张延《中级宏观经济学》课后习题详解(9第九章 索洛经济增长模型)

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1．假设美国是处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。

根据人口学家统计，21世纪美国的人口增长将接近于0，而20世纪则大约为1%，和20世纪相比，21世纪的人口增长率下降会导致何种结果：（1）处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径。

（2）说明人口增长率下降对产量路径（总产量，而非每工人平均产量）的影响。

答：（1）在没有技术进步的情况下，考虑只有劳动和资本两种投入要素的情况下，现在的生产函数可以简化为：()()()Y t F K t L t =⎡⎤⎣⎦,。

同时假设该生产函数规模报酬不变，定义每个人平均产出Y y L =，每个人平均资本K k L =，每个人平均消费Cc L=，则可求得此时的密集形式的效用函数：()y f k =。

根据()()()K t sY t K t δ=-可得()()k sf k n k δ=-+。

假设经济在初始时处于平衡增长路径上，即满足()()***0k sf k n k δ=-+=，如图9-1所示，所形成的稳态时的人均资本为*k ，当人口增长率由n 减少为1n 时，形成新的稳态人均资本为*1k 。

图9-1 人口增长率降低时的稳态水平处于平衡增长路径上的每个人平均资本随着人口增长率的降低而增加，但在长期人均资本趋于稳定；平均产量；平均消费随着人口增长率的降低而增加，在长期将趋于稳定。

经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径如图9-2所示。

图9-2 人均资本、人均产出和人均消费的变化路径（2）根据每个人平均产量和总产量之间的关系：Y y L =可得***Y y L Y y L∆∆∆=+，在人口增长率没有变化之前，*0y y ∆=，*L n L ∆=，所以***Y y L n Y y L ∆∆∆=+=，人口增长率变为1n 之后，***1111Y y L n n Y y L∆∆∆=+=<，在人口增长率变化的瞬间，资本增长率不变，这时，人均产出的增长率会逐步往下调，总产出的增长率也逐步往下调，一直调整到等于1n 。

2．若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。

现在假定由于战争导致劳动力数量减少，而且假定战争没有影响资本存量。

（1）在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为什么？ （2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动（如果有）之后，每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？为什么？（3）一旦经济重新回到平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、低于还是等于新工人出现前的水平？为什么？答：（1）在0t 时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变持平投资线，根据Kk AL=，0t 时刻，总资本K 不发生变化。

如图9-3所示，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均资本水平k 从*k 下降到*1k ，根据Yy AL=，0t 时刻总产量Y 不发生改变，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均产出水平*y y =下降到1y 。

图9-3 人口增加时对稳态的影响（2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动之后，即在0t 时刻之后，新的人均资本存量*1k k <，此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平投资，即：()()1sf k g k δ>+，0k >。

这时，经济中的储蓄投资额足以抵消折旧与技术进步所需的资本额，每单位有效劳动的平均资本额必然上升，即从1k 朝着*k 增进。

同时，伴随着k 的变化，每单位有效劳动的平均产出也随之上升，即从1y 朝着*y 增进。

（3）当经济重新回到平衡增长路径时，每单位有效劳动的平均产出等于新工人出现前的水平。

由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投资线与工人数量一次性变化前相比，均未发生变化，所以这时每单位有效劳动的平均资本等于新工人出现前的水平。

3．从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素（其中土地等自然资源最受重视）的供给是有限的，最终必然将使经济增长停滞下来。

请在索洛模型的框架下探讨这一观点。

设生产函数为。

设生产函数为：()1Y K AL R βααβ--=，其中R 为土地数量。

假定0α>，0β>且1αβ+<，生产要素按照()()()K t sY t K t δ=-，()()A t gA t =，()()L t nL t =和()0R t =变动。

（1）该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收敛于这样一种情形：Y 、K 、L 、A 和R 均以不变（但不必相同）的速率增长？如果是，其增长率各为多少？如果不是，为什么？（2）根据你的答案，以土地为代表的自然资源存量不变，这一事实是否意味着持续增长是不可能的？请解释。

答：（1）根据题意，可以得到()()A t g A t =，()()L t n L t =和()()0R t R t =，令()()k K t g K t =，根据()()()K t sY t K t δ=-，则有()()k sY t g K t δ=-，根据生产函数可得：()()()k Y t g n g Y t αβ=++只要()()K t K t 保持稳定，()()Y t Y t 必然保持稳定。

再加之()()()()()().k k g Y t K t g Y t K t δδ+=-+，所以()()()1k k k g g n g g δβα=++--⎡⎤⎣⎦。

这样，可得到两个可能的稳定点：k g δ=-和()1k n g g βα+=-。

将()()()1k k k g g n g g δβα=++--⎡⎤⎣⎦，等式两边分别对k g 求一阶导数和二阶导数：()()()()211k k kg g n g g αβδα∂=--++--⎡⎤⎣⎦∂()()22210k k g g α∂=--<∂所以，可以近似推导出k g 曲线。

如图9-4所示，对于k g δ=-来说，在k g δ<-时，0k g <，在()1k n g g βδα+>>--，0k g >，在k g δ=-时0k g =所以k g δ=-不稳定；对于()1k n g g βδα+>>--，0k g >，在()1k n g g βα+<-，0k g <，在()1k n g g βα+=-时，0k g =，所以()1k n g g βα+=-稳定，所以有且只有一个稳定点，()()()()1k Y t n g g n g Y t βαβα+=++=-。

故该经济有唯一且稳定的平衡增长路径，即经济收敛于这样一种情形：Y 、K 、L 、A 和R 均以不变（但不必相同）的速率增长，此时Y 的稳定增长率为()1n g βα+-，K 的稳定增长率为()1n g βα+-，L 的增长率为n ，A 的增长率为g ，R 的增长率为0。

图9-4 人均资本变化率曲线（b ）尽管以土地为代表的自然资源存量不变，但持续增长还是可能的。

人均产量的增长率为：()()()()()().111Y t L t n g g n Y t L t ββαβααα⎛⎫ ⎪ ⎪+---⎡⎤⎝⎭=-=⎢⎥--⎛⎫⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭，只要上式大于0，就能实现就实现经济的持续增长。

虽然土地存量保持不变，但只要技术增长率g 足够快，那么经济仍然可以持续增长，因为随着技术不断进步，土地要素在经济增长中的重要性不断下降。

4．假定生产函数为柯布-道格拉斯函数。

（1）将k *、y *和c *表示为模型的参数s 、n 、δ、g 和α的函数。

（2）k 的黄金律值是多少？（3）为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？ 答：（1）柯布-道格拉斯的生产函数形式为：()1Y K AL αα-=，两边同除以AL 得生产函数的密集形式：y k α=，对于该生产函数()y f k =而言，()()k sf k n g k δ=-++，可得()k sk n g k αδ=-++，在平衡增长路径上，每单位有效劳动的平均实际投资等于每单位有效劳动的平均持平投资，每单位有效劳动的平均资本维持不变，每单位有效的平均产出维持不变，则*0k =即：()**sk n g k αδ=++，可得11*s k n g αδ-⎛⎫= ⎪++⎝⎭，1*sy n g ααδ-⎛⎫= ⎪++⎝⎭。

又因为()1c s y =-，所以()1*1sc s n g ααδ-⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭。

（2）黄金律为每个人有效劳动平均消费最大点，即*0c k∂=∂。

在平衡增长路径上，每单位有效劳动平均消费额用每单位有效劳动平均产出额与每单位有效劳动平均持平投资额的差值得到，即()()***c f k n g k δ=-++。

于是，*0c k∂=∂就可以转化为： ()()*f k n g δ'=++即：1k n g ααδ-=++，11gold k n g ααδ-⎛⎫= ⎪++⎝⎭，此为黄金律k 。

（3）此时，由于黄金律的要求必须同时是平衡增长路径上，所以可得黄金律上的储蓄率的表达式：()*1s n g k αδ-=++，黄金律上的每单位有效劳动平均消费额为：()()()*11**11n g k c n g k n g ααααδδδ---⎡⎤++⎡⎤=-++⨯⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎣⎦故为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率为()()()111s n g n g αααδαδ⨯--⎡⎤=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦。

5．假设某国处于平衡增长路径上，资本在GDP 的份额为30%，产出增长为每年3%，折旧率为4%，资本产出比为2.5。

假设生产函数为柯布-道格拉斯函数，请问：（1）在初始稳定状态下，储蓄率为多少？（2）在初始稳定状态下，资本的边际产量为多少？（3）假设政府提高储蓄率，使经济达到了黄金律水平的资本存量。

黄金律下资本的边际产量为多少？比较黄金律和初始稳定状态的边际产量。

（4）在黄金律下，资本一产出比是多少？（5）要达到黄金律的状态，储蓄率应该是多少？答：柯布-道格拉斯生产函数的形式为y k α=，α表示资本收入占总收入的份额。