第四章根轨迹法
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
回章首 回节首
18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
回章首 回节首
22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
第4章 根轨迹法
• 4.4
应用MATLAB绘制根轨迹图
• 使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输
出系统的根轨迹。 • （1）Rlocus（num，den）或rlocus（num，
den，k）
• （2）sgrid或sgrid(zeta，wn)
• 解 在图4.11中画出ξ=0.5的射线，与根轨 迹相交得闭环极点的要求位置s0。再画出 Gk(s)的极点到s0的三个向量——
• 得 • 由向量幅值
• 换句话说，如果取K*的值为65，则1+Gk (s) 的一个根将位于s0，另一个根当然是和s0共 轭的。第3个根在何处呢？由根轨迹知道， 第3条根轨迹在负实轴上，在一般情况下， 可以取一试探点，计算相应的K*值，然后 修正试探点直到找出和K*=65相应的点为止。
• ②方法2 根据式(4.14)，求出闭环系统特 征方程。
• 由上式可得
• ③方法3
根据式(4.15)有
• d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根 轨迹上，则舍弃。此系统根轨迹如图4.4。
图4.4
• 以上介绍了9条绘制根轨迹的一般规则。为 了熟练应用上述9条规则，并能绘制复杂系 统根轨迹，下面再举一例说明如何绘制一 个复杂系统的完整根轨迹图。
第4章
• 4.1
• 4.1.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根轨迹法
根轨迹的基本概念
根轨迹的定义
• 系统参数（如开环增益K *）由零增加到∞ 时，闭环特征根在S平面移动的轨迹称为该 系统的闭环根轨迹。
• 4.1.2
根轨迹方程
• 既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，
则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨 迹方程。 • 则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为： （4.2）
第四章根轨迹法.
9
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则 法则 1 根轨迹的分支数和对称性 : 1. 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 2. n阶系统有 条根轨迹 阶方程有 个确定的根,当根由始点 阶系统有n条根轨迹 阶方程有n个确定的根 阶系统有 条根轨迹(n阶方程有 个确定的根, 向终点移动时,必定形成一条根轨迹) 向终点移动时,必定形成一条根轨迹)
24
法则 8 根之和 : 当 n m ≥ 2 时 , 特征方程第二项系数与 K* 无关 , 无论 K* 取 何值 , 开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个根之和
∑s = ∑ p
i =1 i i =1
n
n
i
(4-25)
25
画出了几种常见的开环零, 在图 4-15 中 , 画出了几种常见的开环零,极点分布及其相应 的根轨迹 , 供绘制概略根轨迹时参考 .
3
4.1.1 根轨迹概念 一, 根轨迹概念 根轨迹简称根迹 , 它是开环系统某一参数从零变到无穷时 , 闭 环系统特征方程的根(闭环极点 在 环系统特征方程的根 闭环极点)在 s 平面上变化的轨迹 . 闭环极点 设控制系统如图4-1所示 设控制系统如图 所示 , 其 闭环传递函数为 C ( s) 2K φ ( s) = = 2 R( s ) s + 2 s + 2 K 显然 , 其特征根为 s1, 2 = 1 ± 1 2 K 其特征根变化如图4-2所示 令 K = 0 → ∞, 其特征根变化如图 所示 . "×"---------表示开环传递函数的极点 × 表示开环传递函数的极点 "°"---------表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点 箭头的指向-------表示 增大是根的移动方向 表示K增大是根的移动方向 箭头的指向 表示
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
第4章 根轨迹法
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
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自动控制原理
实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
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根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
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例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K＊ s2 K＊=0 1 -1 -2 K＊ ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
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第四章：根轨迹法
i s ∏︱ - z︱ j
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H
( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱ ︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H
( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱ ︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章 根轨迹法
i =1
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理PrinciplesofAutomaticControl
第4章 根轨迹法
由上述两式可见，幅值条件与k有关，而 相角条件与k无关。因此，把满足相角条件 的值代入到幅值条件中，一定能求得一个 与之相对应的k值。这就是说，相角条件是 确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。换 言之,凡是满足相角条件的点必然也同时满 足幅值条件,反之,满足幅值条件的点未必都 能满足相角条件.
n
m
(s pl ) K (s zi ) 0
l 1
i 1
1
K
n
(s pl )
l 1
m
(s zi ) 0
i 1
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
m
(s zi ) 0
i 1
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
自动控制原理
第4章 根轨迹法
我们在上式中做置换，令 s 1
自动控制原理
第4章 根轨迹法
规则2 根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
G(s)H (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
系统的闭环传递函数
n
m
(s pl ) K(s zi ) 0
根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。
1) 在正实轴上任取一试验点 s1，如图4-4(a)所示，由 于 arg s1 0，arg(s1 1) 0 ，因 而该点不满足根轨迹的相角 条件。由此可知，在正实轴 上不存在系统的根轨迹。
自动控制原理
2)在(0,–1)间的实轴上
任取一试验点s2，如图4-
！绘制注意点 1）实轴、虚轴相同的刻度
根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
第四章 根轨迹法
m
(s p )
i i 1
n
1
K*从0 到无穷大变化
由于s为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:
模值方程：
K
*
sz
i 1 i
m
i
s p
i 1
n
1
相角方程:
(s z ) (s p ) (2k 1) , k 0,1,2
i 1 i i 1 i
m
n
绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某 点对应的K*值则用模值方程。
4-2 常规根轨迹的绘制法则
一、绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点与终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点， K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开 环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根 轨迹终于无穷远处（无限零点）。
s 4s 4 K 0
2
s2 2 2 1 - K
由 s1 2 2 1 K s2 2 2 1 - K 可得闭环极点的变化情况：
K=0 0 < K <1 K=1 K=2 1<K<∞ K= ∞ s1=0 s2=-4 s1 s2为不等的负实根 s1=-2 s2=-2 s1=-2+2j s2=-2-2j s1 s2 实部均为-2 s1=-2+j ∞ s2=-2-j ∞
K=0 0 < K <1 K=1 1<K<∞
s1=0 s2=-4 s1 s2为不等的负实根 s1=-2 s2=-2 s1 s2 实部均为-2
由根轨迹可知： 1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递 函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点. 2）当0<K< 1 时,s1,2都是负实根,随着k的增 长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。 3) 当K= 1时, s1,2 = -2,两根重合在一起, 此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 <K<∞,s1,2为共轭复根,它们的实部恒等于2，虚部随着K的增大而增大,系统此时为欠阻 尼状态。
第四章：根轨迹分析法
n
m
j
n−m
2k+1 ϕa = π n− m
(k = 0,1,2,⋯, n− m−1)
18
在例4-1中，开环传递函数为
G(s)H(s) =
Kg s(s+ 2)
开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线 在实轴上的交点位置为
−2 σa = = −1 2
π 它们与实轴正方向的交角分别为 (k = 0) 2 3 π 和 (k =1) ，两条渐近线正好与 Kg ≥1 时的根轨迹 2 重合。
在绘 制根轨 迹时 ，可 变参数 不 限定 是 根轨 迹 增 益 Kg ，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数 等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣 的系统参数取代根轨迹增益 Kg 的位置都可以绘制根 轨迹。
8
根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式 表示
| G(s) H(s) | ej∠G(s)H(s) =1⋅ ej(±180°+k⋅360°) (k = 0,1,2,⋯ )
15
规则三 实轴上的根轨迹
若实轴上某线段右侧的开环零、 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 例4-3 设系统的开环传递函数为
G(s) H(s) = Kr (s− z1)(s − z2 )(s − z3 )(s − z4 ) (s− p1)(s− p2 )(s− p3 )(s − p4 )(s − p5 )
24
jω
P 1
θ p1
[s]
P 3
0
σ
P 2
θ p2
图4-8(a) 根轨迹的出射角
25
jω
第四章 根轨迹法
2 当 K1 a 时，则两根为实数且相等，即
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
自动控制原理 第四章 根轨迹法
K S ( 0.5 S 1)
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
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Σ(由各极点指向轨迹点的方向角) = 指向正左方。
L(s)的相角
2. 绘制根轨迹的一般规则 ➢ 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程
1G (s)H(s)0
➢ 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增
益形式，即特征方程可等价为
1 K (s z 1 ) (s z 2 ) (s z m ) 1 K M (s ) 0
如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段 属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合 点）。
分离点是特征方程的重根，因此有
KM(s)N(s) 0 KM(s)N(s) 0
G(s)H(s) KM(s) N(s)
dK 0 ds
或
dN (s) N (s)M (s)N (s)M (s)
( ) dsM (s)
稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统 的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是 闭环稳定的；
动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻 尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状 态对应的系统动态特性有明显差别；
稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度 误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨 迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。
1G (s)H (s)1 K (s1) 0 s(s2)(s4)2
试大致绘制其根轨迹。
j [s]
j [s]
二重极点
-4
-2
-1
0
-4
-2 -1
0
(a)
(b)
根轨迹图
➢ 规则五 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又 分开的点称为分离点。
一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生 于共轭复数对中。
3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。
单位反馈系统 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；
2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。
K' KG'KH'
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点!
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
1. 绘制根轨迹的基本条件
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角
a180 n (2m k1) (k0,1,2, )
➢ 当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。 ➢ 尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的
增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出 现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。 ➢ 例4-2 已知一四阶系统的特征方程为
i1
j1
h
f
l
(spi) (spj)K' (szi)
(szj)
i1
j1
i1
j1
G(s)K sG ((T11 ss11))((T2222ss2222T 22ss 11))
f
m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)
(szi)
KG'
i1 q
(spi)
i1
f
l
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
k k 0 z1 1 k 0
p2 1 T k
0 p1 0
根轨迹图
➢ 规则四 根轨迹的渐近线
如果开环零点的数目m小于开环极点数n，即n >m，则有( n – m )条根轨迹沿着渐近线终止于无 穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定
渐近线与实轴的交点坐标
n
m
pi z j
(1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为
G (s) K k ; k2K s(0.5s1) s(s2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的 标准形式——零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上， 并用“×”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点
D(s)s22sk0
由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨 迹是对称于实轴的。
仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下 半部由镜象求得。
➢ 规则二 根轨迹的起点、终点和分支数
系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点 （或无穷远处）。
由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K 由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变 化出现n条根轨迹。
s 1 1 1 k, s 2 1 1 k
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 表示
k
j [s]
. k 3 . k 2
k 0
k 1 k 0
-2
-1
. k 2
. k 3
0
k
图 4-2 二阶系统根轨迹
从图中可以看出 ① 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点
➢ 由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点
（或零点）的出射角（或入射角）互为相反
数。即有 p1 p2 ,z1 z2
➢ 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为
n
m
p r 1 8 0 (2 k 1 ) a rg (p r p j)a rg (p r z i)
j 1 ,j r
i 1
➢ 根轨迹到达复数零点zr的入射角为
(s p 1 ) (s p 2 ) (s p n )
N (s )
上式为绘制根轨迹的标准形式。
➢ 规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称
特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数， 这些系数也是连续变化的。
系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数 连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特 征方程的根轨迹是连续的。
实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点 确定。
根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧 的开环零极点数目之和为奇数。
➢ 例 4-1 已 知 一 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G(s) K(s 1) 。其中，τ>T。试大致绘出其根轨迹。
s(Ts 1)
j [s]
➢ 根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根 轨迹的一个特性；
➢ 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统 的任何参量，但最常用的是系统的开环增 益——常规根轨迹。
2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系
R(s)
+-
C(s) G(s)
H (s)
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统 特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻 烦。
④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分 析、设计控制系统是很有意义的。
3. 根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由W. Evans在“控制系统的图解分析”一文 中提出）。
➢ 绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件
② 相角条件
G(s)H(s) 1
G ( s ) H ( s ) a r g [ G ( s ) H ( s ) ] 1 8 0 i 3 6 0 ( i 0 , 1 , 2 ,)
m
(s zi )
G(s)H(s) K
i1 n
1
(s pi )
根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的 阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点 的个数，也等于开环极点的数目（Why？）。
幅值条件
n
s pi
K ＝ i1 m
s zi
i1
K 0
s值必须趋近于
某个开环极点
根轨迹起始于开环极点
K
s值必须趋近于
某个开环零点
根轨迹终止于开环零点
➢ 规则三 实轴上的根轨迹
已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。
以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。
4.1 根轨迹的基本概念
1、根轨迹的基本概念
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s1)
图 4-1 控制系统框图
➢ 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中 G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数 和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为
1G(s)H(s)0 G(s)H(s)1
将上式改写成
G ( s ) H ( s )e j G ( s ) H ( s ) 1 e j( 1 8 0 i3 6 0 ) ( i 0 ,1 ,2 , )
n
m
zr 1 8 0 (2 k 1 )a rg (zr p j) a rg (zr z i)
j 1
i 1 ,i r
4.3 广义根轨迹
➢ 参数根轨迹 ➢ 附加开环极点和零点的作用 ➢ 零度根轨迹
(s p j) j 1
前向通道极点 反馈通道极点
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
i1
j1
h
f
(spi) (spj)K' (szi)
l
(szj)
i1
j1
i1
j1
1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；
2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；
i1
m个零点、n个极 点（nm）
幅值条件
m
s zi
K
i1 n
s pi
i1
1
1）幅值条件不但与开环零、
极点有关，还与开环根轨迹
增益有关；
2）必要条件
L(s)的相角
2. 绘制根轨迹的一般规则 ➢ 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程
1G (s)H(s)0
➢ 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增
益形式，即特征方程可等价为
1 K (s z 1 ) (s z 2 ) (s z m ) 1 K M (s ) 0
如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段 属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合 点）。
分离点是特征方程的重根，因此有
KM(s)N(s) 0 KM(s)N(s) 0
G(s)H(s) KM(s) N(s)
dK 0 ds
或
dN (s) N (s)M (s)N (s)M (s)
( ) dsM (s)
稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统 的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是 闭环稳定的；
动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻 尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状 态对应的系统动态特性有明显差别；
稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度 误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨 迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。
1G (s)H (s)1 K (s1) 0 s(s2)(s4)2
试大致绘制其根轨迹。
j [s]
j [s]
二重极点
-4
-2
-1
0
-4
-2 -1
0
(a)
(b)
根轨迹图
➢ 规则五 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又 分开的点称为分离点。
一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生 于共轭复数对中。
3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。
单位反馈系统 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；
2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。
K' KG'KH'
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点!
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
1. 绘制根轨迹的基本条件
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角
a180 n (2m k1) (k0,1,2, )
➢ 当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。 ➢ 尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的
增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出 现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。 ➢ 例4-2 已知一四阶系统的特征方程为
i1
j1
h
f
l
(spi) (spj)K' (szi)
(szj)
i1
j1
i1
j1
G(s)K sG ((T11 ss11))((T2222ss2222T 22ss 11))
f
m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)
(szi)
KG'
i1 q
(spi)
i1
f
l
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
k k 0 z1 1 k 0
p2 1 T k
0 p1 0
根轨迹图
➢ 规则四 根轨迹的渐近线
如果开环零点的数目m小于开环极点数n，即n >m，则有( n – m )条根轨迹沿着渐近线终止于无 穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定
渐近线与实轴的交点坐标
n
m
pi z j
(1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为
G (s) K k ; k2K s(0.5s1) s(s2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的 标准形式——零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上， 并用“×”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点
D(s)s22sk0
由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨 迹是对称于实轴的。
仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下 半部由镜象求得。
➢ 规则二 根轨迹的起点、终点和分支数
系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点 （或无穷远处）。
由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K 由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变 化出现n条根轨迹。
s 1 1 1 k, s 2 1 1 k
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 表示
k
j [s]
. k 3 . k 2
k 0
k 1 k 0
-2
-1
. k 2
. k 3
0
k
图 4-2 二阶系统根轨迹
从图中可以看出 ① 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点
➢ 由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点
（或零点）的出射角（或入射角）互为相反
数。即有 p1 p2 ,z1 z2
➢ 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为
n
m
p r 1 8 0 (2 k 1 ) a rg (p r p j)a rg (p r z i)
j 1 ,j r
i 1
➢ 根轨迹到达复数零点zr的入射角为
(s p 1 ) (s p 2 ) (s p n )
N (s )
上式为绘制根轨迹的标准形式。
➢ 规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称
特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数， 这些系数也是连续变化的。
系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数 连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特 征方程的根轨迹是连续的。
实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点 确定。
根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧 的开环零极点数目之和为奇数。
➢ 例 4-1 已 知 一 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G(s) K(s 1) 。其中，τ>T。试大致绘出其根轨迹。
s(Ts 1)
j [s]
➢ 根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根 轨迹的一个特性；
➢ 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统 的任何参量，但最常用的是系统的开环增 益——常规根轨迹。
2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系
R(s)
+-
C(s) G(s)
H (s)
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统 特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻 烦。
④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分 析、设计控制系统是很有意义的。
3. 根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由W. Evans在“控制系统的图解分析”一文 中提出）。
➢ 绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件
② 相角条件
G(s)H(s) 1
G ( s ) H ( s ) a r g [ G ( s ) H ( s ) ] 1 8 0 i 3 6 0 ( i 0 , 1 , 2 ,)
m
(s zi )
G(s)H(s) K
i1 n
1
(s pi )
根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的 阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点 的个数，也等于开环极点的数目（Why？）。
幅值条件
n
s pi
K ＝ i1 m
s zi
i1
K 0
s值必须趋近于
某个开环极点
根轨迹起始于开环极点
K
s值必须趋近于
某个开环零点
根轨迹终止于开环零点
➢ 规则三 实轴上的根轨迹
已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。
以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。
4.1 根轨迹的基本概念
1、根轨迹的基本概念
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s1)
图 4-1 控制系统框图
➢ 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中 G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数 和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为
1G(s)H(s)0 G(s)H(s)1
将上式改写成
G ( s ) H ( s )e j G ( s ) H ( s ) 1 e j( 1 8 0 i3 6 0 ) ( i 0 ,1 ,2 , )
n
m
zr 1 8 0 (2 k 1 )a rg (zr p j) a rg (zr z i)
j 1
i 1 ,i r
4.3 广义根轨迹
➢ 参数根轨迹 ➢ 附加开环极点和零点的作用 ➢ 零度根轨迹
(s p j) j 1
前向通道极点 反馈通道极点
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
i1
j1
h
f
(spi) (spj)K' (szi)
l
(szj)
i1
j1
i1
j1
1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；
2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；
i1
m个零点、n个极 点（nm）
幅值条件
m
s zi
K
i1 n
s pi
i1
1
1）幅值条件不但与开环零、
极点有关，还与开环根轨迹
增益有关；
2）必要条件