(完整版)北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结,推荐文档

a a a a a x - 4 4 a 4 ＝ a 3 a

3

3 - a

⎩ 第二章《实数》知识点梳理及题型解析

一、知识归纳 （一）平方根与开平方

1. 平方根的含义

如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。即 x 2 = a ， x 叫做a 的平方根。 2. 平方根的性质与表示

⑴表示：正数a 的平方根用± 表示， 叫做正平方根，也称为算术平 方根， - 叫做a 的负平方根。

⎧

2 ⎪完全平方类

3. 计算 的方法

⎨非完全平方类 ⎪ ⎪

⎩精确到某位小数

* a > b > 0 ，则 > （二）立方根和开立方

1. 立方根的定义

如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3 a .

2. 立方根的性质

任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方 ⑵一个正数有两个平方根： ± 0 有一个平方根，为 0，记作 ⑶平方与开平方互为逆运算

（根指数 2 省略） = 0 ；负数没有平方根 根是一个负数。０的立方根是０.

3. 开立方与立方

开立方：求一个数的立方根的运算。

开平方：求一个数a 的平方根的运算。

(3

a 3

= a

= a

= -3 a （a 取任何数）

⎧a

= a

⎨- a

a ≥ 0 a < 0

( a )2

= a

a ≥ 0

*０的平方根和立方根都是０本身。

⑷ 的双重非负性

（三）推广： n 次方根

a ≥ 0 且 ≥ 0

例： + （应用较广）

= y 得知 x = 4, y = 0

１. 如果一个数的n 次方（ n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的 n

次方根。

⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。

区分：4 的平方根为

的平方根为

=

２. 正数的偶次方根有两个： ± 偶次方根。

；０的偶次方根为０： = 0 ；负数没有 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。

9 3 7＝ 7

n 0 a 0 a 2 4 - x 4 b

n a

15

3

2

3 3

a

2

（四）实数

1.实数：有理数和无理数统称为实数

实数的分类：

①按属性分类：②按符号分类

2.实数和数轴上的点的对应关系：

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表

（2）大家都知道是一个无理数，那么－1 在哪两个整数之间？

（3）的整数部分为a,小数部分为b，则a= , b=。

（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数. ( )

②无理数都是无限小数. ( )

③带根号的数都是无理数. ( )

④有理数都是实数，实数不都是有理数. ( )

⑤实数都是无理数，无理数都是实数. ( )

⑥实数的绝对值都是非负实数. ( )

⑦有理数都可以表示成分数的形式。( )

3.实数大小比较的方法

示．一、平方法：比较

3 和的大小3

2 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．二、根号法：比较2 和

3 的大小 2 3的画法：画边长为1 的正方形的对角线三、求差法：比较 5 -1 和1 的大小

2

4.实数的三个非负性及性质

(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。

(2)非负数有三种形式

5 -11

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

①尺规可作的无理数，如

②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001……

思考：

（1）－a2 一定是负数吗？－a 一定是正数吗？

①任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a|≥0；

②任何一个实数 a 的平方是非负数，即a 2≥0；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0.

（3）非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

2

2

3

2

2b +c

1 -x

x -1

③几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0.

二、题型解析

题型一、有关概念的识别

【例5】若3 2a - 1 和互为相反数，求a 的值。

b

.

【例1】下面几个数：1.23 ，1.010010001…，，3π，，，

其中，无理数的个数有（）

A、1

B、2

C、3

D、4

【变式1】下列说法中正确的是（）

A.的平方根是±3

B. 1 的立方根是±1

C．=±1 D. 是5 的平方根的相反数

题型二、计算类型题

【例2】设，则下列结论正确的是（）

A. B. C. D.

题型三、实数非负性的应用

【例6】已知实数a、b、c 满足，2|a-1|+ + (c -1 )2 =0，求a+b+c 的值。

2

【例3】计算：【例7】若y =+-1，求x，y 的值。

【例8】已知：=0，求实数a, b 的值

【例4】先化简，再求值：

1

+

1

+

b ，其中a= 5 +1 ，b= 5 -1 ．

a +

b b a(a +b) 2 2

3 1 - 3b