矩阵的秩 学年论文

学院数学与信息科学学院

专业信息与计算科学

年级2009级

姓名张晓函

论文题目矩阵的秩

指导教师彭玉成职称讲师成绩

2009年5月25日

学年论文成绩评定表

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

引言 (1)

1预备知识 (1)

2矩阵的秩的性质 (2)

3矩阵秩的计算 (4)

4矩阵秩的应用 (8)

5结束语 (9)

参考文献 (9)

矩阵的秩

学生姓名：张晓函学号：20095034048

数学与信息科学学院信息与计算科学系

指导教师：彭玉成职称：讲师

摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法.

关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组

Matrix rank

Abstract:This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rank

Keywords: matrix,elementary transformation, son,great linearly independent groups

前言

矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法.

1．预备知识

定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作()

r A

定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.

矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点定义1.3：在一个s n

上的2k个元素按原来的次序所组成k级行列式，称为A的一个k级子式.

定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

2.矩阵的秩的性质

1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。

性质2.1矩阵的行秩与列秩相等．

证 设所讨论的矩阵为11121212221

2n n s s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 而A 的行秩=r ，列秩=1r ．为了证明r 1r =，我们先来证明1r r ≤．

以12,,,s ααα 代表矩阵A 行向量组，无妨设12,,,r ααα 是它的一个极大线性无关组．因为12,,,r ααα 是线性无关的，所以方程

110r r x x αα++=

只有零解，也就是说，齐次线性方程组

111212112222211220

00

r r r r

n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩ 只有零解．则这个方程组的系数矩阵

112111222212r r n n rn a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

的行秩≥r ．因之在它的行向量中可以找到r 个线性无关的，譬如说，向量组

()11211,,,r a a a ，()12222,,,r a a a ，…，()12,,,r r rr a a a

线性无关．那么在这些向量上添加几个分量后所得的向量组

()112111,,,,,r s a a a a ，()122222,,,,,r s a a a a ，…，()12,,,,,r r rr sr a a a a

也线性无关．它们正好是矩阵A 的r 个列向量，有它们线性无关性可知矩阵A 的列秩1r 至少是r ，也就是说1r r ≥．

用同样的方法可证1r r ≥．这样，我们就证明了行秩与列秩相等． 性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩

证 矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组，而我们知道，等价的向量组都有相同的秩．因此，初等变换不改变举证的秩．同样的，初等列变换也不改变举证的秩．

定理2.1一矩阵的秩是r 的充分必要条件是矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有

1r +级子式全为零．

3. 矩阵的秩的计算

3.1方法一 初等变换

分析：由性质2可知，矩阵经初等变换后，其秩不变．因此，可用初等变换求矩阵的秩．

用初等变换求矩阵的秩，级可一用初等行变换，也可用初等列变换，也可交替进行把替个矩阵A 化为阶梯行矩阵．由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（列）数的个数，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（列）数就是矩阵A 的秩． 3.1.1 已知

11

2

1

0224203061103

001A -⎛⎫

⎪

-

⎪

= ⎪-

⎪

⎝⎭，求()r A ． 解：对矩阵A 进行初等行变换化阶梯形

112

1

0112

1

0112

1

02242000

00003

04130611

03041

00012303

0010300000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

⎪

--

⎪ ⎪ ⎪

=→→ ⎪ ⎪ ⎪---

⎪

⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为非零行的个数为3，故()r A 3=．

注：此方法使用方便，不需要计算行列是，也不需要考察向量组的相关性，因此，是求秩最常用的方法． 3.2 方法二：计算子式法

分析：由定义1，矩阵的秩就是矩阵中不等于零的子式的最高阶数．根据这一定义，要求矩阵A 的秩，需计算行列式的各阶子式．从阶数最高的子式开始，一直找到不等于零的子是中阶数最大色一个子式．则这个子式的阶数就是矩阵A 的秩． 3.2.1 设