六年级秋季班 (1)-第1讲整数和整除-教师版

整数和整除
内容分析
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．
知识结构
模块一：整数和整除的意义
知识精讲
1、整数的意义和分类
（1）自然数：零和正整数统称为自然数；
（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
2、整除的意义
整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．
例题解析
【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1 这些数中，整数是，自然数是．．
【例2】关于18 ÷ 3 = 6 ，下列说法正确的是（）
A．18 能整除3 B．3 能被整除18
C．18 能被3 整除D．3 不能整除18
【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是．
○13 和0.3；○212 和4；○35 和15；○40.2 和0.4；○51.4 和14；○65 和0.1．
【例4】下列说法中，正确个数是（）
○1 整数包括负数、整数；
○2 1 是最小的自然数；
○3 a 除以b，商为整数，且余数为0，则a 能被b 乘除；
○4 有最大的自然数，而没有最小的自然数；
○5 最大的正整数和最大的负整数都不存在．
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是．
○17 和11；○29 和2538；○32 和5；○415 和5；
○513 和91；○62 和0.4；○70.3 和6；○81.5 和2.5．
师生总结
1、整除与除尽有什么相同点？
2、整除与除尽有什么不同点？
【例6】有15 位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4 个小组吗？为什么？
【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342 个．小马虎的统计对吗？为什么？
【例8】在1~600 这600 个数中，不能被2 整除的数有多少个？不能被3 整除的数有多少个？既不能被 2 整除，又不能被3 整除的数有多少个？
模块二：因数和倍数
知识精讲
1、因数和倍数
整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约
数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．
例题解析
【例9】在9、12、15、30、45、66 有因数2 的是，是3 的倍数的是．
【例10】既是23 的倍数，又是23 的因数的数是．
【例11】下列说法中不正确的是（）
A．1 是任何正整数的因数，任何正整数都是1 的倍数
B．偶数的因数不一定是偶数
C．奇数的因数一定是奇数
D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数
【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是．
【例13】既是3 的倍数，又是30 的因数的数是．（写出所有符合条件的数）
【例14】一个数即是10 的倍数，又是100 的因数，且不能被4 整除，这个数是．
【例15】已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被 4 整除，那么这个三位数就能被 4 整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．
知识精讲
例题解析
1、能被 2 整除的数
能被 2 整除的数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的整数； 能被 2 整除的整数叫做偶数，不能被 2 整除的整数叫做奇数． 2、奇数偶数的运算性质
奇数± 奇数 = 偶数；奇数± 偶数 = 奇数；偶数± 偶数 = 偶数； 奇数⨯ 奇数 = 奇数；奇数⨯ 偶数 = 偶数；偶数⨯ 偶数 = 偶数． 推广结论：
（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数； （2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数； （3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；
如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数； （4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同； （5）两个整数的和与差的奇偶性相同． 3、能被 5 整除的数
能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的整数． 4、能同时被 2、5 整除的数
能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是 0 的整数．
【例16】 两个连续自然数的差是（
）
A ．奇数
B ．偶数
C ．奇数或偶数
D ．既不是奇数也不是偶数
【例17】 9 个连续自然数的积是
（“奇”或“偶”）数．
模块三：能被 2、5 整除的数
【例18】已知一个三位数13x ．
（1）若这个三位数能被2 整除，求x；
（2）若这个三位数能被5 整除，求x；
（3）若这个三位数能同时被 2 和 5 整除，求x．
【例19】用0、1、2 三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1
【例20】 5 个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？
【例21】1+ 2 + 3 +⋅⋅⋅+ 2015 + 2016 的结果是奇数还是偶数？请说明理由．
【例22】用25、26、27、28、29 这五个数两两相乘，可以得到10 个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？
【例23】13 个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？
【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？
为什么？
【例25】101⨯102⨯103⨯⋅⋅⋅⨯ 998⨯1000 的结果的末尾有多少个零？
【例26】在1，2，3，…，2015，2016 中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．
模块四：能被 3、9 整除的数
知识精讲
1、能被3 整除的数
能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字和是 3 的倍数．
2、能被9 整除的数
能被9 整除的数的特征：各个数位上的数字和是9 的倍数．
例题解析
【例27】要使三位数2□3 能被3 整除，那么□中可以填的数是；
要使三位数2□3 能被9 整除，那么□中可以填的数是．【例28】一个五位数4A97B 能被3 整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有个．
【例29】从2、4、0、5、8 这五个数字中选出3 个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3 和5 整除，那么这样的三位数有个．
【例30】已知一个三位数abc ，试证明：若a +b +c 能被9 整除，则abc 能被9 整除．
随堂检测
【习题1】下列说法正确的是（）
A．一个数至少有两个因数
B．个位上是3、6、9 的整数都能被3 整除
C．一个数既是2 的倍数又是5 的倍数，那么这个数一定是10 的倍数
D．非负整数是正整数
【习题2】50 以内的7 的倍数有个．
【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是．
【习题4】下列说法不正确的个数有（）个
（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；
（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；
（3）任何正整数都能被0 整除；
（4）m ÷n = 3 ，则n 一定能整除m；
（5）三个连续自然数的乘积能被2 整除．
A．1 B．2 C．3 D．4
【习题5】下列各算式中，满足整除的有个，满足除尽的有个．
（1）13 ÷ 5 ；（2）12 ÷ 7 ；（3）2016 ÷ 3 ；（4）0 ÷ 2 ；
（5）24 ÷ 6 ；（6）2.5 ÷ 3 ；（7）2.8 ÷1.4 ；（8）8.8 ÷ 2 ．
【习题6】能整除18 的数有．
【习题7】一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5 整除，求所有符合条件的两位数：．
【习题8】四位数2A9B 能同时被 3 和 5 整除，写出所有满足条件的四位数
【习题9】三个连续的自然数的和一定能被3 整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．
【习题10】小明有12 张卡片，其中3 张卡片上面写着1，3 张卡片上面写着3，3 张卡片上面写着5，3 张卡片上面写着7，小明从中选出5 张卡片，它们上面的数字之和可能等于22 吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．
【作业1】 如果 A 表示一个正整数，
它的最小因数是 ，最小倍数是 ．
【作业2】 731 最少加上 ，就是 5 的倍数．
【作业3】 三位数“15□”是 8 的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有
个
（1）加上(1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 99 +100) ；
（2）减去(1002 ⨯ 3 + 2798⨯ 5) ；
（3）乘以 2；
（4）除以 2．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【作业5】
三个连续的奇数的和是 321，则这三个奇数为
【作业6】 小智买一大箱苹果，共有 84 个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干
次正好拿完，则小智共有
种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）
【作业7】
一个整数的最大因数与最小因数的差为 27，写出这个整数的所有因数： ．
课后作业
【作业8】1⨯2 + 2⨯3+ 3⨯4 +⋅⋅⋅200⨯ 201+ 201⨯202 的结果是．（填奇数或偶数）
【作业9】五位数538AB 能够同时被2、3、5 整除，求A + B 的值．
【作业10】油库中有7 桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12 千克、13 千克、16 千克、17 千克、22 千克、27 千克和32 千克，已知柴油的总重量是机油的 3 倍，汽油只有一桶，请问7 个桶分别装的是什么油？
12 千克：油；13 千克：油；16 千克：油；17 千克：油；
22 千克：油；27 千克：油；32 千克：油．。