空间直线参数方程
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
直线的参数方程标准式
直线的参数方程标准式直线是几何学中最基本的概念，它是空间中所有点组成的连续一维线段，可以用参数方程表示。
什么是参数方程标准式?数方程标准式是用数学公式来表示空间直线的形状和特征，它是由平面直角坐标系上任意两点确定的，具有特定形状和方向。
以二维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 y=kx+b 其中，k 为斜率，b 为截距，结合两个坐标点的坐标值，就可以求出 k b值，当给定三点的坐标时，可以利用克莱姆法，把原始的三点坐标转换为两个一元二次方程，求解得到斜率 k截距b 。
如果以三维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 z=ax+by+c，其中， a单位向量 $vec{i}$系数，b单位向量 $vec{j}$系数，c截距，它们可以由三维坐标系下三点确定。
例如，如果有三点 $(x_1, y_1, z_1)$，$(x_2, y_2, z_2)$ $(x_3, y_3, z_3)$，那么可以使用下面的克莱姆法求出 a，b，c:$$begin{aligned}&vec{i}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)&vec{j}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)&vec{k}=vec{i}timesvec{j}&(a,b,c)=vec{k}/|vec{k}|end{aligned}$$根据以上参数方程标准式，当有任意两点或三点坐标值时，就可以求出直线上任意一点的坐标。
直线的参数方程标准式在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解直线的各种性质，比如直线和其他特征的位置关系，如两直线的相交、平行和垂直等；可以用一阶和二阶微分求解直线的切线方程，可以用它绘制直线图，求解几何特征，如弧长、斜率等。
另外，参数方程标准式也可以用于求解非线性方程，此时可将非线性方程转换为一阶或二阶参数方程，然后根据参数方程标准式对参数进行求解。
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程空间直线是三维空间中的一条直线，它可以由点和方向向量唯一确定。
在三维空间中，我们通常使用参数方程或者标准方程来表示一条直线。
本文将重点介绍空间直线的标准方程。
一、空间直线的定义。
在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为l(a, b, c)，则直线上任意一点P(x, y, z)的坐标满足以下关系式：(x x0)/a = (y y0)/b = (z z0)/c。
这就是空间直线的标准方程。
二、标准方程的意义。
标准方程可以直观地表示出直线在三维空间中的位置和方向。
通过标准方程，我们可以很容易地求得直线上任意一点的坐标，从而更方便地进行计算和分析。
三、标准方程的推导。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为l(a, b, c)，直线上任意一点P(x, y, z)，则有：(x x0)/a = (y y0)/b = (z z0)/c = t。
其中t为参数。
将参数t代入坐标关系式，得到标准方程：x = x0 + at。
y = y0 + bt。
z = z0 + ct。
这就是空间直线的标准方程。
四、标准方程的应用。
标准方程在三维空间的几何问题中有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以求得直线与坐标轴的交点、直线的方向向量、直线之间的夹角等重要信息，从而解决各种几何问题。
五、总结。
空间直线的标准方程是表示三维空间中直线的重要形式之一，它可以直观地表示出直线的位置和方向，方便我们进行计算和分析。
通过标准方程，我们可以更好地理解和运用空间直线的性质，解决各种几何问题。
在实际应用中，我们可以通过标准方程求得直线上任意一点的坐标，进而解决直线与平面、直线与直线之间的位置关系等问题。
因此，掌握空间直线的标准方程对于理解和运用三维空间的几何知识具有重要意义。
六、参考资料。
1. 《高等数学》。
2. 《线性代数》。
3. 《数学分析》。
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间直线及其方程
z
Π1
Π2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件 • 由两个平面确定一条直线； • 由空间的两点确定一条直线； • 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r 如果一非零向量 s 平行于 r 一条已知直线L，向量 s 称为直
线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ⇐⇒ ( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
x −1 y z +1 例 5 设直线 L : = = ，平面 2 −1 2 Π : x − y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角. r r 解 n = {1,−1, 2}, s = {2,−1, 2},
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ⇒ , y0 − 3 z 0 − 6 = 0
解得 y0 = 0,
r s = {m , n, p}, r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π sin ϕ = cos( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
空间中直线的标准方程
空间中直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常基础且重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
而直线的标准方程是描述直线性质的一种重要方式，它可以帮助我们更好地理解直线的特性和性质。
在本文中，我们将详细介绍空间中直线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下空间中直线的一般方程。
对于空间中的直线来说，一般可以用两点确定，假设直线上有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么直线AB的一般方程可以表示为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
这就是空间中直线的一般方程，它可以帮助我们确定直线在空间中的位置和方向。
但是，这种形式并不够简洁和直观，因此我们需要将其转化为标准方程的形式。
下面我们将介绍如何将直线的一般方程转化为标准方程。
首先，我们可以将直线的一般方程化简为参数方程的形式。
假设直线上的任意一点为P(x, y, z)，那么P点到A、B两点的距离分别为t和1-t（0≤t≤1），则P点的坐标可以表示为：x = x1 + (x2 x1)t。
y = y1 + (y2 y1)t。
z = z1 + (z2 z1)t。
这就是直线的参数方程形式，通过参数t的取值，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。
接下来，我们将利用参数方程来推导直线的标准方程。
我们知道，直线上的任意一点P都满足直线的参数方程，即P(x, y, z) = (x1 + (x2 x1)t, y1 + (y2 y1)t, z1 + (z2 z1)t)。
我们可以将参数t表示为直线的标准方程的形式，即：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
通过对比参数方程和标准方程的形式，我们可以得到直线的标准方程为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
空间直线参数方程转化标准形式_概述及解释说明
空间直线参数方程转化标准形式概述及解释说明1. 引言1.1 概述在几何学中，空间直线是一个基本的概念。
直线的参数方程是描述直线上各点位置关系的一种表达方式。
然而，参数方程可能不够简洁和明确，因此需要将其转化为标准形式来更好地理解和应用。
1.2 文章结构本文将首先介绍空间直线参数方程的定义和表示方法（第2节）。
接着，探讨转化为标准形式的方法及其重要性和应用领域（第3节）。
随后，阐述标准形式的含义、特点以及参数的物理意义和限制条件（第4节）。
最后，详细介绍了实际转换过程中的步骤及相关示例演示与讲解（第5节）。
文章最后通过总结归纳说明了空间直线参数方程转化为标准形式的价值和意义，并指出了研究中存在的问题及后续工作展望。
1.3 目的本文旨在全面理解和解释空间直线参数方程转化为标准形式的过程，并展示其在数学和几何领域中的重要性和应用。
通过对比分析不同方法以及具体示例演示，读者将能够更清晰地理解和应用这一概念。
此外，本文也旨在揭示研究中存在的问题，并为相关领域的进一步研究提供展望和思路。
2. 空间直线参数方程：2.1 定义和表示：空间直线是指在三维坐标系中的一条无限延伸的曲线，由于其在三维空间中存在无数个点，所以需要使用参数方程来表示。
空间直线的参数方程通常用以下形式表示：x = x₀+ aty = y₀+ btz = z₀+ ct其中，(x, y, z) 表示直线上任意一点的坐标，(x₀, y₀, z₀) 是直线上的一个已知点坐标，a、b、c 是参数，t 是一个实数。
2.2 转化为标准形式的方法：将空间直线参数方程转化为标准形式可以更好地描述和分析直线在三维空间中的性质和特点。
标准形式的空间直线方程通常采用以下形式表示：(x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z - z₁) / c其中，(x₁, y₁, z₁) 是直线上的另一个已知点坐标。
要将参数方程转化为标准形式，可以按照以下步骤进行：1）根据两个已知点坐标得到方向向量：用第二个已知点坐标减去第一个已知点坐标得到一个向量（d, e, f），即(d, e, f) = (x₁- x₀, y₁- y₀, z₁- z₀)。
[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
![[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.](https://img.taocdn.com/s3/m/4067d540a45177232f60a273.png)
定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例如， 直线 L1 : s1 = (1,−4, 0), 直线 L2 : s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
例4
求过点 ( −3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和
2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
x
s = ( m , n, p ), M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x0 y − y0 z − z0 直线的对称式方程 = = m n p （点向式方程）
注 : 当方向向量的某个坐标 为零时，比如 m = 0 ,n ≠ 0 ,p ≠ 0时，方程仍然写为 x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = n p 0 ⎧ x − x0 = 0 ⎪ 此时理解为二平面的交 线⎨ y − y0 z − z0 ⎪ n = p ⎩
x −1 y +1 z − 3 L: = = , 相交的直线方程. −5 3 2 L
分析: 关键是求得直线上另外 M • P1 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
第七章第4节空间直线及其方程
( A1 A2 )x (B1 B2 ) y (C1 C2 )z (D1 D2 ) 0
(3)表示通过L的任一平面(除(2)外),
称(3)为通过L的平面束方程. 21
例9
求
直
线L
:
x x
y y
z z
1 1
0在 平 0
2
(s^,n)
2
18
sin
cos
2
cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
1
7
平面方程
x 7y z 5 0
25
例11
一 直 线 过 点A(1,2,1)且 垂 直 直 线L1
:
x 1 3
y z 1 21
又 和 直 线L2
:
x 2
y
z 相 交,求 该直 线 方程.
1
解 : 设待求直线方向向量为S,
则先 S 求S过1且AS点又及垂L直2的于平过面A的点法L2及 向的 量n平, 面的法线
3 x
3
y 1 1 z2 4
即
x 3y 3 0 4x 3z 6 0
作平面束 ( x 3y 3) (4x 3z 6) 0
(1 4)x 3y 3z (3 6 ) 0
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
8-7空间直线及其方程
3
12
解 先求过点 M ，且与已知平面平行的平面方程，
过点 M ，且与已知平面平行的 平面方程为 3x 4 y z 1 0，
M M1
再求已知直线与辅助平面的交点，
x 3t 1
已知直线的参数方程为
y
t
3
，故交点 M1 为
z 2t
(41, 37 , 32).
取 s n1 n 2 1 1 1 {4, 1, 3}，
2 1 3
因为直线的方向向量为 s {4, 1, 3}，
且过点 ( 5 , 2 , 0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z，
4 1 3
x
5 3
4t
参数方程为
y
s 1 3 2 74,2,1，
2 1 10
平面 的法向量为 n 4,2,1，所以 s 与 n 平行，
从而直线 L 垂直于平面 ． 应选 C．
例8 求过点 (1,0,4)，且与平面 3x 4 y z 10 0平行，
又与直线 x 1 y 3 z 相交的直线方程．
z
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 o L
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且与设非直零线向L量过点s M0m( x, n0 ,,
y0 , z0 )，
直线参数方程t的几何意义
直线参数方程t的几何意义
1 几何意义
直线参数方程t是一种数学表达式，描述的是一条直线上所有点的位置。
它很好地表现出空间中的直线，是一种非常实用的空间表达方式。
直线参数方程t的广义形式如下：
t（X,Y）= X * Cosα + Y * Sinα – a
其中X,Y是一个直线上的点的极坐标，a是表达直线的参数，α是一个系数。
该系数α描述的是以原点为基准，水平方向为0°时，直线与水平方向的偏角，也叫斜率角或偏角。
但凡参数t的系数a和α都一定，则t可以表达出特定一条直线，从中可以看出t“=0”这条直线本身。
当
t“>0”或者“<0”时，表示一个空间中到该直线上某一点的距离，当t“=0”时，表示在直线上某一点的位置。
因此，直线参数方程t的几何意义就是用它来描述一条直线以及距离该直线距离的具体数值。
空间中任意一点到该直线距离可由t值来确定，如果t值等于0，就表示该点在该直线上。
这样就可以将直线参数方程t用来描述空间中任意一条直线，该方法非常方便、实用。
高等数学：第十讲 空间直线的参数方程
解 设所求直线的方向向量为 s
n1
s
n1
,
s
n2
,
ij
取
s n1 n2 1
0
k
4 {4,3,1},
2 1 5
所求直线的方程
x3 y2 z5.
4
3
1
n2
• s
谢谢
11ຫໍສະໝຸດ 2与平面 2x y z 6 的交点.
解
令 x2 y3 z4 t
1
1
2
•
x 2 t
y
3
t
z 4 2t
代入平面方程,得
2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0 t 1 再代入
得
x 1, y 2, z 2.
各类直线方程的互换
x x0 y y0 z z0
空间直线的 参数式方程
空间直线的参数式方程
在点向式方程中
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 m t
故
y
y0
nt
t 为参数
•
z z0 p t
——直线的参数式方程
方向向量 s {m, n, p}
求直线与平面的交点时常用参数式方程。
例题讲解
例1. 求直线
x2 y3 z4
m
n
p
可将直线的点向式方程化为一般式方程吗
注
可将点向式方程拆为一般式方程
如点向式方程为 x 1 y 1 z 1
0
1
1
x1 0 可写成一般方程
y 1 z 1 (即y z 0)
例题讲解
例2. 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1 都平行的直线方程.
2-3 空间直线的方程
练习
化直线l的参数方程: x 2 3t , y 3 z 1 t 为标准方程. t为参数
2. 标准式化一般式：
x x0 y y0 z z0 X Y Z
揪 揪 揪 ? ? 求向取点
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
x x0 y y0 z z0 直线的标准方程 X Y Z
以上的直线方程都由直线上一点与方向向量 所确定，都称为点向式方程。
例2. 求通过两点P1 (x1, y1, z1 )和P2 (x2, y2, z2 )的直线 l 的方程。
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
直线l对两个坐标面xOy, yOz的射影平面都是y－2=0.
小结
§1直线的方程
1.直线的参数方程(向量式、坐标式) 点向式 2.直线的标准方程(对称式)(两点式) 3.直线的一般式方程 4.直线的射影式方程(特殊的一般式)
练习
P88 1（1）（2），5（2）
作业
P88 1（3）（4）
4.2 各式直线方程的互化
揪 揪 井 1. 参数式 ? 令公比t
x x0 Xt y y0 Yt z z Zt 0
消去t
标准式
x x0 y y0 z z0 X Y Z
例7 化下述直线的标准方程为参数方程：
x 1 y 2 z 1 . 2 1 0
例11 将下述直线的一般式方程化为参数方程.
5x y z 4 0 x y z 6 0
(1) (2)
解法一 先化为标准方程后令公比t 解法二 取x为t，解关于x的方程组
空间直线的向量参数方程
空间直线的向量参数方程在三维空间中，直线可以用向量参数方程来表示。
向量参数方程是一种使用向量表示几何对象的方法，它是通过给定一个起点并沿着一个方向进行运动来定义一个向量。
在空间直线的向量参数方程中，我们通常会使用一个向量r表示起点坐标，再使用一个向量d表示直线的方向向量。
因此，向量参数方程可以写成如下形式：
r + td（其中t为实数）
其中，r和d均为三维向量，t为实数。
这个方程可以解释为，以r为起点，沿着d的方向向量进行t长度的运动，就可以得到直线上的任意一个点。
例如，对于一个由点A(1,2,3)和方向向量d=(2,-1,4)确定的直线，我们可以写出其向量参数方程为：
r = (1,2,3)
d = (2,-1,4)
r + td = (1,2,3) + t(2,-1,4)
这个方程可以解释为，在空间中，以(1,2,3)为起点，沿着方向向量(2,-1,4)运动t个单位长度，就可以得到直线上的任意一个点。
需要注意的是，向量参数方程所表示的直线是无限延伸的，因此我们需要在其中指定一个有限的范围以表示所
需的部分。
通常我们使用参数t来限制范围，比如t在[0,1]之间时所表示的是起点到终点之间的一条有限线段。
除了向量参数方程之外，空间直线还可以用点向式或者一般式等其他形式进行表示。
不同的表示方法适用于不同的场合，需要我们根据需要来选择最合适的方式。
总的来说，向量参数方程是一种简单而直观的表示空间直线的方法，适用于需要明确直线起点和方向的场合，可以让我们更好地理解和描述空间中的几何对象。
空间直线方程
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
x x
y 2z 2y z
1 1
0 0
的直线方程。
uur
uur
解 由题意有：nr1 r(1,1ur, 2), n2 (1, 2, 1)
r uur uur i j k
s n1 n2 1 1 2
1 2 1
r1 i
2 r 1 2 ur 1 1
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
x 空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
上的投影。
-2
解 公共部分体在xoy坐标面的投-1影为圆面 0
x2 y2 ax2
1 2
y0
2 1.5
1
0.5
公共部分体在xoz坐标面的-02投-1影为
1
圆
x2 z2 a2
4 0 1
2
y0
-2 -1 0
1
2
2 1.5
空间直线方程参数式求方向向量
空间直线方程参数式求方向向量空间直线方程的参数式，有时候就像是在海里捞针，简单但又得掌握一些小技巧。
今天咱们就来聊聊这个话题，顺便带点幽默和日常感。
大家听好了，保证你们学了之后，能在考试中嘚瑟一把！1. 直线的基本概念首先，我们得搞清楚，什么是直线。
你可能会想，直线不就是一条笔直的线吗？没错！但在空间中，直线可不是那么简单。
它在三维空间中，是由无数个点组成的，而这些点就像是排队等候的学生，整齐划一，直来直去的。
1.1 空间直线的方程空间直线的方程有好几种形式，不过我们今天主要说的是参数式。
这种形式就像是给直线加了个特效，把它的动感表现出来。
参数式的方程看起来像这样：。
mathbf{r = mathbf{a + t mathbf{b 。
这里的 (mathbf{r) 是直线上的一个点，(mathbf{a) 是直线上的某个点，(t) 就是我们说的参数，(mathbf{b) 则是方向向量。
1.2 方向向量的概念方向向量，听上去就像是一种神秘的力量，实际上它就是指明了直线的方向。
想象一下，你在广场上指着某个方向，想去喝奶茶，那个手指的方向就是你的方向向量！方向向量的好处在于，给了你直线的“行驶路线”，让你不会走丢。
2. 如何求方向向量那么，如何求出这个方向向量呢？其实，过程并不复杂。
就像做一道简单的菜，先准备好材料，再一步步操作。
我们首先需要知道两个点，比如说点A和点B。
2.1 利用两点求方向向量假设点A的坐标是 ((x_1, y_1, z_1))，点B的坐标是 ((x_2, y_2, z_2))。
那么，方向向量 (mathbf{b) 就可以这样求：。
mathbf{b = mathbf{B mathbf{A = (x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1) 。
这就像是你从点A出发，朝着点B的方向走去，得到了一条清晰的路线图。
是不是很简单呢？2.2 方向向量的性质说到方向向量，还得提一下它的性质。
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空间直线参数方程
空间直线是指在三维空间中由两点确定的一条线，以下通过参数方程来表达。
其参数方程为：
x = x1 + (x2 - x1)t
y = y1 + (y2 - y1)t
z = z1 + (z2 - z1)t
其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是直线上的两个点，t是参数，代表直线上的任意一点。
这个参数方程可以表示三维空间中所有的直线，也可以方便地对其进行计算和操作。
直线的参数方程可以分为以下几个部分来进行理解和应用：
1. 直线段的长度和方向
通过直线上的两个点来确定直线的位置和方向，可以得到直线的长度和方向。
直线上的任意一点可以通过参数方程来表示，根据不同的参数值t，可以得到直线上的不同点，从而确定直线的长度和方向。
2. 直线的距离
通过直线上的一点到某个平面或直线的距离来进行计算。
根据点到平面或点到直线的距离公式，可以将直线的参数方程代入公式中，求解得到直线到某个平面或直线的距离。
3. 直线的交点
当两条直线相交时，可以通过对其参数方程求解得到交点的坐标。
对于两条不平行的直线，可以联立其参数方程，解出参数t和s，进而求解得到交点的坐标。
4. 直线的夹角和垂直
两条直线之间的夹角可以通过将它们的方向向量进行点乘，得到它们之间的夹角。
如果点乘结果为0，则两条直线垂直。
5. 直线的平移和旋转
直线在三维空间中可以进行平移和旋转，这可以通过将直线的参数方程代入平移和旋转矩阵中进行计算得出。
根据平移和旋转矩阵的不同选择，可以得到不同的平移和旋转效果。
综上所述，空间直线的参数方程可以方便地对其进行计算和操作，并且可以应用于多个方面。
对于学习三维空间的学生和从事相关领域的专业人员来说，了解和掌握空间直线参数方程是十分重要的。