正十七边形尺规作图与详解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法
一.高斯的传奇故事
高斯）,德国数学家.物理学家.天文学家.有一天,年幼的高斯在一旁看著作水泥工场领班的父亲盘算工人们的周薪.父亲算了好一会儿,终于将成果算出来了.可是切切没想到,他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸,你算错了,总数应当
是……”父亲觉得很惊奇,赶忙再算一遍,成果证实高斯的答案是对的.这时的高
斯只有3岁！
高斯上小学了,教他们数学的先生布特勒(Buttner)是一个立场良好的人,他授课时从不斟酌学生的接收才能,有时还用鞭子奖励学生.有一天,布德勒让全班学生盘算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和,并且威逼说：“谁算不出来,就不准回家吃饭！”布德勒说完,就坐在一旁独自看起小说来,因为他认为,做如许一道标题是须要些时光的.小同伙们开端盘算：“1 + 2 ＝3,3+3＝6,6+4＝10,……”数越来越大,盘算越来越艰苦.但是不久,高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边.高斯说：“先生,我做完了,你看对不合错误？“做完了？这么快就做完了？确定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬,挥挥手说：“错了,错了！归去再算！”高斯站着不走,把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的.”布德勒昂首一看,大吃一惊.小石板上写着 5050,一点也没有错！高斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100
100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1
101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100
10100÷2＝5050
高斯其实不知道,他用的这种办法,其实就是古代数学家经由长期尽力才找出来的求等差数列和的办法,那时他才八岁！
1796年的一天,德国哥廷根大学.高斯吃完晚饭,开端做导师给他单独安插的三道数学题.前两道题他不费吹灰之力就做了出来了.第三道题写在另一张小纸条上：请求只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形.这道题把他难住了——所学过的数学常识竟然对解出这道题没有任何帮忙.时光一分一秒的曩昔了,第三道题竟毫无进展.他绞尽脑汁,测验测验着用一些超通例的思绪去追求答案.当
窗口露出曙光时,他终于解决了这道难题. 当他把功课交给导师时,觉得很忸捏.他对导师说：“您给我安插的第三道题,我竟然做了整整一个彻夜,……”导
师看完功课后,冲动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年汗青的
数学悬案！阿基米得没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你
是一个真正的天才！”本来,导师也一向想解开这道难题.那天,他是因为拿错了,才将写有这道标题标纸条交给了学生. 在这件工作产生后,高斯曾回想说：“假如有人告知我,那是一道千古难题,我可能永久也没有信念将它解出来.”
1796年3月30日,当高斯差一个月满十九岁时,在期刊上揭橥《关于正十七边形作图的问题》.他显然以此为骄傲,还请求今后将正十七边形刻在他的墓碑上.然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形,而刻着一颗十七角星,本来是负责刻纪
念碑的镌刻家认为：“正十七边形和圆太像了,刻出来之后,每小我都邑误认为是一个圆.”
1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章.上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”,自那之后,高斯就以“数学王子”着称于世.
二.高斯正十七边形尺规作图的思绪（这里是纯三角法）
作正十七边形的症结是作出cos 172π
,为此要树立求解cos 172π
的方程.
设正17边形中间角为α,则17α＝2π,即16α＝2π－α
故sin16α＝－sinα ,而
sin16α
＝2sin8α cos8α
＝4sin4α cos4α cos8α
＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α
＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α
因sinα ≠0,双方除以sinα,有
16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1
由积化和差公式,得
4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1
睁开,得
4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1 再由积化和差公式,得
2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1
留意到 cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos9α＝cos8α,cos15α＝cos2α,有
2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1
设 a ＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α),b ＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α),则 a ＋b ＝－1
又ab ＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)
＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋
4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)
再睁开之后共16项,对这16项的每一项运用积化和差公式,可得：
ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋
(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]
留意到cos9α＝co s8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos14α＝cos3α,cos15α＝cos2α,有
ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4
因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos
172π＋cos 174π)＋cos 1716π ＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17
π(cos 173π－21) 又 0 < 173π < 3π < 2
π
所以cos 173π> 21
即cosα＋cos2α＋cos8α > 0 又因为 cos4α＝cos 178π
> 0
所以 a ＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0
又 ab ＝-4< 0
所以有a > 0, b< 0
可解得
a ＝2171+-,
b ＝2
171-- 再设c ＝2(cosα＋cos4α),d＝2(cos2α＋cos8α),
则c+d ＝a
cd ＝2(cosα+ cos4α)·2(cos2α+ cos8α)
＝4 (cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α)
＝2 [(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos9α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos12α)]
留意到cos9α＝cos8α, cos12α＝cos5α,有
cd ＝2[(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos8α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos5α)]
＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α) ＝-1
因为 0 < α < 2α < 4α < 8α < π
所以 cosα > cos2α,cos4α > cos8α
两式相加得 cosα＋cos4α> cos2α＋cos8α
或2(cosα＋cos4α)> 2(cos2α＋cos8α)
即 c > d,又 cd＝-1 < 0所以有c > 0, d < 0
可解得
c＝
2
4 2+
+a
a,【 d＝
2
4 2+
-a
a】
相似地,设e＝2(cos3α＋cos5α),f＝2(cos6α＋cos7α)
则e+f＝b
ef＝2(cos3α＋cos5α)·2(cos6α＋cos7α)
＝4(cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α)
＝2 [(cos3α＋cos9α)＋(cos4α＋cos10α)＋(cosα＋cos11α)＋(cos2α＋cos12α)]
留意到cos9α＝cos8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos12α＝cos5α,有
ef＝2[(cos3α＋cos8α)＋(cos4α＋cos7α)＋(cosα＋cos6α)＋(cos2α＋cos5α)]
＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝-1
因为0 < 3α < 5α < 6α < 7α < π
所以有cos3α > cos6α,cos5α > cos7α
两式相加得cos3α＋cos5α> cos6α＋cos7α
2(cos3α＋cos5α)> 2(cos6α＋cos7α)
即 e > f,又 ef＝-1 < 0
所以有 e > 0, f < 0
可解得
e ＝242++b b ,【
f ＝2
42+-b b 】 由c ＝2(cosα＋cos4α),得cosα＋cos4α＝2c
,即cos 172π＋cos 178π＝2c
e ＝2(cos3α＋cos5α),运用积化和差公式,得cosαcos4α＝
4e
,即cos 172πcos 178π＝4e
因为0<
172π<178π<2π,所以cos 172π>cos 178π>0 所以cos 172π＝442e c c -+,【cos 178π＝4
42e c c --】 于是,我们得到一系列的等式：
a ＝2171+-,
b ＝2171--,
c ＝242++a a ,e ＝2
42++b b , cos 172π＝4
42e c c -+ 有了这些等式,只要依次作出a.b.c.e,即可作出cos
172π
.
步调一：
给一圆O,作两垂直的半径OA.OB,
作C 点使OC ＝1/4OB,
作D 点使∠OCD ＝1/4∠OCA,
作AO 延伸线上E 点使得∠DCE ＝45度.
步调二： 作AE 中点M,并以M 为圆心作一圆过A 点,此圆交OB 于F 点,
再以D 为圆心,作一圆过F 点,此圆交直线OA 于G4和G6两点.
步调三：
过G4作OA 垂直线交圆O 于P4,
过G6作OA 垂直线交圆O 于P6,
则以圆O 为基准圆,A 为正十七边形之第一极点P4为第四极点,P6为第六
极点.
衔接P4P6,以1/2弧P4P6为半径,在圆上不竭截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有极点.
汗青
最早的十七边形画法创造工资高斯.高斯(1777~1855年),德国数学家.物理学家和天文学家.在童年时期就表示出不凡的数学天才.三岁学会算术,八岁因发明等差数列乞降公式而深得先生和同窗的钦佩.1799年以代数根本定理的四个英俊证实获得博士学位.高斯的数学成就普遍各个范畴,个中很多都有着划时期的意义.同时,高斯在天文学.大地测量学和磁学的研讨中也都有出色的进献.
1801年,高斯证实：假如k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本身就是依据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题.
道理
当时,假如高斯的先生告知了高斯这是道2000多年没人解答出来的标题,高斯就不会画出这个正十七边形.这说清楚明了你不怕艰苦,艰苦就会被霸占,当你害怕艰苦,你就不会成功.
正十七边形的证实办法
正十七边形的尺规作图消失之证实:
设正17边形中间角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,双方除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
留意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经盘算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。