北京市人大附中西山学校2020-2021学年八年级下学期开学测试题数学试题(含答案解析)

10．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为_____
11．计算的 结果正确的是____________．
12．某住宅小区有一块草坪如图四边形 ，已知 米， 米， 米， 米，且 ，则这块草坪的面积为________平方米．
13．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____．
10．110°
【分析】
由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度数．
【详解】
解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠D=45°，
∴∠B=180°-∠BED-∠D=45°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
9．a(b+5)(b-5)
【分析】
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=a（b+5）（b-5），
故答案为a（b+5）（b-5）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】
解：∵ ，
∴原式=
=4ab+4b2
=4b(a+b)
=0，
故答案是：0．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算以及因式分解，是解题的关键．
16． ；
【分析】
以 ， 为条件建立坐标系，然后结合网格结构可知，构成格点三角形只有以AB为腰的等腰三角形，其中等腰直角三角形时 的面积最大时点 的坐标
A．3、4、5B．6、8、10C．3、2、5D．5、12、13
3．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米 米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（ ）
【详解】
如图，点P即为所求作．
【点睛】
本题考查作图的应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（1） ；（2）
【分析】
（1）先化简二次根式，负整数指数幂和零次幂，进而即可求解；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后算除法，即可求解．
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．A
【分析】
利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】
如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°，
由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝ （180°﹣80°）＝50°，
A． 米B． 米C． 米D． 米
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
6．在下列运算中，正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6
C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2D．（2x﹣y） （2x+y）＝2x2﹣y2
7．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
北京市人大附中西山学校2020-2021学年八年级下学期开学测试题数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．使 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）
【详解】
解：建立平面直角坐标系如图所示，故以AB为腰作等腰直角三角形面积最大，
∴当 的面积最大时，点 的坐标为 ；或 .
故填： ；
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图．根据网格的特点作出最大的等腰三角形是解题的关键所在．
17．答案见解析
【分析】
作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作.
【详解】
（1）原式=
= ；
（2）原式=
=
= ．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简，整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
19．见解析
【分析】
根据平行线的性质，得到内错角相等，即 ，再用 证明 ≌ ，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论．
故答案为：36．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
13．
【分析】
由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【详解】
解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝ ，
∴DE＝ ，
∴CD＝ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键．
12．36
【分析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】
连Βιβλιοθήκη BaiduAC，
∵ 米， 米，且
∴
∴ 米，
∵ 米， 米，
∴AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD= AB•BC+ AC•DC= （3×4+5×12）=36米2．
D. =2 ，该选项不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，是解题的关键．
6．C
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的结果,再判断即可.
【详解】
解：A、 ,故本选项错误;
B、 ,故本选项错误;
C、 ,故本选项正确;
D、 ,故本选项错误;
故选C.
【点睛】
故选：C．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤｜a｜<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．B
【分析】
根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. = ，该选项不符合题意，
B. 是最简二次根式，该选项符合题意，
C. = ，该选项不符合题意，
A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元
8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题
9．分解因式： -25a =_________
2．C
【分析】
判断是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
A、32＋42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、22＋32≠52，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、52＋122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故选C.
8．C
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
20．解关于x的方程：
21．先化简，再求值： ，其中 满足 .
22．如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．
（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；
（2）求证：BC＝2AB．
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE= ，BE= ．求CD的长和四边形ABCD的面积．
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．C
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
125纳米=125×10-9米=1.25×10-7米．
又∵∠A=25°，
∵∠ACB=180°-（∠A+∠B）=110°．
故答案为110°
【点睛】
此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
11．
【分析】
分母不变，分子相加，即可求解．
【详解】
原式=
=
【点睛】
本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法法则，是解题的关键．
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路 和公路 的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等．如果你是红方的指挥员，请你在下图中标出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）
18．计算（1）
（2）
19．已知：如图，点 ， ， 在同一直线上， ， ， ．求证： ．
24．已知 ，点 为射线 上一定点，点 为射线 上一动点（不与点 重合），点 在线段 的延长线上，且 ．过点 作 于点 ．
（1）当点 运动到如图 的位置时，点 恰好与点 重合，此时 与 的数量关系是；
（2）当点 运动到如图 的位置时，依题意补全图形，并证明： ；
（3）在点 运动的过程中，点 能否在射线 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系；若不能，请说明理由．
（2） 和 都是正方形 的内等边三角形，当边 的长最大时，画出 和 ，
点 按逆时针方向排序，连接 ．找出图中与线段 相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．
参考答案
1．B
【分析】
由 有意义，可得 解不等式可得答案．
【详解】
解： 有意义，
故选：
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15．已知 ，则代数式 的值为____________．
16．如图是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点 均在格点上.在网格中建立平面直角坐标系，且 ， .如果点 也在此 的正方形网格的格点上，且 是等腰三角形，那么当 的面积最大时，点 的坐标为___．
三、解答题
17．尺规作图：
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10．
25．已知正方形 ，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形 的内等边三角形．
（1）若正方形 的边长为10，点 在边 上．
①当点 为边 的中点时，求作：正方形 的内等边 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若 是正方形 的内等边三角形，连接 ，则线段 长的最小值是_____，线段 长的取值范围是______；
14．x2−（x−3）2＝82
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
15．0
【分析】
先化简代数式，再分解因式，然后代入求值，即可．
14．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索 的长为 尺，根据题意，可列方程为__________．
本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用,注意:完全平方公式: ，平方差公式:(a+b)(a-b)=a -b .
7．C
【详解】
试题解析：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC= AB×CD= ×20×15=150m2，