大学概率论考点总复习

第一章 随机事件与概率

一、主要概念及公式

1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合.

2. 随机事件：样本空间的子集.

3. 频率：事件A 发生次数与试验次数的比值.

4. 概率：刻画随机事件A 在试验中发生的可能性大小的、介于0与1之间

的数称为P (A )事件A 的概率，它满足非负性、规范性、可列可加性。 5. 古典概型：试验具有以下两个特点的概率类型： (1)试验的样本空间只包含有限个元素； (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同 .

概率的古典定义:在古典概型时,().A P A =

包含的基本事件数

样本空间中的基本事件总数

6. 条件概率：设A 、B 是两个事件，且P (A )>0, 称()

()()

P AB P B A P A =为 事件A 发生条件下B 发生的概率.

7. 独立性:设A ,B 是两个事件,若()(),P A B P A =则称事件A ,B 相互独立. ,A B A B A B A B 若与相互独立，则与与，与都相互独立. 8. 事件的关系：,A B =,A

B ,A

B ,A B -,A

B =Φ.A

9. 概率性质：(1) 0()1P A ≤≤，()0P Φ= ()1P Ω=；

(2) ()()()();P BA P B A P B P AB =-=-

特别的，,()()().A B P B A P B P A ⊂-=-当时 (3) ()1();P A P A =- (4) ()()()();P A

B P A P B P AB =+-

推广:112

1

111

()()()()(1)();n n

n i i i j i j k n i i j n

i j k n

i P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤==-

+

++-∑∑

∑

10. 加法公式：()()()();P A B P A P B P AB =+-

A B 、互不相容时， ()()();P A

B P A P B =+

11. 乘法定理: ()()()(()0);P AB P B A P A P A =>，

独立事件的乘法公式：()()()(,).P AB P A P B A B =，

相互独立 推广到有限多个独立事件：1

1

(

)(),(n n

i i i i i P A P A A ===∏相互独立）；

12. 全概率公式:(1)事件(1,2,,)i A i n =两两互不相容；(2)

1

n

i i A ==Ω，

则1()()().n

i i i P B P A P B A ==∑

13. 独立试验序列：独立试验序列中，设P (A )=p ,则n 次试验中事件A 恰发

生m 次的概率为()(01,1,).m n n m

n n P m C p q

p p q -=<<+-， 14. 随机试验：具有以下三个特点的实验 (1)可在相同的条件下重复进行； (2)每次实验结果可能不止一个；(3)实验前不能确定哪个结果会出现. 15. 概率的三个性质：(1)非负性: ()0;P A ≥ (2)规范性：()1;P Ω= (3)可列可加性:(1,2,,)i A i n =两两互不相容；则有1

1

(

)().n n

i i i i P A P A ===∑

二、基本习题

1．袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，一次从袋中任意取两球， 观察其颜色, 写出此随机事件的样本空间。【Ω={两白,一白一黑,两黑}】 2．设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表达下列事件

(1) 至少有一个发生__________； (2) 一个都没有发生 ； (3) 恰好有一个发生___________；(4) 至少有两个发生 ； (5) 最多有一个发生 ； (6) 仅A 发生 .

【,,A B C ABC ABC ABC ABC ++,AB BC AC ,AB BC AC ,.ABC 】 3．设A , B 为相互独立的事件,()0.4,()0.3,P A P B ==求().P A B 【0.88】 4．设A ,B 为两事件,__

()0.6,(/)0.2,P A B P B A ==求__

(),().P A P AB 【0.5;0.1】

5．设A,B 为两事件,,()0.7,()0.5,A B P A P B ⊃==求()P AB ，

().P A B 【0.3;1】 6．设随机事件,A B 及A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6,求()P A B ，

()P AB ， ().P AB 【1/3；0.1；0.3】

7．设()0.5P A =,()0.6P B =,(/)0.4P B A =,求()P AB ,()P AB . 【()()()0.2,P AB P A P B A ==()()()0.4P AB P B P AB =-=】

8．口袋中一装有3只红球，5只黑球，今从中任意取出2只球，求这2

只球恰为一红一黑的概率。【11352815

().28

C C P A C == 】

9．一本有4本分册的文集，按任意顺序放在书架上，求将各分册按自左向

右或自右向左的顺序排列的概率。 【24112=！

】 10．一只口袋中有100只球，其中红球为10只，每次从中任取一只球， 取出后不再放回，求第三次才取得红球的概率？【908910

1009998

P =

⨯⨯】 11．某仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱、3箱、2箱 依次是第一、二、三厂生产的，且三个工厂该产品的次品率依次为

111

,,101520

，现从这10箱产品中任取一箱，取得的这箱中任取一件产品， 求取得次品的概率。

【设A 为任取一个产品为次品，设i B 为取自第i 厂,i =1,2,3 3

1()()() 3.5%.i i i P A P B P A B ==⨯=∑】

12．某工厂有一、二、三3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量