线性控制系统理论试题及答案

4.李雅普诺夫第二法是建立在什么观 点基础上的？
答：李雅普诺夫第二法是建立在能量观点 基础上的。即认为，如果一个系统的某个 平衡状态是渐进稳定的，那么随着系统的 运动，其存储的能量将随着时间的增长而 衰减，直至系统趋于平衡状态，而能量趋 于最小值。因此，引入了能量函数即李雅 普诺夫函数V(x,t)≥0，通过判断V(x,t)及其对 时间的一阶导数的定号性而得出系统平衡 状态的稳定性信息。
0 1 2 0 2 2 2 = Φ (t , t 0 ) − t 0 t 1 0
0 2 2 − t 0 t 1 2
所以
0 Φ (t , t 0 ) = 1

2 0
−1
= 1 2
(t
1
2
− t0
2
)
0 1
点评：此题考察根据初末状态对状态转移矩阵的 求解。揭示系统的运动规律，即在知道了系统的 初始状态和输入信号后，如何根据状态空间模型 确定系统未来的状态和输出，以了解系统的运动 状况。即求：
第二组
1.什么是状态？什么状态空间？
答：状态：是指能完全描述系统时域行为的一个最小 变量组。 状态空间：状态向量的所有可能值的集合在几何上 叫状态空间。 = 如给定了 t=t 0 时刻这组变量的值和 t ≥ t0时刻的 输入函数，则系统在 t ≥ t0 时刻的行为就能完全确定， 这样一组变量就称为状态变量。 状态变量组成的空间叫状态空间。 点评：本题考核状态和状态空间的基本概念，是线性 系统理论的基本概念。
x (t ) = φ (t − t0 ) x (t0 ) + ∫ φ (t − τ ) Bu( τ ) d τ
t0 t
其中
φ (t ) = e
At
1 2 2 1 k k = I + At + A t + L + A t + L 2! k!
3.设线性定常系统用下式描述
X (t ) = AX (t ) + Bu 馈闭环 的极点和观测器的极点可按照真实状态反 馈一样分别独立进行任意配置，互不影响。 整个系统的特征值集合是A-BK的特征值集 合与A-MC的特征值集合的并集，状态观测 器的特征值不受其反馈的影响。在特征值 配置方面，状态反馈的设计和状态反馈器 的设计可以独立进行，该性质称为卡尔曼 分离特性。
点评：第一法称为近似法，是解系统的微分 方程式，然后根据解的性质来判断系统的 稳定性。第二法称为直接法，这种方法是 确定线性时变和非线性系统稳定性的更一 般的方法。这种方法可以在无需求解状态 方程的条件下确定系统的稳定性。
5.当一个单输入单输出系统同时存在状 态反馈和状态观测器时，反馈系数K和观 测阵G的变化是否互相影响两部分的特 征值?系统的特征值与两部分特征值的关 系？ 答：不是，两部分是相互独立的，系统 的特征值为两部分特征值的乘积。
•
式中
1 − 1 1 A= , B = 1 0 − 1
试将状态方程化为能控规范型 。
答：系统的能控性矩阵
1 0 Qk = [B M AB ] = 1 − 1
为非奇异，故系统可化为能控规范型，即
P1 = [0 1]Qk
−1
= [1 − 1]
P 1 − 1 变化矩阵为 P = 1 = 1 P A 1 0
2.已知线性时变系统
x = A (t )x ,
•
,其解如下
2 0 0 2 x(t 0 ) = 时, x(t ) = ;当x(t 0 ) = 时，x(t ) = 2 2. 1 1 0 t − t 0
求系统的状态转移矩阵。 答：从 x (t ) = Φ (t , t 0 )x (t 0 ) 可以写出下列方程
因此
ˆ = PAP −1 = 0 1, B = PB = 0 ˆ A 1 0 1
故
0 1 ∧ 0 X = A X + Bu = X + 1 u 1 0
∧ ∧ ∧ ∧
•
点评：此题考察状态空间表达式的线性变 换，关键求出变换阵P。 有几个重要结论： （1）变换前后系统特征方程和特征值的 不变性。 （2）传递函数矩阵的不变性。