提升训练利用三角函数解实际问题中的四种数学模型

初升高数学暑假衔接(人教版)第30讲三角函数的应用(教师版)

第30讲三角函数的应用1．会用三角函数解决一些简单的实际问题；2．体会三角函数是周期变化现象的重要函数模型一、函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义1、简谐运动的振幅就是A.2、简谐运动的周期T＝2πω.3、简谐运动的频率f＝1T＝ω2π.4、ωx＋φ称为相位．5、x＝0时的相位φ称为初相．二、三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．三、建立函数模型的一般步骤四、运用三角函数模型解决问题的几种类型1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝A sin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．五、解三角函数应用问题的基本步骤六、建立三角函数拟合模型的注意事项1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．考点一：三角函数在物理上的应用例1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的弧长()s cm 与时间()t s 的函数关系式为π6sin 26s t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为A ．2s πB ．sπC ．0.5s D ．1s【答案】D【解析】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为6sin 26s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期212T ππ==，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s ，故选D.【变式训练】如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5cmC ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零【答案】BC【解析】由题图可知，运动周期为2(0.70.3)0.8s ⨯-=，故A 错误；该质点的振幅为5cm ，B 正确；由简谐运动的特点知，在0.1s 和0.5s 时运动速度为零，质点在0.3s 和0.7s 时运动速度最大，故C 正确，D 错误．故选：BC ．考点二：三角函数在生活上的应用例2．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20C o ，但当气温上升到31C 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时14~时的气温T （单位：C ）与时间t （单位：小时）近似满足函数关系式π3π2510sin 84T t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则在6时14~时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：πsin0.65≈）A ．6.7时11.6~时B ．6.7时12.2~时C ．8.7时11.6~时D ．8.7时12.2~时【答案】C【解析】当[]6,14t ∈时，π3π3π5π,8422t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π3π2510sin 84T t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]6,14上单调递增.设花开､花谢的时间分别为12,t t .由120T =，得11π3π1π3π11πsin ,842846t t ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，解得1268.73t =≈时；由231T =，得22π3πππ3π11πsin 0.6sin ,845845t t ⎛⎫+=≈+≈ ⎪⎝⎭，解得11.6t ≈时.故在6时14~时中，观花的最佳时段约为8.7时11.6~时.故选：C【变式训练】心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg 为标准值.设某人的血压满足()11525sin P t =+（160t π），其中()P t 为血压（mmHg ），t 为时间（min ）.（1）求此人每分钟心跳的次数；（2）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.【答案】（1）80；（2）140/90mmHg ，血压偏高.【解析】（1）函数()()11525sin 160P t t =+π的最小正周期2116080T ππ==，根据题意可知，在一个周期内，心脏跳动一次，所以此人每分钟心跳的次数为180180=次.（2）由题意得，()max 11525140P t =+=，()min 1152590P t =-=，所以此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，与标准值120/80mmHg 相比较，此人血压偏高.考点三：三角函数在圆周中的应用例3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为148 号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min .若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当015t ≤≤时，两人距离地面的高度差h （单位：m ）取最大值时，时间t 的值是.【答案】10【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，设0min t =时，游客甲位于点()0,45P -，以OP 为终边的角为π2-；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为π/min 15rad ，由题意可得45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，015t ≤≤.如图，甲、乙两人的位置分别用点A B 、表示，则28483ππAOB ∠=⨯=，经过min t 后甲距离地面的高度为145sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，点B 相对于点A 始终落后rad 3π，此时乙距离地面的高度为2545sin 55156ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.则甲、乙距离地面的高度差12545sin sin 152156ππππH H t h t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ45cos cos 15153t t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ45sin 156t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为[]015t ,∈，所以πππ5π,15666t ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以πππ1562t -=得10t =，即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45m .故答案为：10.【变式训练】一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．（1）以过点O 且平行于水轮所在平面与水面的交线L 的直线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距离水面的高度不低于2米？【答案】（1）2sin()1(0)36h t t ππ=-+≥；（2）2秒【解析】（1）设sin()0,0,2h A t k A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，根据函数sin()h A t k ωϕ=++的物理意义可知：02,1A OP k ===，由题意可知当0=t 时，0h =，则2sin 10ϕ+=，所以1sin 2ϕ=-，则6πϕ=-，又因为函数2sin()16h t πω=-+的最小正周期为6T =，所以23T ππω==，所以2sin()1(0)36h t ππ=-+≥；（2）根据题意可知，2sin()1236h t ππ=-+≥，即1sin(362t ππ-≥，当水轮转动一圈时，[0t ∈，6]，可得：11[,]3666t ππππ-∈-，所以此时56366t ππππ<-<，解得13t <<，又因为312-=（秒)，即水轮转动任意一圈内，有2秒的时间点P 距水面的高度不低于2米．考点四：拟合法建立三角函数模型例4．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择()sin φy A x K ω=++（00A ω>>，）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A ．5:00至5:30B ．5:30至6:00C ．6:00至6:30D ．6:30至7:00【答案】C【解析】由题意得，函数()y f x =的周期为12T =，振幅 2.55A K ==，，所以2ππ126w ==，又因为37.5x y =⇒=达到最大值，所以由π7.5 2.5sin 356ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，可得πsin 12ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2πk k ϕ=∈Z ，，所以函数的表达式为()π2.5sin 50246y x x =+≤≤，，令π2.5sin5 5.56x +≥，解得1362x ≤≤，所以在6:006:30~可安全离港，故选：C 【变式训练】某港口其水深度y （单位：m ）与时间t （024t ≤≤，单位：h ）的函数，记作()y f t =，下面是水深与时间的数据：t /h 3691215182124y /m12.015.018.114.912.015.018.015.0经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看作函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，其中A ＞0，0ω>，[),ϕππ∈-．（1）试根据以上数据，求出函数()y f t =的近似表达式；（2）一般情况下，该港口船底离海底的距离为3m 或3m 以上时认为是安全的（船停靠时，近似认为海底是平面）．某船计划靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12m ．如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？【答案】（1）()3sin 156f t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，024t ≤≤;（2）18h【解析】（1）根据表格数据可得1812A B A B +=⎧⎨-+=⎩，则3A =，15B =，12T =．由212T ωπ==，可知6π=ω．当9t =时函数取最大值，即9262k ππϕπ⋅+=+，Z k ∈，所以2k ϕππ=-．又因为[),ϕππ∈-，所以ϕπ=-．所以函数()y f t =的近似表达式为()3sin 156f t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，024t ≤≤．（2）由题意得3sin 15156t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，因为024t ≤≤，所以[],36t ππππ-∈-．通过正弦函数图象可知，当[][]0,2,36t πππππ-∈⋃，即[][]6,1218,24t ∈⋃时，sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭．由于停泊时的要求3sin 15126t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，如果该船希望在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留24618h -=．1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置(,)p x y ．若初始位置为012P ⎫⎪⎪⎝⎭，当秒针从P 0（注此时t =0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（）A ．y =sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y =sin 606t ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．y =sin 306t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．y =sin 306t ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意，函数的周期为60T =，26030ππω∴==设函数解析式为sin()30y t πϕ=-+（因为秒针是顺时针走动），初始位置为0P 1)2，0t ∴=时，12y =，1sin 2ϕ∴=，ϕ∴可取6π，∴函数解析式为sin()306y t ππ=-+，故选：C ．2．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O 距离地面40.5m ，半径40m （示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，（1）求出其与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式；（2）若距离地面高度超过205m .时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？【答案】（1）()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭；（2）40min .【解析】（1）设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，则40A =，40.5b =，所以()()()40sin 40.50h t t ωϕω=++>，第一次到最高点旋转了半周期，所以()260min /min 30T rad T ππω=⇒==游客从最低点登上，所以2πϕ=-，故()()40sin 40.53002h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭（或()40cos40.530h t t π=-+()0t ≥）.（2）令()20.5h t >，则40sin 40.520.5302t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1sin 3022t ππ⎛⎫⇒->- ⎪⎝⎭（或1cos 302t π<），所以72263026k t k ππππππ-+<-<+()5223303k t k k πππππ⇒+<<+∈Z ，()10605060k t k k ⇒+<<+∈Z ，所以()()5060106040min k k +-+=，因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有40min 最佳观景时间.3．已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t （单位：s ）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h （单位：cm ）由函数解析式()()πsin 0002h t A t A ωϕωϕ=+>><<（，，）决定，其部分图像如图所示（1）求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；（2）若0][0,t t ∈时，小球至少有101次速度为0cm/s ，则0t 的最小值是多少？【答案】（1）π4ϕ=；（2）4018π【解析】（1）由图易知小球的振幅3A =，最小正周期7π3π288T π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，∴()()3sin 2h t t ϕ=+，∴代入π,38⎛⎫ ⎪⎝⎭可得π33sin 28ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，∴ππ2Z 42k k ϕπ+=+∈，，即π2Z 4k k ϕπ=+∈，，又π02ϕ<<，∴初相π4ϕ=（2）∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s ，∴小球有100次速度为0cm/s 等价于函数()h t 有100次取得最值，∵函数()h t 在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，100502=，∴函数()h t 经过50个周期时小球有100次速度为0cm/s ，∴[]0,50πt ∈时，小球有100次速度为0cm/s ，又∵当π8t =时，小球速度为0cm/s ，∴0t 的最小值为π401π50π88+=4．如图，一根长l （单位：cm ）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系可近似的表示为[),0,)3g S t t l π∞=+∈+，其中21000cm3.14s g π==,.（1）当0=t 时，小钢球离开平衡位置的位移S 是多少cm ？（2）要使小钢球摆动的周期是1s ，则线的长度l 应该为多少cm （精确到0.1cm ）？【答案】（1）1.5cm ；（2）25.4cm .【解析】（1）在函数[),0,)3g S t t l π∞=+∈+中，当0=t 时，3cos 1.53S π==，所以当0=t 时，小钢球离开平衡位置的位移S 是1.5cm.（2）依题意，gl ω=2T πω=，又1T =，则2ωπ=2glπ=，解得2225025.44g l ππ=≈≈(cm )，所以线的长度l 应该为25.4cm .5．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[)()103sin,0,241212f t t t t ππ=-∈．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差．【答案】（1）10℃；（2）4℃．【解析】（1）()888103sin 1212f ππ=-22103sin 33ππ=-13103102⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.故实验室上午8时的温度为10℃．（2）()103sin1212f t t t ππ=-31102cos sin 212212t t ππ⎫=-+⎪⎪⎝⎭102sin 123t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为024t ≤<，所以731233t ππππ≤+<，1sin 1123t ππ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．当=2t 时，sin 1123t ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当=14t 时，sin 1123t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故()[]8,12f t ∈，于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．6．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg 和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：（1）求函数p (t )的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．【答案】（1）180（min ）；（2）80；（3）血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内．【解析】（1）函数()p t 的最小正周期为2π2π1min 160π80T ω===；（2）180f T==次/min ．所以此人每分钟心跳的次数为80次．（3）()max 11525140mmHg p t =+=，()min 1152590mmHg p t =-=，即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg ，在血压计上的读数为140/90mmHg ，血压在正常值范围内．7．已知某海滨浴场海浪的高度y （米)是时刻(024t t ≤≤，单位：时）的函数，记作：()y f t =，下表是某日各时刻的浪高数据：/t 时03691215182124/y 米1.51.00.51.01.51.00.51.01.5经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0ω>，||)2πϕ≤的图象.（1）根据以上数据，求函数sin()y A x b ωϕ=++的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8:00至20:00之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？【答案】（1）振幅12；最小正周期12T =；函数表达式1cos 126y t π=+（2）一天内的8:00至20:00之间，8:00至9:00之间，15:00至20:00之间时间段不对冲浪爱好者开放【解析】（1）根据以上数据，可知 1.50.5122A -==， 1.50.512b +==，周期12T =.即2126ππω==当6t =时，可得0.5y =，即10.5sin(6)126πϕ=⨯++,sin()1πϕ∴+=-||2πϕ≤，2πϕ∴=故得函数表达式；11sin()1cos 126226y t t πππ=++=+.（2）当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，即函数1y >时，∴1cos 1126t π+>即cos 06t π>.即22262k t k πππππ-<<+，即123123,k t k k Z -<<+∈，又[]0,24t ∈，则03t ≤<或915t <<或2124t <≤.则一天内的8:00至20:00之间，8:00至9:00之间，15:00至20:00之间时间段不对冲浪爱好者开放.8．某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【答案】（1）()()3sin100246f t t t π=+≤≤；（2）（1：00-5：00），（13：00-17：00）【解析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，13713710,322b A +-∴====且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12，因此212,6T ππωω===，故()()3sin100246f t t t π=+≤≤.（2）要想船舶安全，必须有深度()11.5f t ≥，即3sin1011.56t π+≥，15sin,2262666t k t k ππππππ∴≥+≤≤+，解得：121512,Z k t k k +≤≤+∈，又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤；当1k =时，1317t ≤≤；故船舶安全进港的时间段为（1：00-5：00），（13：00-17：00）.1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定：2sin 6h t πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，(),φππ∈-.已知当2t =时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在0=t 秒时h 的值为（）A ．-2B ．2C ．D【答案】D【解析】因为当2t =时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故()22,Z 6k k πφππ⨯+=+∈，即()22,Z 3k k πφπ=+∈，又(),φππ∈-，故23πφ=，故22sin 63h t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故当0=t 时，22sin3h π==D 2．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(1,A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()πsin 0,0,2y f t R t t ωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则当[)0,t m ∈时，恰有3个t 使函数()f t 最得大值，则m 的取值范围是.【答案】2941,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据点(1,A 可得圆周的半径2R =，又旋转一周用时6秒，所以周期6T =，因为0ω>，从而得2ππ3T ω==，∴()2sin 3πf t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0=t 时，函数值恰好在对应A 点纵坐标，∴()02sin 0π3f ϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，且π2ϕ<，∴π3ϕ=-，∴()π2sin 33πf t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[)0,t m ∈，则3πππ333π3πt m -≤-<-，根据三角函数的性质，()f t 在[)0,m 内恰有3个最大值时，9132332ππππm <-≤，解得294122m <≤.故答案为：2941,22⎛⎤ ⎥⎝⎦.3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距θ（080θ︒≤≤︒）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．已知天顶距1θ=︒时，晷影长0.14l ≈．现测得午中晷影长度0.42l ≈，则天顶距θ为．（答案精确到1︒，参考数据tan10.0175,tan 20.0349,tan 30.0524,︒︒︒≈≈≈）【答案】3︒【解析】因为tan l h θ=，且天顶距1θ=︒，晷影长0.14l ≈，所以0.148tan 0.0175l h θ===，当晷影长度0.42l ≈时，0.42tan 0.05248l h θ===所以θ≈︒3，故答案为：3︒4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，转一周需要30min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值．【答案】（1）45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，030t ≤≤.；（2）45m【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心Q 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，设0min t =时，游客甲位于点()0,45P -，以OP 为终边的角为π2-；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为rad/min 15π，由题意可得45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，030t ≤≤.（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点A ，B 表示，则28483ππAOB ∠=⨯=.经过min t 后甲距离地面的高度为145sin 55152ππH ⎛⎫=-+ ⎝⎭，点B 相对于点A 始终落后rad 3π，此时乙距离地面的高度为2545sin 55156ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.则甲、乙距离地面的高度差12545sin sin 152156ππππH H t h t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭545sin sin 152615ππππt t ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=，可得2290sin sin 45sin 6153153πππππh t t ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，030t ≤≤.当21532πππt -=或231532πππt -=，即352t =或65302t =>（舍去）时，h 的最大值为45所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为45m5．用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin 4h t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在[]0,2π上的图象，并回答下列问题．（1）小球在开始振动时（即0=t 时）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多长时间小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复运动多少次？【答案】（1厘米处；（2）都是2厘米（3）2π秒；（4）12π【解析】（1）函数2sin 4h t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象如图．当0=t 时，2sin4h π==（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．（3）小球往复运动一次就是一个周期，易知2T π=秒，即经过2π秒往复运动一次．（4）每秒钟往复运动的次数112f T π==．6．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：mm ）之间的对应数据记录如下表：t 0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.3-1010.117.220.017.210.3-10．1-17.3-20.0（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；（2）画出该函数在[]0,0.6t ∈的图象；（3）在这次全振动过程中，求位移为10mm 时t 的取值集合．【答案】（1）101020sin 20cos ,0323y t t t πππ⎛⎫=⎪⎭-⎝=-≥；（2）图象见解析；（3）{}0.2,0.4【解析】（1）设函数解析式为()sin y A t ωϕ=+，0t ≥，由表格可知：20A =，0.6T =，则22100.63T πππω===，即1020sin 3y t πϕ⎛=+⎫⎪⎝⎭．由函数图象过点()0,20-，得2020sin ϕ-=，即sin 1ϕ=-，可取2πϕ=-．则这个振子的位移关于时间的函数解析式为101020sin 20cos ,0323y t t t πππ⎛⎫=⎪⎭-⎝=-≥；（2）列表：t00.150.30.450.6103t π02ππ32π2πy-2020-20由表格数据知，1020cos3y t π=-，[]0,0.6t ∈的图象如图所示．；（3）由题意得1020cos103t π-=，即101cos 32t π=-，则111022,33t k k πππ=+∈Z 或221022,33t k k πππ=-+∈Z ，所以1113,55t k k =+∈Z 或2213,55t k k =-+∈Z ．又[]0,0.6t ∈，所以0.2t =或0.4．所以在这次全振动过程中，位移为10mm 时t 的取值集合为{}0.2,0.4．7．某港口海水的深度y (m)是时间t (时)(0≤t ≤24)的函数，记为y ＝f (t )．已知某日海水深度的数据如下：t (时)03691215182124y (m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y ＝f (t )的曲线可近似地看成函数()sin 0,0y A t b A ωω=+>>的图象．（1）根据以上数据，求出函数y ＝f (t )＝A sin ωt ＋b 的振幅、ω和表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?【答案】（1）振幅为3，6π=ω，()()3sin 100246f t t t π=+≤≤；（2）16小时．【解析】（1）由题设的数据可得137A b A b +=⎧⎨-+=⎩，故3,10A b ==，而12T =，故6π=ω，故()()3sin 100246f t t t π=+≤≤，其中振幅为3，6π=ω.（2）令()11.5f t ≥，则1sin62t π≥，其中024t ≤≤故15t ≤≤或1317t ≤≤，故船舶至多能在港内停留24816-=小时.8．在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()100cos 4f n A n k ω=++⎡⎤⎣⎦来刻画.其中，正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =时表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y f n =的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.【答案】（1）()()π1002cos 436f x n ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦；（2）第7,8,9月是该地区的旅游旺季【解析】（1）因为A 和k 是正整数，由②可得：()()100100200400A k A k A +--+==，解得2A =；由③可得：且8262T =-=，则2π12T ==ω，且0ω>，解得π6ω=；且()1002100k -=，解得3k =；所以()()π1002cos 436f x n ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦.（2）令()()π1002cos 434006f x n ⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦，则()π1cos 462n +>，因为[]1,12n ∈，则()5π8π,63π46n ⎡∈+⎤⎢⎥⎣⎦，可得()5ππ7π4363n <<+，解得610n <<，且*n ∈N ，则7,8,9n =，所以第7,8,9月是该地区的旅游旺季.。

利用三角函数解决实际问题的方法

利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。

无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。

一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。

利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。

假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。

二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。

利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。

假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。

三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。

利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。

假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。

四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。

利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。

假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。

沪科版九年级数学上册第23章专题技能训练(六) 3.利用锐角三角函数模型解决实际问题的四种类型

专题技能训练解：如图，过点 A 作 AF⊥CD 于 F. 设 AE＝x 米． ∵斜坡 AB 的坡度为 i＝1∶1，∴BE＝AE＝x 米．在 Rt△BDC 中，∵∠C＝90°，CD＝96 米，∠DBC＝β， ∴BC＝taCnDβ＝946＝24(米)， ∴EC＝EB＋BC＝(x＋24)米， ∴AF＝EC＝(x＋24)米．在 Rt△ADF 中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝α，
专题技能训练 8．为了进一步加强应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控宣传
工作力度，某乡镇在一条公路旁的小山坡上立了一块大型标语牌 AB，如图，标语牌底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 20 米，山坡的坡角为 30°.某同学在山脚的平地 F 处测量该标语牌的高，测得点 C 到测角仪 EF 的水平距离 CF＝1.7 米，
专题技能训练解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55 m， ∴tan∠CAE＝CAEC，∴AC＝tanCE34°≈05.657≈82.1(m)． ∵AB＝21 m.∴BC＝AC－AB＝61.1 m. 在 Rt△BCD 中，∵tan 60°＝CBDC＝ 3， ∴CD＝ 3BC≈1.73×61.1≈105.7(m)， ∴DE＝CD－EC≈105.7－55≈51(m)．答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m.
正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31°，再向东继续航行 30m 到达 B 处，测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45°. 根据测得的数据，计算这座灯塔的高度 CD.(结果取整数．参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
专题技能训练解：由题意，可知∠CAD＝31°，∠CBD＝45°，∠CDA＝90°， AB＝30 m. 在 Rt△ACD 中，∵tan∠CAD＝CADD，∴AD＝taCn D31°. 在 Rt△BCD 中，∵tan∠CBD＝CBDD，∴BD＝taCn D45°＝CD. 又∵AD＝BD＋AB，∴taCn D31°＝CD＋30. ∴CD＝310－×ttaann 3311°°≈310－×00..6600＝45(m)．答：这座灯塔的高度 CD 约为 45m.

让初中生轻松驾驭三角函数实际问题的建模与求解

让初中生轻松驾驭三角函数实际问题的建模与求解中学数学中，三角函数是一个重要的概念。

然而，对于许多初中生而言，掌握和应用三角函数在实际问题中的建模和求解可能是具有挑战性的。

本文旨在介绍一些简单易懂的方法，帮助初中生轻松驾驭三角函数实际问题的建模和求解，从而提高他们的数学能力。

一、了解三角函数的概念与性质在开始探讨三角函数的实际问题建模与求解之前，首先需要对三角函数的概念和性质有一定的了解。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们与一个角的关系密切。

熟悉三角函数的定义、定义域、值域、周期性及其基本关系是解决实际问题的基础。

二、通过练习掌握三角函数的求解技巧为了让初中生轻松掌握三角函数的求解技巧，我们可以通过大量的练习来加深他们对三角函数的理解。

可以在课堂上组织各种类型的练习，通过解析法、图像法、性质法等不同的方法来解决问题。

例如，可以通过计算太阳的高度角来求解影子的长度，或者通过计算两座建筑物之间的夹角来求解距离等。

三、引导学生探讨实际问题解决的过程实际问题往往需要一定的思考和分析能力来进行建模和求解。

引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并利用三角函数的概念和性质进行求解，可以帮助他们提高数学问题解决的能力。

例如，可以通过实际测量和观察，让学生思考如何用三角函数来描述和解决身高与阴影长度的关系问题，通过对其建模与求解，培养学生的思维能力和创造力。

四、提供实际问题案例分析与解决方法为了让初中生更好地理解和掌握三角函数的建模与求解过程，我们可以提供一些实际问题的案例分析，并详细介绍解决问题的方法。

例如，可以通过一个航空器的飞行问题，引导学生使用正切函数来描述和求解航向、升降角度和飞行速度等问题。

通过实际案例的分析，学生可以更好地理解三角函数在解决实际问题中的应用。

五、注重课堂教学与实际问题的结合为了使初中生能够轻松驾驭三角函数实际问题的建模与求解，课堂教学需要注重理论和实践的结合。

除了讲解三角函数的概念和性质之外，还应该引入一些实际问题和例题，通过讲解和分析例题的解题思路和方法，帮助学生理解和掌握三角函数在实际问题中的应用。

初中数学培优专题四三角函数应用解题模型

专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。

初中数学培优专题四三角函数应用解题模型

专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。

高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造

二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。

在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。

应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。

常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。

1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。

作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。

2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。

作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。

∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。

则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β）所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。

高中三角函数解题模型及技巧

高中三角函数解题模型及技巧关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sinkπ+α=-1ksinαk∈Z；2. coskπ+α=-1kcosαk∈Z；3. tankπ+α=-1ktanαk∈Z；4. cotkπ+α=-1kcotαk∈Z.点击查看：高中数学反三角函数公式总结二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα>0或<0óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;2. sinα-cosα>0或<0óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sinα+βsinα-β= sin2α-sin2β;2. cosα+βcosα-β= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：sinα±cosα2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,且t2≤2,则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,且t2≤2,则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tanα+β1-tanαtanβ.思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：A≠01.函数y=Asinwx+φ和函数y=Acoswx+φ的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；2.函数y=Asinwx+φ和函数y=Acoswx+φ的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atanwx+φ和函数y=Acotwx+φ的对称性质。

九上第二章直角三角形的边角关系阶段核心归类构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型鲁教版五四制

解：当车门打开角度∠AOB为40°时，车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中， ∵∠AOC＝40°，AO＝1.2 m， ∴AC＝AO·sin ∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(m)． ∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m， 0.768 m＜0.8 m，∴车门不会碰到墙．
2．【2020·遵义】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°. 求小聪在地面的有效测温区间MN的长度． (额头到地面的距离以身高计，计算精确到 0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
第二章直角三角形的边角关系
阶段核心归类构造三角函数基本图形解实际问题的四
种数学模型
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1．【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为 0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64， cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
答：小山 BC 的高度为(10＋40 3)米．
解：延长 BC 交 AD 于点 E，则 AE＝AD－DE＝0.6 m. ∵BE＝taAn1E8°≈1.875(m)，CE＝taAn6E0°≈0.346(m)． ∴BC＝BE－CE≈1.875－0.346＝1.529(m)． ∴MN＝BC≈1.5(m)．答：小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度约为 1.5 m.

《构造三角函数基本图形解决实际问题的四种数学模型》专题课件

解：在 Rt△ ADC 中，∠DAC＝30°，AC＝30 m， ∴CD＝AC·tan 30°＝30× 33＝10 3(m)． ∵AC＝30 m，AB＝10 m，∴BC＝AC－AB＝20 m. 在 Rt△ BCE 中，∠EBC＝48°， ∴EC＝BC·tan 48°≈20×1.111＝22.22(m)． ∴ED＝EC－DC≈22.22－10 3≈4.9(m)．答：广告牌 ED 的高度约为 4.9 m.
俯角为 70°，楼 CD 上点 E 处的俯角为 30°，沿水平方向由点 O 飞行 24 m 到达点 F，测得点 E 处的俯角为 60°，其中点 A，B，C，D，E，F，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 的长．(结果精确到 1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75， 3≈1.73)
∴∠FOE＝∠OEF. ∴OF＝EF＝24 m. 在 Rt△ EFH 中，∠HFE＝60°， ∴FH＝EF·cos 60°＝24×12＝12(m)． ∴AC＝GH＝OG＋OF＋FH≈21.8＋24＋12≈58(m)．答：楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 的长约为 58 m.
2 【2022·娄底】“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器(如图①)锻炼手部肌肉，如图②.握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3 cm，即PQ＝3 cm，开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4 cm，
∴DE＝BE≈17.32 cm，
∴AD＝AE＋DE≈10＋17.32＝27.32(cm)． ∵DAHH≈0.618，∴AHA－HAD≈0.618，即AH－AH27.32≈0.618，解得 AH≈72 cm. 答：最少需要准备 72 cm 长的伞柄．

典中点解直角三角形专训6 构造三角函数基本形解实际问题的四种数学模型

典中点解直角三角形专训6 构造三角函数基本形解实际问题的四种数学模型◐名师点金◑解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一,考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题,还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形,建立数学模型,将某些简单的实际问题转化为数学问题,把数学问题样化为锐角三角函数问题来求解,运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型。

类型1：构造一个直角三角形解实际问题1.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8m,已知小汽车车门宽A0为1.2m,当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)类型2：构造形如“”的两个直角三角形解实际问题2.如图,在直开机的镜头下,观测曹州牡丹园A处的俯角为30°,B处的俯角为45°,如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A,B,D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米?(结果保留根号)类型3：构造形如“”的两个直角三角形解实际问题3.如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m。

(1)求∠BCD的度数(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)类型4：构造形如“”的两个直角三角形解实际问题4.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库,高2.5m;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14m.求居民楼的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:3≈1.73)。

例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型

例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型
1.求正弦定理：利用正弦定理可以解决三角形对边求角的问题，同
时也常用来求三角形内角与外角之和的问题，如：已知ABC三角形，
A = 105°，
B = 30°，求C角的度数。

解：由正弦定理：
A:B:C=sinA:sinB:sinC,可得：C = 45°。

2.求余弦定理：余弦定理可以用来求三角形的面积，如果知道三条边的长度，则可以求出三角形的面积。

如：已知ABC三角形的两条边的长
度分别为a = 8cm、b = 9cm，夹角C的度数为30°，求ABC三角形的
面积。

解：利用余弦定理，即a² = b² + c²– 2bc⁺cosC,得出：c = 8.11cm，三角形ABC的面积S = ab/2 sinC = 63.07cm²。

3.求正切定理：正切定理常用于求夹角的正切值。

如：已知ABC三角形，A = 30°，∠B = 60°，求tanB的值，解：由正切定理：
tanA:tanB:tanC = a:b:c,可以得出tanB = 1/√3∶1.
4.求正割定理应用：正割定理常用于夹角的正割值的求解，如：已知ABC三角形，A = 45°，B = 60°，求cosA的值，解：由正割定理：cosA:cosB:cosC = a:b:c,可以得出cosA = √3∶2.。

例谈初中数学求解三角函数应用题的三种模型

例谈初中数学求解三角函数应用题的三种模型三角函数是初中数学课程中一个重要内容，其应用也很广泛，尤其三角函数应用题在中考试题中时常出现,这对学生解决三角函数应用题的能力要求更高。

随着课程改革的深入推进, 数学建模思想在解决数学问题中具有十分重要的意义，在三角函数应用题中加入数学建模思想, 能够引导学生进行数学问题的思考与处理，增加学生学习数学的乐趣, 降低学习的难度.三角函数应用题通常用基本的三角函数知识点解决，例如勾股定理、直角的性质、三角函数定义等基本内容，很多三角函数应用题可以通过建立以下三种基本数学模型解决（以下的角，指的是特殊角或是条件中告之了对应三角函数值的角）。

1.两角一边模型1.两角一邻边例1.（铁岭中考第23题）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处．在同一平面内，若测得斜坡的长为100米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为．求索道的长．（结果保留根号）【分析】过D作，依题意:，即，，即，归纳：分析此题的题意，能得到这其实是两角一邻边的题型，可以建立两角一邻边模型求解：如图，已知边长AB，求解其他元素.解此模型往往是过第三个角顶点作垂线，通过构造直角三角形，利用三角函数的基本知识点求解此类题.2.两角一夹边例2.（毕节中考第26题）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在处测得塔尖的仰角为，再沿方向前进73.2米到达山脚处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，求塔高．（精确到0.1米，【分析】设，则在中，；在中，；在中，，，利用关系式列方程求出；塔高可以求出．归纳：根据此题的题意，此题其实是两角一夹边的题型，可以建立两角一夹边模型求解：如图，已知边长AB，求解其他元素.解此模型往往是过第三个角顶点作垂线，设出未知数，通过三角函数相关定义、勾股定理等知识找出等量关系，列出等式方程求解其他元素.1.两边一夹角模型例3（乐山中考第22题）如图，在东西方向的海岸线上有一长为1千米的码头，在码头西端的正西方向30 千米处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西方向，且与相距千米的处；经过40分钟，又测得该轮船位于的正北方向，且与相距20千米的处．求该轮船航行的速度；（参考数据：，【分析】过点作于点．由题意，得千米，千米，．在中，在中，轮船航行的速度为：归纳：分析此题，不难发现这是两边一夹角的题型，可以建立两边一夹角模型求解：如图，已知边长AB，AC，求解其他元素.求解此模型一般可以采取两种方法，一是过B作垂线构建直角三角形，通过AB和入手求解；二是过C作垂线构建直角三角形，通过AC和入手求解.三、总结总之, 在求解有关三角函数背景下的应用题时, 学生可以建立基本的数学模型,借助三角函数相关知识, 利用三角函数的定义和本身的意义, 综合角和边的关系, 进而解决实际问题，学生熟悉以上三种模型，对求解三角函数应用方面能更深入地理解和掌握。

初三九年级数学冀教版第26章解直角三角形专训1 构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型

专训1构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造直角三角形解决实际问题1．【中考·山西】太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)．(第1题)2．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题3．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？(第3题)4．【中考·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1 m．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．【导学号：83182074】(第4题)5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题6．【中考·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号)．【导学号：83182076】(第6题)7．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大【导树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，求大树的高度(结果保留根号)．学号：83182075】(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题8．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6 m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21 m，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．【导学号：83182077】(第8题)答案1．解：如图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，则∠CAG ＝30°.(第1题)在Rt △ACG 中，CG ＝AC·sin 30°＝50×12＝25(cm )，∵GD ＝50－30＝20(cm )，∴CD ＝CG ＋GD ＝25＋20＝45(cm )．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，则∠H ＝30°，在Rt △CDH 中，CH ＝CDsin 30°＝2CD ＝90 cm ，∴EH ＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290(cm )，在Rt △EFH 中，EF ＝EH·tan 30°＝290×33＝29033(cm )．答：支撑角钢CD 和EF 的长度各是45 cm ，29033cm .2．解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点C 作CH ⊥DF 于点H ，(第2题)则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，在Rt △ADF 中，∵AF ＝80－10＝70(m )， ∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m .在Rt △CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°， ∴CE ＝DE tan 30°＝1033＝103(m )．∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m . 3．解：由题易得，∠AMN ＝30°， ∠ABN ＝45°.如图，过点A 作AC ⊥MN 于点C.(第3题)在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝ACBC，∴BC ＝AC.在Rt △AMC 中，tan ∠AMC ＝ACMC ，∴MC ＝3AC.由MB ＝MC －BC ，得3AC －AC ＝400， ∴AC ＝200(3＋1)≈546(m )>500 m .∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．4．解：延长AD 交BC 的延长线于点G ，作DH ⊥BG 于点H ，如图．(第4题)在Rt △DHC 中，∠DCH ＝60°，CD ＝4 m ，则CH ＝CD·cos ∠DCH ＝4×cos 60°＝2(m )，DH ＝CD·sin ∠DCH ＝4×sin 60°＝23(m )， ∵DH ⊥BG ，∠G ＝30°， ∴HG ＝DH tan G ＝23tan 30°＝6(m )，∴CG ＝CH ＋HG ＝2＋6＝8(m )，设AB ＝x m ，∵AB ⊥BG ，∠G ＝30°，∠BCA ＝45°， ∴BC ＝x m ，BG ＝AB tan G ＝xtan 30°＝3x(m )．∵BG －BC ＝CG ， ∴3x －x ＝8，解得x ≈11.答：电线杆的高(AB)约为11 m .5．解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝α＝60°，∴AF ＝AB·sin 60°＝20×32＝103(m )．在Rt △AEF 中，β＝45°，∴AF ＝EF.∴AE＝AF2＋EF2＝（103）2＋（103）2＝106(m)．即改造后的坡长AE为10 6 m.(第5题)6．解：如图，作AD⊥BC于点D，BH垂直水平线于点H，(第6题)由题意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝32 m，∴AD＝CD＝AB·sin 30°＝16(m)，BD＝AB·cos 30°＝163(m)．∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)m，则BH＝BC·sin 30°＝(8＋83)m.即这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m.7．解：如图，作CE⊥AB于点E.(第7题)则CD＝BE＝5 m，CE＝BEtan 30°＝53(m)，AE＝CE·tan 45°＝53(m)，∴AB＝AE＋BE＝(5＋53)m.即大树的高度为(5＋53) m.8．解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE.∴CE＝21 m.在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AE＝AB＋BE＝6＋21＝27(m)，∴DE＝AE·tan 30°＝27×33＝93(m)．∴CD＝CE－DE＝(21－93) m.即该屏幕上端与下端之间的距离CD为(21－93) m.。

期末提分第5讲第2课时提升训练利用三角函数解实际问题中的四种数学模型-2021春人教版九年级数学下册

解：由题意可知，在 Rt△ABD 中，∠ABD＝30°，AB＝10， ∴ AD＝12AB＝5. 在 Rt△ACD 中，sin∠ACD＝ AADC， ∵∠ACD＝15°，AD＝5， ∴A5C≈0.26，解得 AC≈19.2 m. 答：改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度约为 19.2 m.
3．(中考·潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD
4．某块绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°， AB⊥BC， AD⊥CD，AB＝200 m，CD＝100 m．求 AD，BC 的长(结果精确到 1 m， 3≈1.732)．
解：如图，延长 AD，BC 交于点 E.
在 Rt△ABE 中，由 AB＝200，∠A＝60°，得 BE＝AB·tan A＝200 3， AE＝coAs B60°＝400 . 在 Rt△CDE 中，∵CD＝100，∠E＝90°－∠A＝30°， ∴CE＝2CD＝200，DE＝taCnDE＝100 3. ∴AD＝AE－DE＝400－100 3≈227(m)， BC＝BE－CE＝200 3－200≈146(m)．
(1)求 B，C 之间的距离(保留根号)．解：作 AD⊥BC 于点 D，则 AD＝10. 在 Rt△ACD 中，∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝10. 在 Rt△ABD 中，∵∠B＝30°，∴tan 30°＝ABDD. ∴BD＝ 3AD＝10 3. ∴BC＝BD＋DC＝(10＋10 3) m. 答：B，C 之间的距离为(10＋10 3)m.
利用三角函数解实际问题中的四种
第5讲解直角三角形及其应用
为 60°，在 B 利用三角函数解实际问题中的四种
第5讲解直角三角形及其应用处测得四楼顶部点E
第5讲解直角三角形及其应用
的仰角为 30°，AB＝14 第5讲解直角三角形及其应用

2021新高三数学三角函数模型及应用专业资料

（2）要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法；（3）在演算过程中，要算法简练，算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求.
（4）对于实际应用问题中的有关名词、术语、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，正确画出图形是解题的关键.
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例4 如图，为了解某海域海底
构造，在海平面内一条直线上的A,B,C AB=50 m,BC=120 m，于A处测得水深AD=８０ m，于B处测得水深BE＝２００ m，于 C处测得水深CF=110 m，求∠DEF的余弦值.
N
M
过点D作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.
N M
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直
米.
从实际问题中抽象出一个或几个三角形，通过正、余弦定理解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，则坡底需伸长
米.
为45°，现要把倾斜角改为30°，则测得水深BE＝２００ m，于
有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，则坡底需伸长
的平面内，B，DA处测得B点和D点的仰
角分别为75°，30°，于水面C处测得B 点和D点的仰角均为60°，ACB，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B， D的距离(计算结果精确到0.01 km， ≈1.414，
≈2.449).
2
6
在△ACD中，∠DAC = 30°,
∠ADC=60°－ ∠DAC = 30°, 从实际问题中抽象出一个或几个三角形，通过正、余弦定理解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.

9数学人教版-专训3构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型

专训 3结构三角函数基本图形解实质问题的几种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热门之一，考察内容不单有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们依据题中给出的信息建立三角函数的基本图形，成立数学模型，将某些简单的实质问题转变为数学识题，把数学识题转变为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实质生活、生产有关的应用题是最近几年来中考的热门题型．1．结构一个直角三角形解实质问题【2017 ·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面表示图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为米，已知小汽车车门宽 AO 为 1.2米，当车门翻开角度∠ AOB 为 40°时，车门能否会遇到墙？请说明原因． (参照数据： sin 40 °≈ 0.64， cos 40 °≈0.77， tan 40 °≈ 0.84)0.8(第1题)2．【2017 ·鄂州】如图，小明想要丈量学校食堂和食堂正前面一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米抵达 A 处，测得树顶端E的仰角为30°，他又持续走下台阶抵达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再持续向前走到大树底 D 处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知 A点离地面的高度AB ＝ 2米，∠ BCA ＝ 30°，且 B， C，D 三点在同向来线上．(1)求树 DE 的高度；(2)求食堂 MN 的高度．(第2题)结构形如“” 的两个直角三角形解实质问题3．【如图，“中国海监50”正在南海海疆方向上，岛礁 C上的中国海军发现点2016 ·A处巡逻，岛礁A 在点 C的南偏东资B上的中国海军发现点30°方向上，已知点阳A 在点 B的正西C在点 B 的北偏西】60°方向上，且 B， C两地相距 120海里．(1)求出此时点 A 到岛礁 C的距离；(2)若“中国海监 50”从 A 处沿 AC 方向向岛礁 C驶去，当抵达点 A′时，测得点 B 在A′的南偏东 75°的方向上，求此时“中国海监 50”的航行距离． (注：结果保存根号 )(第3题)4．【2016·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学展开数学活动，率领同学们丈量学校邻近一电线杆的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照耀下，电线杆的影子(折线 BCD)恰巧落在水平川面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，在 C处测得电线杆顶端A 的仰角为 45°，斜坡与地面成60°角， CD ＝4m，请你依据这些数据求电线杆的高(AB) ．(结果精准到 1 m，参照数据： 2 ≈ 1.4，3≈1.7)(第4题 )5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD ，此中 AD ∥ BC，坡角α＝ 60°.汛期到临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长 AB ＝ 20m，求改造后的坡长AE( 结果保存根号)．(第 5题)结构形如“”的两个直角三角形解实质问题6．【2016 ·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从 A 处水平飞翔至B处需 8s，在地面 C处同一方向上分别测得A处的仰角为 75°， B处的仰角为速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞翔高度．(结果保存根号)．30°.已知无人飞机的飞翔(第6题 )7．【2017·绍如图，学校的实验楼对面是一幢教课楼，小敏在实验楼的窗口18°，教课楼底部B 的俯角为 20°，量得实验楼与教课楼之间的距离兴C测得教课楼顶部AB ＝ 30 m.】D的仰角为(1)求∠ BCD 的度数．(2)讨教课楼的高BD.( 结果精准到0.1 m，参照数据：tan 20≈° 0.36， tan 18°≈0.32)(第 7题)结构形如“” 的两个直角三角形解实质问题8．【2017·潍坊】如图，某数学兴趣小组要丈量一栋五层居民楼CD 的高度．该楼基层为车库，高 2.5m；上边五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地 1.5m，在 A 处测得五楼顶部点 D的仰角为 60°，在 B处测得四楼顶部点E的仰角为 30°， AB ＝14m．求居民楼的高度． (精准到 0.1 m，参照数据：3≈ 1.73)(第8题)答案1．解：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，(第1题)在 Rt△ ACO 中，∵∠ AOC ＝ 40°， AO ＝ 1.2米，∴ AC ＝AO·sin ∠ AOC ≈ 0.64× 1.2＝ 0.768(米 )．∵汽车靠墙一侧 OB与墙 MN 平行且距离为 0.8米，∴车门不会遇到墙．2．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝ DE － DF＝x－ 2.∵∠ EAF ＝ 30°，∴AF ＝EF＝x－2＝3(x－2)．∠EAF3tan3又∵ CD＝DE＝x＝3AB＝2＝2 3，tan ∠ DCE3 3 x，BC＝ tan ∠ ACB33∴BD＝BC ＋CD＝23＋33 x.3由 AF ＝ BD 可得3(x － 2)＝ 2 3＋3 x，解得 x＝ 6.∴树 DE的高度为 6米；(第2题)(2)如图，延伸 NM 交DB 的延伸线于点 P ，则 AM ＝ BP ＝ 3.33由 (1)知 CD ＝ 3 x ＝ 3 ×6＝ 2 3， BC ＝ 2 3， ∴ PD ＝ BP ＋ BC ＋ CD ＝ 3＋ 2 3＋ 2 3＝ 3＋ 4 3.∵∠ NDP ＝ 45°，∴ NP ＝ PD ＝ 3＋4 3.∵ MP ＝AB ＝2，∴ NM ＝ NP － MP ＝3＋ 4 3－ 2＝ 1＋4 3，∴食堂 MN 的高度为 (1＋ 4 3)米． 3．解： (1) 如下图，过点C 作CD ⊥ BA 交 BA 延伸线于点 D ，(第3题)由题意可得：∠ CBD ＝ 30°， BC ＝ 120海里，则 DC ＝60海里，故 cos 30 °＝DC ＝60＝ 3，AC AC 2则 AC ＝40 3海里．答：点A 到岛礁 C 的距离为 40 3海里．(2)如下图：过点A ′作A ′N⊥BC 于点 N ， A ′E⊥ AD 于点 E ，可得∠ A ′BE ＝ 90°－ 75°＝ 15°，则∠ A ′BC ＝ 30°－∠ A ′BE ＝ 15°.∴∠ A ′BE ＝∠ A ′BC ，即 BA ′均分∠ CBA.∴ A ′N＝ A ′E，又易得∠ AA ′E＝30°，∠ A ′CN ＝ 30°，设 AA ′＝ x ，则 A ′E＝ 23x ，3故 CA ′＝ 2A ′N＝ 2A ′E＝ 2× 2 x ＝3x ，∵ 3x ＋ x ＝ 40 3，∴ x ＝ 20(3－ 3)海里．答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－3)海里．4．解：延伸AD交BC的延伸线于G，作DH⊥BG于H，如下图．则∠G＝ 30°.(第4题 )在 Rt△ DHC 中，∠ DCH ＝ 60°， CD ＝ 4，则 CH＝CD·cos∠DCH ＝4× cos 60 °＝ 2，DH ＝ CD·sin∠ DCH ＝ 4× sin 60 °＝ 2 3，∵DH ⊥ BG，∠ G＝ 30°，∴HG＝DH＝2 3＝6， tan G tan 30 °∴CG＝CH ＋ HG ＝ 2＋6＝ 8，设 AB ＝x m，∵AB ⊥BG ，∠ G＝ 30°，∠ BCA ＝ 45°，∴BC＝ x，BG ＝AB＝x＝ 3x， tan G tan 30 °∵BG－BC ＝CG，∴3x－ x＝ 8，解得： x≈ 11.答：电线杆的高约为11 m.5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F.在 Rt△ ABF 中，∠ ABF ＝α＝ 60°，3∴ AF ＝ AB·sin 60 °＝ 20×＝103(m) ．在 Rt△ AEF 中，β＝ 45°，∴ AF ＝ EF，∴ AE ＝AF2 ＋ EF2＝（103） 2＋（ 10 3） 2＝ 10 6(m)．答：改造后的坡长 AE 为 10 6 m.(第5题 )(第6题 )6．解：如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，由题意得：∠ACH ＝ 75°，∠ BCH ＝30°， AB ∥ CH ，∴∠ ABC ＝ 30°，∠ ACB ＝45°，∵AB ＝4× 8＝ 32(m)，∴CD＝AD ＝ AB·sin 30 °＝16 m， BD ＝ AB·cos30°＝ 16 3 m，∴BC＝ CD ＋BD ＝ (16＋ 16 3)m，则 BH ＝BC·sin 30 °＝ (8＋ 8 3)m.答：这架无人飞机的飞翔高度为(8＋ 8 3) m.7．解：(1)如下图，过点C作CE⊥ BD 于点 E，则有∠ DCE ＝ 18°，∠ BCE ＝ 20°，(第 7题)∴∠ BCD ＝∠ DCE ＋∠ BCE ＝ 18°＋ 20°＝ 38°.(2)由题意得， CE＝ AB ＝ 30 m，在Rt△CBE中， BE ＝CE·tan 20 °，在 Rt△ CDE中， DE＝CE·tan 18 °，∴教课楼的高BD＝ BE ＋ DE＝ CE·tan 20 °＋ CE·tan 18 °≈ 20.4(m)．答：教课楼的高约为20.4 m.8．解：设每层楼高为x m，由题意得 MC′＝ MC － CC′＝ 2.5－ 1.5＝ 1(m)，则 DC′＝ (5x＋ 1)m， EC′＝ (4x ＋ 1)m.在 Rt△ DC′A′中，∠ DA′C′＝ 60°，∴ C′A＝′DC′＝3＋1)m.tan 60°3 (5x在 Rt△ EC′B中′，∠ EB′C′＝ 30°，∴C′B＝′EC′＝ 3(4x ＋1)m. tan 30 °∵ A′B＝′C′B－′C′A＝′AB ，3∴3(4x ＋ 1)－3 (5x ＋ 1)＝ 14.解得 x≈ 3.18.∴DC＝DC′＋ CC′＝ 5x ＋1＋ 1.5≈18.4(m)．答：居民楼的高度约为 18.4 m.。

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