1集合与命题a

第一章集合与命题

1知识结构

2.基本要求：

(1 )理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、集合相等的概念, 并能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；

(2 )理解交集、并集、全集、补集的概念，知道有关的运算性质，并掌握集合的交、并、补运算.

(3)理解四种命题，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题及其相互关系；掌握并能判断充分条件、必要条件、充要条件；

(4)理解子集与推出关系，能运用子集与推出关系判断充分必要条件。

3.重点问题：

(1 )深刻理解描述法表示的集合中元素的意义；

(2)掌握集合的子、交、并、补运算；

(3 )充分条件、必要条件及充要条件的判断.

4•思想方法与能力：

(1 )利用数轴考察集合之间的关系问题；

(2)命题的证明•真命题需要证明(直接证法或反证法) ；假命题则举出一个反例.

1.1 集合概念

知识梳理

1. 集合的基本性质

(1 )确定性：集合中的元素是确切指定的 (2) 无序性：集合中的元素之间没有顺序区分 (3) 互异性：集合中的元素各不相同 2•集合的两种表示方法

(1)列举法：列举集合中的所有元素 (2 )描述法：描述集合中元素的公共属性 3 •元素与集合之间的关系(隶属关系)

a A 表示a 是集合A 的元素，a A 表示a 不是集合A 的元素

4 •集合与集合之间的关系(包含关系)

(1) 子集：对于两个集合 A 和B ，若对-x ・A ，有B ，贝U A ；= B (2) 真子集：若B ，且a B ，有a ' A ，则A 二B (3) 集合相等：若A B 且B A ，则A=B (4)

空集：没有任何元素的集合，记为 ..

5•常用数集的表示：通常用 N 、N *、Z 、Q 、R 、C 分别表示自然数集、正整数集、整 数集、有理数集、实数集、复数集

典型例题

【例1】将下列集合用列举法表示：

(1) 集合 A={yy = x 2

—1,x 兰 2,x^ Z}； (2) 集合 B ={(x,y) y =x 2

-1, x 兰 2,x^ Z}。

解：(1) A ={3,0, -1}

(2) B 二{(2,3),(-2,3),(-1,0),(1,0),(0,-1)}

、 「 n 兀〕、 、

【例2】(1 )已知集合A =

I

3

J

(2)已知集合A 」4,m 2

?, B 」10-3m,4,1?，若B ，求m 的值.

2 2

解：(1)

故A 的子集共有8个

(2) m =10 -3m 或m =1

得m - -5 或m = 2 或m 二1 经检验，m - -5或m = 1

【例 3】(1)设集合 A 一 1,1 • d,1 2d?, B 1,q,q 2?，若 A= B ，求 d 与 q 的值;

(2)已知集合 A = {xx 2+ax+b =0}={3}，求 a 、b 的值.

3 1

得d" 2或d —4 q

一2

经检验,

由韦达定理得 a - -6, b = 9

【例4】已知集合A 二｛xax 2

-3x 2 =0,a R ｝， （1 ）若A 是空集，求a 的取值范围；

（2） 若A 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素写出来； （3） 若A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围。 解：集合A 是方程ax 2

-3x • 2 = 0在实数范围内的解集

（1） A 是空集，即方程ax 2

-3x • 2 = 0无解，可得厶=（一3）2

-8a ：：： 0

9 a 〉

8

2

2 （2 ）当 a = 0 时，方程 ax - 3x ■ 2 = 0，即 - 3x ■ 2 = 0，只有一解 x =—

3

9 2

当a = 0时，只有厶=0，即a 时，方程ax -3x • 2二0有两个相等实根，

8 4

即这时A 中只有一个元素为 x ^~，

3 9

2 4

所以当a = 0或a

时，A 中只有一个元素，分别为 或一

8 3

3

9

（3） a =0或 a -

8

【备用题1】已知A=｛xx 2

+（p + 2）x + 1 =。｝，若A C R +=0，求实数p 的取值范围。 解：当 A 二-时，由•「：： 0得 一4 ：：： p . 0

P

+ 2 当 A = 一 时，由:-0，f （0） 0， 0得 p

_0

2

P +d=C|

2

1 2d =q 2

「+

d =q

[1+2d =q （2）因为A ，则方程

2

x • ax • b = 0的两个根均为3，

所以p-4

1

【备用题2】有限非空数集A满足条件：若a・A，贝y A ( a")

1-a

(1 )若2 A，试写出A中的其他元素；

(2 )自己设计一个满足条件的集合A,用列举法表示出来；

(3 )从上面的解答中，你能得出什么结论？并说明理由.

「 1 1

解：(1) A 二 2,-1-

I 2J

(2)取3 A，则A 二 2,-1,2

I 2 3J

(3) A中只有3m(m^ 个兀素且不等于1和0,

即A

1 a —1

=f a, ----- ,---- a^0,aH1,a€ R}.

1 —a a /

巩固练习

1.已知集合A={1 , 2, 3, 4}，那么A的真子集的个数是( )

(A) 15 (B)16 (C) 3 (D) 4

2•设集合M二'1,2,3, N二、xx M【则M与N的关系是( )

(A) M — N (B) N 二M (C) M N (D) M「N 二M

3•已知集合A J1,2,a2-2a?，若3 A，则实数a二______________________

4.已知集合M =、-1,0,1, N =y =cosx, x M /,则M ' N = __________________

5._____________________________________________________________________________ 已知集合A = gx兰4, x€R[ B = 'xx K a}，且A J B，则实数a的范围为 _____________________

6.已知函数f (x) = ax2 bx c(a = 0), a、b c R ,集合A = 7x f (x) = xf，当A = 2i 时，a : c = _____

k 1 〕r k 1 、

7 .设集合A = ?xx=—+ - , k^z h B = {xx=—+ — , k^Z》，则集合A 与B 之间

I 2 4 J I 4 2 J