2 第2课时 两向量共线的充要条件及应用

第2课时 两向量共线的充要条件及应用

问题导学

预习教材P31－P33的内容，思考以下问题： 1．两向量共线的充要条件是什么？ 2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？

两向量共线的充要条件

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0． ■名师点拨

(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1

y 2

(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的

共线向量的对应坐标成比例．

(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )

(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√

下列各组的两个向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2，3)，b 1＝(4，6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7，14) C ．a 3＝(2，3)，b 3＝(3，2) D ．a 4＝(－3，2)，b 4＝(6，－4) 答案：D

已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →

平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9，3) C ．a ＝(－1，2) D ．a ＝(－4，－8)

解析：选D.由题意得AB →＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →

，所以D 正确．

已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________． 答案：23

向量共线的判定

(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →

是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－1

3

.

(2)因为AB →

＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →

＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，

所以AB →∥AC →，所以AB →与AC →

共线． 又AB →＝23

AC →，所以AB →与AC →

的方向相同．

[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－1

3，

所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－1

3(3，4)

＝⎝

⎛⎭⎫0，－103＝1

3(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．

向量共线的判定方法

1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( )

A ．－5

B ．5

2

C ．7

D ．－12

解析：选D.a ＋b ＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a ＋b 与a 平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－1

2

.

2．已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →

是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

解：AB →

＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →

＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．

法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， 所以AB →与CD →

共线且方向相反．

法二：因为CD →＝－2AB →，所以AB →与CD →

共线且方向相反．

三点共线问题

(1)已知OA →＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →

＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线； (2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →

＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．

【解】 (1)证明：由题意知AB →＝OB →－OA →

＝(4，8)， AC →＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →，

即AB →与AC →

共线．

又因为AB →与AC →

有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线． (2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →

共线， 所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB →＝λAC →

.

因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →

＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，

即⎩

⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11.

所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB →与AC →

共线，

因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →

＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．

判断向量(或三点)共线的三个步骤

1．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )

A ．－3

B ．9

C ．－9

D ．3

解析：选A.设C (x ，6)，

因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →

， 又AB →＝(－2，－4)，AC →

＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0.