正十七边形尺规作图与详解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法

一.高斯的传奇故事

高斯）,德国数学家.物理学家.天文学家.有一天,年幼的高斯在一旁看著作水泥工场领班的父亲盘算工人们的周薪.父亲算了好一会儿,终于将成果算出来了.可是切切没想到,他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸,你算错了,总数应当

是……”父亲觉得很惊奇,赶忙再算一遍,成果证实高斯的答案是对的.这时的高

斯只有3岁！

高斯上小学了,教他们数学的先生布特勒(Buttner)是一个立场良好的人,他授课时从不斟酌学生的接收才能,有时还用鞭子奖励学生.有一天,布德勒让全班学生盘算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和,并且威逼说：“谁算不出来,就不准回家吃饭！”布德勒说完,就坐在一旁独自看起小说来,因为他认为,做如许一道标题是须要些时光的.小同伙们开端盘算：“1 + 2 ＝3,3+3＝6,6+4＝10,……”数越来越大,盘算越来越艰苦.但是不久,高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边.高斯说：“先生,我做完了,你看对不合错误？“做完了？这么快就做完了？确定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬,挥挥手说：“错了,错了！归去再算！”高斯站着不走,把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的.”布德勒昂首一看,大吃一惊.小石板上写着 5050,一点也没有错！高斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100

100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1

101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100

10100÷2＝5050

高斯其实不知道,他用的这种办法,其实就是古代数学家经由长期尽力才找出来的求等差数列和的办法,那时他才八岁！

1796年的一天,德国哥廷根大学.高斯吃完晚饭,开端做导师给他单独安插的三道数学题.前两道题他不费吹灰之力就做了出来了.第三道题写在另一张小纸条上：请求只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形.这道题把他难住了——所学过的数学常识竟然对解出这道题没有任何帮忙.时光一分一秒的曩昔了,第三道题竟毫无进展.他绞尽脑汁,测验测验着用一些超通例的思绪去追求答案.当

窗口露出曙光时,他终于解决了这道难题. 当他把功课交给导师时,觉得很忸捏.他对导师说：“您给我安插的第三道题,我竟然做了整整一个彻夜,……”导

师看完功课后,冲动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年汗青的

数学悬案！阿基米得没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你

是一个真正的天才！”本来,导师也一向想解开这道难题.那天,他是因为拿错了,才将写有这道标题标纸条交给了学生. 在这件工作产生后,高斯曾回想说：“假如有人告知我,那是一道千古难题,我可能永久也没有信念将它解出来.”

1796年3月30日,当高斯差一个月满十九岁时,在期刊上揭橥《关于正十七边形作图的问题》.他显然以此为骄傲,还请求今后将正十七边形刻在他的墓碑上.然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形,而刻着一颗十七角星,本来是负责刻纪

念碑的镌刻家认为：“正十七边形和圆太像了,刻出来之后,每小我都邑误认为是一个圆.”

1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章.上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”,自那之后,高斯就以“数学王子”着称于世.

二.高斯正十七边形尺规作图的思绪（这里是纯三角法）

作正十七边形的症结是作出cos 172π

,为此要树立求解cos 172π

的方程.

设正17边形中间角为α,则17α＝2π,即16α＝2π－α

故sin16α＝－sinα ,而

sin16α

＝2sin8α cos8α

＝4sin4α cos4α cos8α

＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α

＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α

因sinα ≠0,双方除以sinα,有

16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1

由积化和差公式,得

4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1

睁开,得

4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1 再由积化和差公式,得

2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1

留意到 cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos9α＝cos8α,cos15α＝cos2α,有

2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1

设 a ＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α),b ＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α),则 a ＋b ＝－1

又ab ＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)

＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋

4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)

再睁开之后共16项,对这16项的每一项运用积化和差公式,可得：

ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋

(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]

留意到cos9α＝co s8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos14α＝cos3α,cos15α＝cos2α,有

ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4

因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos

172π＋cos 174π)＋cos 1716π ＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17

π(cos 173π－21) 又 0 < 173π < 3π < 2

π