八年级上册实数的综合运算专题

第4讲 实数与勾股定理的综合运用2

◆【知识考点梳理】

1a a 3a 2、熟练运用二次根式的性质化简二次根式，熟练进行实数的混合运算

①、)0()(2

≥=a a a

②、)0,0(≥≥⋅=b a b a ab

③、

)0,0(>≥=b a b a

b a ④、⎩⎨

⎧≤-≥==)

0()0(2a a a a a a 3、熟练进行分母有理化---把分母中的根号划去 最简二次根式m m x y x y

4、勾股定理有关计算与实数运算结合的综合题

◆【典型例题、考点导航】

◆ 【考点题型1】---实数的相关概念

【例1】1、下列说法中正确的是（ ）

A 、任何数的平方根有两个；

B 、立方根仍是这个数的实数只有0和1±；

C 、2a 的平方根是a ；

D 、平方根仍是这个数的实数只有0和1；

2、（13江苏淮安）如图，数轴上A 、B 2和5.1，则A 、B 两点之间表示整数的点共有（ ）

A 、6个

B 、5个

C 、4个

D 、3个

3、（原创）有4张相同的卡片，上面分别标有数字38-，

22

7

，0.4-，33，现将卡片

背面朝上洗匀放在桌上，从中随机抽取一张卡片，上面的数字恰好是无理数的概率为（ ）

A 、34

B 、12

C 、1

4

D 、0

4、（浙江丽水、金华—2，如果点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是 ；

5、当10≤≤x 时，化简__________12

=-+x x ；

◆ 【考点题型2】---计算、化简

【例2】比较下列实数的大小（在 填上 > 、< 或 ＝） ①、3-

2； ②、

215- 2

1

； ③、11 5。 【例3】直接写出结果： （1）32______=；（2________32

=-；（3）30.75________=； 【例4】计算：①、)21(211-÷ 01118(1)()4

21π---+

③、()()2

2011

3

1313272π-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭

20

130.5 3.1432π---+---（）

D

C

B

A

E

◆ 【考点题型3】---勾股定理与实数结合的有关计算

【例5】1、（13张家界）如图，1OP =O ，过P 作1PP OP ⊥，得12OP ；再过1P 作121PP OP ⊥且121PP =，得23OP =；又过2P 作23

2P P OP ⊥且231P P =， 得32OP =；…依此法继续作下去，得2012_________OP =；

2、（山东菏泽）如图所示，在三角形纸片ABC 中，3BC =，6AB =，90BCA ∠=︒，在 AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，

A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（ ） A 、6

B 、3

C 、23

D 3

【例6】（13北京）已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，

BD DC ⊥，45ABD ∠=︒，30ACD ∠=︒，23AD CD ==AC 和BD 的长。

A

B

E

◆【创新题型、思维拓展】

【例7】1、（13台州）任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=

，

1=，现对72

，这样对

72只需进行3次操作后变为1

，类似地，①、对81只需进行 次操作后变为1；②、只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ； 2、观察下面的式子：12211112S =+

+，22211123S =++，3

22

11

134S =++，g g g ， 22

11

1(1)n S n n =+

++。 （1_______=_______=_______=（用n 的代数式表示） （2）计算：________________S =

=（用n 的代数式表示）

【例8】用计算器求下列根式的值如下，结果保留了4个有效数字，对每组的结果进行研究，（1）9.984970000=；97000=49.989700=；14.31970=；849.997=；

114.37.9=；

9849.097.0=；3114.0097.0=

（2）43.723800003=；62.33380003=；

60.1538003=； 243.73803=；

362.3383

=；

560.18.33

=；

利用你发现的规律，试解答下面的两个题目：

1

===

A B

C

D

E

F

C

（3）若771.268.7=，则=768 ；

（4）若b 的立方根是45.6，则立方根是456的数为 。

【例9】（13达州）一道结论性探索题的类比延伸：通过类比联想、引申拓展研究典型题目，

可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ， 则EF BE DF =+，试说明理由。 （1）思路梳理 ∵AB CD =，

∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合。 ∵90ADC B ∠=∠=︒； ∴180FDG ∠=︒，点F 、D 、G 共线。 根据 ，易证AFG ∆≌AFE ∆，得EF BE DF =+。 （2）类比引申

如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，

45EAF ∠=︒。若B ∠、D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足关系 时，