史荣昌魏丰版矩阵分析第三章(1)

内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβγααααα+=+≥==当且仅当时这里是中任意向量，为任意实数，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。

,,αβγV k n V 例1在中，对于nR 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==""规定11122(,)n nx y x y x y αβ=+++"容易验证是上的一个内积，从而成1(,)n R n R 为一个欧氏空间。

如果规定211222(,)n nx y x y nx y αβ=+++"容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间2(,)n R n R又成为另外个欧氏空间。

例2在维线性空间中，规定n mR×nm T容易验证这是上的一个内积，这样对于(,):Tr()A B AB =n mR ×n mR ×这个内积成为一个欧氏空间。

例3在维线性空间中，规定2n n nC×(,):()HA B Tr AB =其中H表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。

B B (,)n n×n nC ×连同这个内积起成为酉空间。

C欧氏空间的性质)()β欧氏空间的性质：(1)(,,k k αβα==(2)(,)(,)(,))()ttαβγαβαγ++11(3)(,,i i i i i i k k αβαβ===∑∑(4)(,)(,)tti i i i k k αβαβ===∑∑11i i4242ii i ++⎡⎤(1)21i i ⎢⎥−+⎢⎥4212i i ⎢⎥−+−−⎣⎦6123i i +⎡⎤(2)1291i i ⎢⎥−−⎢⎥317i i ⎢⎥−+−⎣⎦⎡018(3)4i i −⎤⎢⎥100i i −−−⎢⎥−−⎦84i i ⎢⎥⎣3132i i +⎡(4)13415i i ⎤⎢⎥−+2155i i ⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦标准正交基底与Schmidt 正交化方法定义为一组不含有零向量的向量组如果：设为组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组{}i α{}i α量组。

定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量则称此向量组为标准正交向量组单位向量，则称此向量组为标准正交向量组。

定义n n ：在维内积空间中，由个正交向量组成的基底称为正交基底；由个标准的正交向量组成的n 基底称为标准正交基底。

定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是{}i α)0(,,i j i jαα=≠{}i α向量组为标准正交向量组的充分必要条件是10(,){i j ij i j i jααδ===≠定理正交的向量组是一个的向量组反：正交的向量组是一个线性无关的向量组。

反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组甚至是一个标准正交向量组交向量组，甚至是一个标准正交向量组。

Schmidt 正交化与单位化过程:设为维内积空间中的个线个向量可以构造一个标准V n {}12,,,r ααα"r 性无关的向量，利用这个向量可以构造个标准正交向量组, 而且它是的一个r {}12span ,,,r ααα"标准正交基。

酉变换与正交变换定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足A n H H，一般记为A A AA I==A n nA U×∈则称是酉矩阵般记为为一个阶实矩阵，如果其满足A n 设为个阶实矩阵如果其满足T TA A AA I==则称是正交矩阵，一般记为A n nA E×∈⎡⎤cos sin (4)010i θθ−⎢⎥是一个酉矩阵()sin 0cos i θθ⎢⎥−⎢⎥⎣⎦（5）设且，如果1n Cα×∈1Hαα=2HG I αα=−则是一个酉矩阵。

通常称为Householder 矩阵。

G满足n n×A 幂等矩阵定义：设，如果A C∈2A A=则称是一个幂等矩阵。

A 对应投影变换M ⎡例(),r n n r n r I A C M C O O ××−⎤=∈∈⎢⎥⎣⎦是个分块幂等矩阵是一个分块幂等矩阵。

幂等矩阵的一些性质：设是幂等矩阵，那么有A （1）都是幂等矩阵；,,,,THTHA A I A I A I A −−−（2）()()0A I A I A A −=−=（3）()()N A R I A =−N I A R A −=()()（4）的充分必要条件是Ax x =()x R A ∈（5）1()()n CR A N A ×=⊕()x Ax x Ax =+−定理是一个秩为阶矩阵那么：设是个秩为的阶矩阵，那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在A n r An nn P C ×∈使得1r I O P AP −⎡⎤=O O ⎢⎥⎣⎦推论：设是一个阶幂等矩阵，则有T (k(A n Tr()rank()A A =定义设为个维标准正交列n ：设为一个向量组，那么称型矩阵{}12,,,r ααα"n r ×112,,,r U ααα=⎡⎤⎣⎦"n r×为一个一般地将其记为1r U U ∈为个次酉矩阵。

般地将其记为定理：设为一个阶矩阵，则A n 2H 的充分必要条件是存在一个型次酉矩阵A A A==n r ×使得1n rrU U ×∈H其中。

11A U U =rank(r A =对应正交投影()引理：的充分必要条件是1n rrU U ×∈11Hr rU U I ×=Hα⎡⎤121H HU α⎢⎥⎢⎥=112,,,r U ααα=⎡⎤⎣⎦"证明：设，那么#H r α⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦必要性：如果为一个维标准正交列向量组那么{}12,,,r ααα"n 列向量组，那么⎡1HH α⎤⎢⎥21112"#,,,H r U U αααα⎢⎥=⎡⎤⎣⎦⎢⎥H r α⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121"HH Hr H H H ααααααα⎡⎤⎢⎥21222"""""r ααααα⎢⎥=⎢⎥12"H H Hr r r r αααααα⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡11⎤r r I ×⎢⎥⎢⎥==%1⎢⎥⎢⎥⎦⎣充分性：设，那么由[]112,,,r U ααα="，可得11Hr rU U I ×=H⎡1H αα⎤⎢⎥212"#,,,r ααα⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥H r α⎢⎥⎣⎦11121"H H H r H H H ααααααα⎡⎤⎢⎥21222"""""r r r I ααααα×⎢⎥==⎢⎥12"H H H r r r r αααααα⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(,){H i j j i i j αααα===即这表明是个0i j≠是一个维标准正交列向量组。

{}12,,,r ααα"n 定理的证明：因故k 必要性：因，故有个线性无关的列向量，将这个列向量用Schmidt 方法得出个两两正交的单位向量以这rank r A =A r r r 个两两正交的单位向量，以这个向量为列构成一个型次酉矩阵r n r ×.n r r U U ×∈注意到的个列向量都可以由的个列向量线性表出。

A r n U 即如果12[,,,],n r r r U Uβββ×=∈"那么可得12[,,,]n A ααα="11211n C C C ⎡⎤"1222212[,,,]n H r C C C UV βββ⎢⎥⎢⎥==""12r r nr C C C ⎢⎥⎢⎥⎣⎦"""""下面证明V U =。

2H A A A ==H A A A =由可得，即H H H UVVU UV =H =注意到，所以r r U U I ×H H UVVV =0H U V V −=(),即()0H V U V −=()因为，所以，从而rank()H V r =rank()0U V −=H ,U V =.A UU =于是H =2H ==充分性：若，则A UU .A A A。