主对角线以下的元素都乘以1z -所得到的矩阵，即0121110121121031111230()()()()()()()()()()()()()()()()M M M M M M P z P z P z P z z P z P z P z P z z P z z P z P z P z z Pz z P z z P z P z ------------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M O M L该伪循环矩阵所对应的时域关系是：0121101221031230()()()()(1)()()()(1)(1)()()(1)(1)(1)()M M M M M M p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n ------⎡⎤⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦L L L M M M O M L现证明定理8.1。