八年级数学上册 难点探究专题 动态变化中的三角形全等

难点探究专题：动态变化中的三角形全等
-—以“静”制“动"，不离其宗
错误!类型一动点变化
1．如图,Rt△ABC中，∠C
＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动,则当AP＝_________时，△ABC和△APQ 全等．
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v 的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．
3．(2016·达州中考)△ABC 中,∠BAC＝90°，AB＝AC （∠ABC＝∠ACB＝45°）,点D 为直线BC上一动点（点D不与B，C重合)，以AD为边在AD 右侧作正方形ADEF，连接CF。

【方法11】
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为_______;
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ （将结论直接写在横线上)．
(2）数学思考：如图②，当
点D在线段CB的延长线上时，结论①,②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立,请你写出正确结论再给予证明．
错误!类型二图形变换
4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC,且AB＝CD，连接BD.
(1)试问OE＝OF吗？请说明理由;
（2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变,上述结论是否仍成立?请说明理由．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB,AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
（1）求证:△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
参考答案与解析
1．3或6 解析：∵△ABC 和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QPA或△ABC≌△PQA。

当△ABC≌△QPA时，则有AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时,则有AP＝AC＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.
2．2或3 解析：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等．∵点D为AB的中点,∴BD＝错误!AB
＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，∴v＝2÷1＝2(cm/s); 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B ＝∠CQP.又∵∠B＝∠C，∴∠C ＝∠CQP,∴PQ＝PC,∴PB＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB ＝PC，∴QC＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2（s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s),故答案为2或3.
3．解：(1）①垂直②BC ＝CD＋CF
（2）CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论:CD ＝CF＋BC。

证明如下:
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF。

在△DAB与△FAC中，错误!∴△DAB≌△FAC(SAS），∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC。

∵CD＝DB＋BC,DB＝CF，∴CD＝CF＋BC。

4．解:(1）OE＝OF.理由如下:∵DE⊥AC,BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°。

∵AE ＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE。

在Rt△ABF和Rt△CDE中，错误!∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE。

在△BFO和△DEO 中，错误!∴△BFO≌△DEO(AAS），∴OE ＝OF。

(2)结论依然成立．理由如下：∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF －EF，∴AF＝CE。

同(1)可得△BFO≌△DEO，∴FO＝EO，
即结论依然成立．
5．(1）证明：∵将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°。

∵∠ACB＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，错误!
∴△BCD≌△FCE(SAS)．
(2）解：由（1)可知∠DCE ＝90°，△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E。

∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.。