2021-2022学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试题及答案解析

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北京市石景山区景山学校2022-2023学年八年级数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．武侯区初中数学分享学习课堂改革正在积极推进，在一次数学测试中，某班的一个共学小组每位同学的成绩（单位：分；满分100分）分别是：92，90，94，88，记这组数据的方差为21S ．将上面这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣2，记这组新数据的方差为22S ，此时有21S ＝22S ，则21S 的值为（） A ．1B ．2C ．4D ．52．甲从A 地到B 地要走m 小时，乙从B 地到A 地要走n 小时，若甲、乙二人同时从A 、B 两地出发，经过几小时相遇( )A ．(m +n )小时B ．2m n+小时 C ．m nnm +小时 D ．mnm n+小时 3．下列多项式： ①222x xy y +- ②222x y xy --+ ③22x xy y ++ ④2114x x ++，其中能用完全平方公式分解因式的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若实数m 、n 满足 02m +=-，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（） A ．12B ．10C ．8或10D ．65．如果2a b +=，那么代数式2b a a a a b ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是（）. A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．一次函数y kx k =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，O 为线段AB 的中点，4cm AB =，1P 、2P 、3P 、4P 到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（）A ．1PB ．2PC ．3PD ．4P9．若ABC 中刚好有2B C ∠=∠ ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且A ∠ 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）． A ．45︒或 36︒B ．72或 36C ．45︒或72︒D ．36︒或72︒或45︒10．点P (－2,3)到x 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．D ．511．甲乙两地铁路线长约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为x 千米/时，根据题意，可得方程（） A ．5005001.5 1.8x x+= B ．5005001.8 1.5x x+=C ．5005001.5 1.8x x-= D ．5005001.8 1.8x x-= 12．已知：将直线y kx b =+沿着y 轴向下平移2个单位长度后得到直线1y x =-，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（） A ．经过第一、二、四象限 B ．与x 轴交于(1,0) C ．与y 轴交于(0,1)D ．y 随x 的增大而减小二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，当∣BC-AC ∣最大时，点C 的坐标是________.14．近似数2.019精确到百分位的结果是_____．15．若点M （m ，﹣1）关于x 轴的对称点是N （2，n ），则m+n 的值是_____． 16．如图，ABC 中，6AB AC ==，12ABC S =△，BD CD =，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，则CF EF +的最小值为______．17．如图，=30∠︒AOB ，点P 在AOB ∠的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，连接CD 交OA 、OB 分别于点E 、F ；若PEF 的周长的为10，则线段=OP _____．18．函数y x 3=-x 的取值范围是 .三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB 、ED 分别垂直于BD ，点B 、D 是垂足，且AB CD =，AC CE =，求证：ACE ∆是直角三角形．20．（8分）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5频数分布表分组划记频数2.0＜x≤3.5正正113.5＜x≤5.0195.0＜x≤6.56.5＜x≤8.08.0＜x≤9.5 2合计50（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？21．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．（10分）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，22．点D从点O出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD 绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）求证：△CDE是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；（2）如图2，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．OC OD之间的地带，现要建一座23．（10分）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路,OC OD的距离相等，且到工厂A和工厂B 货物中转站P，若要求中转站P到两条公路,的距离也相等，请用尺规作出点P的位置．（不要求写做法，只保留作图痕迹）24．（10分）利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B ，C ，D 三点共线，AB BD ⊥于点B ，DE BD ⊥于点D ，AC CE ⊥，且AC CE =．若6AB DE +=，求BD 的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，ABC ∆为等腰直角三角形，直角顶点C 的坐标为(10)，，点A 的坐标为(21)-，．求直线AB 与y 轴的交点坐标．（3）如图③，90ACB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，若点B 坐标为0b (，)，点A 坐标为(0)a ，．则AOBC S =四边形．（只需写出结果，用含a ，b 的式子表示）25．（12分）如图，在ABC ∆中，AB BC =，D 为AC 上一点，且DA DB =，CB CD =，求DBC ∠的度数．26．先化简，再求值．22233111a a a a a a a a --+÷⨯+--，其中2019a = 参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【分析】根据方差公式计算出22S 的值，再根据21S ＝22S ，即可得出21S 的值．【详解】x ＝（2+0+4﹣2）÷4＝1，()()()()222222210141211199544S -+-+-+--+++===，∵21S ＝22S ， ∴21S 的值为5，故选：D ．【点睛】本题考查了方差的实际应用，掌握方差的计算公式是解题的关键． 2、D【解析】假设甲、乙经过x 小时相遇, 令A 、B 距离为a ,甲从A 地到B 地要走m 小时，则甲的速度为am；乙从B 地到A 地要走n 小时，则乙的速度为,a n 根据题目中的等量关系列出方程求解即可.【详解】假设甲、乙经过x 小时相遇,令A 、B 距离为a ,甲从A 地到B 地要走m 小时，则甲的速度为am；乙从B 地到A 地要走n 小时，则乙的速度为,a n根据题意，列方程a ax x a m n +=，解得.mnx m n=+ 故选:D. 【点睛】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是分析题意，找出题目中的等量关系. 3、B【解析】试题分析：①222x xy y +-，不能分解，错误；②2222()x y xy x y --+=--；③22x xy y ++，不能分解，错误；④22111(1)42x x x ++=+．其中能用完全平方公式分解因式的有2个，为②④．故选B ．考点：因式分解-运用公式法．4、B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.5、A【解析】（a－2ba）·aa b-=22a ba-·aa b-=a b a ba+-（）（）·aa b-=a+b=2.故选A.6、A【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可【详解】解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、三、四象限，故A正确.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.7、A【分析】根据轴对称图形概念进行解答即可.【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C 、是轴对称图形，不合题意；D 、是轴对称图形，不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴;轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形. 8、B【分析】根据O 为线段AB 的中点，AB ＝4cm ，得到AO ＝BO ＝2cm ，由P 1、P2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、2.8cm 、1.7cm ，得到OP 2＝2cm ，推出OP 2＝12AB ，根据直角三角形的判定即可得到结论．【详解】∵O 为线段AB 的中点，AB ＝4cm ， ∴AO ＝BO ＝2cm ，∵P 1、P2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、2.8cm 、1.7cm ， ∴OP 2＝2cm ， ∴OP 2＝12AB ， ∴P 1、P2、P 3、P 4四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是P 2，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定定理，熟记直角三角形的判定是解题的关键． 9、C【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解．【详解】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC ，且2B C ∠=∠，情况一：当∠B 是底角时，则另一底角为∠A ，且∠A=∠B=2∠C ，由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，此时可爱角为∠A=72°，情况二：当∠C 是底角，则另一底角为∠A ，且∠B=2∠A=2∠C ，由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴4∠C=180°，即∠C=45°，此时可爱角为∠A=45°，故选：C ．【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°． 10、B【解析】直接利用点的坐标性质得出答案．【详解】点P （-2，1）到x 轴的距离是：1．故选B ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键． 11、C【分析】设原来高铁的平均速度为x 千米/时，则提速后的平均速度为1.8x ，根据题意可得：由甲到乙的行驶时间比原来缩短了1.5小时，列方程即可．【详解】解：设原来火车的平均速度为x 千米/时，则提速后的平均速度为1.8x ，由题意得，5005001.5 1.8x x-=. 故选C. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 12、C【分析】根据直线平移的规律得到平移前的直线解析式，再根据一次函数的性质依次判断选项即可得到答案.【详解】∵直线y kx b =+沿着y 轴向下平移2个单位长度后得到直线1y x =-， ∴原直线解析式为：1y x =-+2=x+1， ∴函数图象经过第一、二、三象限，故A 错误，当y=0时，解得x=-1，图象与x 轴交点坐标为（-1,0），故B 错误；当x=0时，得y=1，图象与y 轴交点坐标为（0,1），故C 正确； ∵k=1>0，∴y 随x 的增大而增大，故D 错误，故选：C. 【点睛】此题考查一次函数的性质，函数图象平移的规律，根据图象的平移规律得到函数的解析式是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、（0，6）【解析】试题解析：当点,,A B C 在同一条直线上时, BC AC -取得最大值. 设直线AB 的解析式为: ,y kx b =+∴可得出方程组430k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得62b k =⎧⎨=-⎩，则这个一次函数的解析式为y =−2x +6，当0x =时， 6.y =故点C 的坐标为：()0,6.故答案为()0,6.14、2.1【分析】根据四舍五入法可以解答本题．【详解】2.019≈2.1(精确到百分位)，故答案为2.1．【点睛】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义． 15、1【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案．【详解】∵点M （m ，﹣1）关于x 轴的对称点是N （2，n ），∴m =2，n =1，∴m +n =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键． 16、4【分析】作BE ⊥AC 垂足为E ，交AD 于F ，此时CF+EF 最小，利用面积法即可求得答案．【详解】作BE ⊥AC 垂足为E ，交AD 于F ，∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC ，∴FB=FC ，∴CF+EF=BF+EF ，∵线段BE 是垂线段，根据垂线段最短，∴点E 、点F 就是所找的点； ∵12ABC S AC BE =， ∴221246ABC S BE AC ⨯===， ∴CF+EF 的最小值4BE ==．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、垂线段最短等知识，掌握应用面积法求高是解决这个问题的关键．17、1【分析】连接OD ，OC ，根据对称得出DOC ∆是等边三角形，进而得出答案．【详解】解：连接OD ，OC ，∵D 、C 分别是点P 关于直线OA 、OB 的对称点，DOF POF ∴∠=∠,COA POA ∠=∠,DO OP OC ==，PF DF =，PE CE =， 260DOC AOB ∴∠=∠=︒，CD=CE+EF+DF=PE+EF+PF =1，DOC ∴∆是等边三角形，10OP OD CD ∴===．故答案为：1．【点睛】本题依据轴对称的性质，得出DOC ∆是等边三角形是解题关键．18、x 3≥．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-1≥0，解得：x≥1．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．三、解答题（共78分）19、见解析【分析】利用HL 证出Rt △ABC ≌Rt △CDE ，从而得出∠ACB=∠CED ，然后根据直角三角形的性质和等量代换可得∠ACB ＋∠ECD=90°，从而求出∠ACE ，最后根据直角三角形的定义即可证明．【详解】证明：∵AB 、ED 分别垂直于BD∴∠ABC=∠CDE=90°在Rt △ABC 和Rt △CDE 中AB CD AC CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △CDE∴∠ACB=∠CED∵∠CED ＋∠ECD=90°∴∠ACB ＋∠ECD=90°∴∠ACE=180°－（∠ACB ＋∠ECD ）=90°∴△ACE 为直角三角形【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和直角三角形的判定，掌握利用HL 判定两个三角形全等、全等三角形的对应角相等和直角三角形的定义是解决此题的关键．20、详见解析【分析】（1）根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0＜x≤6.5与6.5＜x≤8.0的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图．（2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户．（3）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．【详解】解：（1）频数分布表如下：分组划记频数2.0＜x≤3.5正正113.5＜x≤5.0195.0＜x≤6.5136.5＜x≤8.0 58.0＜x≤9.5 2合计50频数分布直方图如下：（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户．（3）要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为5吨，因为月平均用水量不超过5吨的有30户，30÷50=60%． 21、证明见解析【分析】欲证BD=DE ，只需证∠DBE=∠E ，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．【详解】∵△ABC 为等边三角形，BD 是AC 边的中线，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，∠DBE=12∠ABC=30°．∵CD=CE ，∴∠CDE=∠E ．∵∠ACB=60°，且∠ACB 为△CDE 的外角，∴∠CDE+∠E=60°．∴∠CDE=∠E=30°，∴∠DBE=∠DEB=30°，∴BD=DE ．【点睛】考点：1．等边三角形的性质；2．三角形内角和定理；3．等腰三角形的判定与性质．22、 (1)见解析；(2) 存在，当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE ，∠DCA=∠ECB ，由等边三角形的判定可得结论；（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE =60°，DC =EC ，∴△CDE 是等边三角形；（2）解：存在，①当0≤t ＜6s 时，由旋转可知，60ABE ∠=︒，60DBE ∠<︒，若90BED ∠=︒，由(1)可知，△CDE 是等边三角形，∴60DEC ∠=︒，∴60DEC ∠=︒，∴30CEB ∠=︒，∵CEB CDA ∠=∠，∴30CDA ∠=︒，∵60CAB ∠=︒，∴30DCA CDA ∠=∠=︒，∴4DA CA ==，∴OD =OA ﹣DA =6﹣4=2，∴t =2÷1=2s ； ②当6＜t ＜10s 时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；③ t = 10s 时，点D 与点B 重合，∴此时不存在；④ 当t ＞10s 时，由旋转的性质可知， ∠CBE =60°又由（1）知∠CDE =60°，∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4cm ，∴OD =14cm ，∴t =14÷1=14s ；综上所述：当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．23、见解析【分析】结合角平分线的性质及作法以及线段垂直平分线的性质及作法进一步分析画图即可.【详解】如图所示，点P 即为所求：【点睛】本题主要考查了尺规作图的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.24、（1）6；（2）（0,2）；（3）()24b a +【分析】（1）利用AAS 证出△ABC ≌△CDE ，根据全等三角形的性质可得AB=CD ，BC=DE ，再根据BD=CD ＋BC 等量代换即可求出BD ；（2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，利用AAS 证出△ADC ≌△CEB ，根据全等三角形的性质可得AD=CE ，CD=BE ，根据点A 和点C 的坐标即可求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，即可求出直线AB 与y 轴的交点坐标；（3）过点C 作CD ⊥y 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，根据正方形的判定可得四边形OECD 是正方形，然后利用ASA 证出△DCA ≌△ECB ，从而得出DA=EB ，S △DCA =S △ECB ，然后利用正方形的边长相等即可求出a 、b 表示出DA 和正方形的边长OD ，然后根据ECB AOBC AOEC S S S=+四边形四边形即可推出AOBC S 四边形=OECD S 正方形，最后求正方形的面积即可．【详解】解：（1）∵AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°∴∠A ＋∠ACB=90°，∠ECD ＋∠ACB=180°－∠ACE=90°∴∠A=∠ECD在△ABC 和△CDE 中ABC CDE A ECDAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE∴AB=CD ，BC=DE∴BD=CD ＋BC=6AB DE +=（2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于 E∵△ABC 为等腰直角三角形∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB∴∠DAC ＋∠ACD=90°，∠ECB ＋∠ACD=180°－∠ACB=90°∴∠DAC =∠ECB在△ADC 和△CEB 中ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB∴AD=CE ，CD=BE∵点C 的坐标为()1,0，点A 的坐标为()21-，∴CO=1，AD=1，DO=2,∴OE=OC ＋CE= OC ＋AD=2，BE=CD=CO ＋DO=3，∴点B 的坐标为（2,3）设直线AB 的解析式为y=kx ＋b将A 、B 两点的坐标代入，得1232k b k b=-+⎧⎨=+⎩ 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为122y x =+ 当x=0时，解得y=2∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0,2）；（3）过点C 作CD ⊥y 轴于D ，CE ⊥x 轴于E∵OC 平分∠AOB∴CD=CE∴四边形OECD 是正方形∴∠DCE=90°，OD=OE∵∠ACB=90°∴∠DCA ＋∠ACE=∠ECB ＋∠ACE=90°∴∠DCA=∠ECB在△DCA 和△ECB 中DCA ECB CD CECDA CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCA ≌△ECB∴DA=EB ，S △DCA =S △ECB∵点B 坐标为()0b ，，点A 坐标为()0a ， ∴OB=b ，OA=a∵OD=OE∴OA ＋DA=OB －BE即a ＋DA=b －DA∴DA=2b a - ∴OD= OA ＋DA=2b a + ECB AOBC AOEC S S S=+四边形四边形 =DCA AOEC S S +四边形=OECD S 正方形= DA 2 =22b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭=()24b a +故答案为：()24b a +．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、同角的余角相等、求一次函数的解析式和正方形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、同角的余角相等、利用待定系数法求一次函数的解析式和正方形的判定及性质是解决此题的关键．25、72°【分析】根据等腰三角形的“等边对等角”,由AB BC =可得A C ∠=∠，由DA DB =可得A ABD ∠=∠，由CB CD =可得CDB CBD ∠=∠，又根据“三角形的外角等于不相邻两内角和”可以得到CDB A ABD ∠=∠+∠，再由三角形内角和180°，可以求出DBC ∠的度数．【详解】解：AB BC =.A C ∴∠=∠.DA DB =.A ABD ∴∠=∠.CB CD =.CDB CBD ∴∠=∠.180A C ABC ∠+∠+∠=︒.设A C x ∠=∠=.2BDC DBC x ∠=∠=.3180x x x ∴++=︒.36x ∴=︒.故223672x DBC ==⨯︒=∠︒.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理.掌握“等边对等角”以及运用三角形内角和定理和三角形的外角定理是解题的关键.26、1a +，1．【分析】先根据分式的乘除法进行化简，再将a 的值代入求解即可．【详解】原式(3)31(1)(1)(1)1a a a a a a a a a =--+÷⋅++--(3)(1)(1)1(1)31a a a a a a a a a -+-+⋅⋅+--= 1a =+当2019a =时，原式201912020=+=．【点睛】本题考查了分式的乘除法运算与求值，掌握分式的运算法则是解题关键．。

2022-2023学年北京市石景山区名校八年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．9的平方根是（）A ．3±B ．9±C ．3D ．-32．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有1．11 111 1176克，用科学记数法表示是( )A ．7.6×118克B ．7.6×11-7克C ．7.6×11-8克D ．7.6×11-9克3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A ．4,5,6B ．1.5,2，2.5C ．2,3,4D ．1，2， 3 4．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（） A ． B ． C ． D ．5．分式21x x -+的值为0，则x 的值是( ) A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 6．广州市发布2019年上半年空气质量状况，城区PM2.5平均浓度为0.000029克/立方米，0.000029用科学记数法表示为（）A ．2.9510-⨯B ．2.9510⨯C ．2.9610-⨯D ．2.9610⨯7．下列各式成立的是（）A ．93=±B 235=C ()233-=±D ．(233=8．如果等腰三角形两边长为3cm 和7cm ，那么它的周长是（）．A ．13cmB ．17cmC ．13cm 或17cmD ．16cm9．计算16的平方根为（）A ．4±B ．2±C ．4D ．2± 10．三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（） A ．2，3，4 B ．3，4，5 C ．4，5，6 D ．5，6，711．如图，若x 为正整数，则表示()2221441x x x x +-+++的值的点落在（） A ．段① B ．段② C ．段③ D ．段④12．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．22B 15C 32D 8二、填空题（每题4分，共24分）13．某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，设原来每天生产汽车x 辆，则列出的不等式为________．14．某种大米的单价是2.4元/千克，当购买x 千克大米时，花费为y 元，则x 与y 的函数关系式是_______．15．已知112a b -=，则3252a ab b a ab b--+-的值等于________ ． 16．计算：()()3121m m --=_____；17．在Rt ABC ∆中，Rt C ∠=∠，1BC =，2AC =，则AB =________．18．因式分解：()224a b b --=______．三、解答题（共78分）19．（8分）一次函数()0y kx b k =+≠的图像为直线l ．（1）若直线l 与正比例函数2y x =的图像平行，且过点（0，−2），求直线l 的函数表达式；（2）若直线l 过点（3，0），且与两坐标轴围成的三角形面积等于3，求b 的值．20．（8分）（1）求值：（1﹣11a +）÷21a a -，其中a ＝1．（2）解方程：2111x x x =--+2． 21．（8分）已知，点()()()0,1,2,0,4,3A B C ．（1）求ABC ∆的面积；（2）画出ABC ∆关于x 轴的对称图形111A B C ∆．22．（10分）在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是BC 上一点．（1）如图1，AD 平分BAC ∠．求证：AB AC CD =+；（2）如图2，点E 在线段AD 上，且45CED ∠=︒，30BED ∠=︒，求证：2BE AE =．（3）如图3，CD BD =，过B 点作BM AD ⊥交AD 的延长线于点M ，连接CM ，过C 点作CN CM ⊥交AD 于N ，求证：3DN DM =．23．（10分）如图所示，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，（1）用尺规在边BC 上求作一点P ，使PA PB =；(不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AP 当B 为多少度时，AP 平分CAB ∠．24．（10分）如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()1,1A 、()4,2B 、()3,4C .(1)若111A B C ∆与ABC ∆关于y 轴成轴对称，则111A B C ∆三个顶点坐标分别为1A _________，1B ____________，1C ____________；(2)若P 为x 轴上一点，则PA PB +的最小值为____________；(3)计算ABC ∆的面积.25．（12分）已知（x 2+mx+n ）（x+1）的结果中不含x 2项和x 项，求m ，n 的值．26．如图，在△ABC 中，∠A ＞∠B ．分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，过两弧的交点的直线与AB ，BC 分别相交于点D ，E ，连接AE ，若∠B =50°，求∠AEC 的度数．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】利用平方根定义计算即可得到结果．【详解】解：∵（±3）2=9，∴9的平方根是±3，故选A【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．2、C【解析】试题解析：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×11n 形式，其中1≤a ＜11，n 是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为1的数前面1的个数相等，根据以上内容得：1.11 111 1176克=7.6×11-8克，故选C ．3、B【解析】试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可：A 、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；B 、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；C 、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；D 、222133+=≠，不可以构成直角三角形，故本选项错误．故选B ．考点：勾股定理的逆定理．4、B【分析】同位角是“F ”形状的，利用这个判断即可．【详解】解：观察A 、B 、C 、D ，四个答案，A 、C 、D 都是“F”形状的，而B 不是．故选：B【点睛】本题考查基本知识，同位角的判断，关键在于理解同位角的定义．5、B【分析】分式的值为1的条件是：（1）分子为1；（2）分母不为1．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【详解】由式21x x -+的值为1，得 20x -=，且10x +≠．解得2x =．故选：B ．【点睛】此题考查分式值为1，掌握分式值为1的两个条件是解题的关键.6、A【分析】科学记数法表示较小数时的形式为10n a -⨯ ，其中110a ≤<，n 为正整数，只要找到a,n即可．【详解】5=⨯0.000029 2.910-故选：A．【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．7、D【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．=，所以A选项错误；【详解】解：A3B不能合并，所以B选项错误；=，所以C选项错误；C、3D、(23=，所以D选项正确．故选D.【点睛】此题考查了算术平方根和二次根式的性质以及二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．8、B【分析】分两种情况：①底为3cm，腰为7cm时，②底为7cm，腰为3cm时；还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】分两种情况：①底为3cm，腰为7cm时，+>，∵377=++=(cm)；∴等腰三角形的周长37717②底为7cm，腰为3cm时，+<，∵337∴不能构成三角形；综上，等腰三角形的周长为17cm；故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理；解此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．9、B结果．，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10、B【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、32+42=52，故是直角三角形，故此选项符合题意；C、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、52+62≠72，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；故选B.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．11、B【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】解∵2222(2)1(2)1441(2)1x xx x x x x++-=-=+++++1111xx x-=++．又∵x为正整数，∴121xx≤+＜1，故表示22(2)1441xx x x+-+++的值的点落在②．故选B．【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．12、B【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可．【详解】解：A 2=，故本选项错误；BC 2=，故本选项错误；D 、=故选B.【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、()15620x x +>【分析】首先根据题意可得改进生产工艺后，每天生产汽车（x+6）辆，根据关键描述语：现在15天的产量就超过了原来20天的产量列出不等式即可．【详解】解：设原来每天最多能生产x 辆，由题意得：15（x+6）＞20x ，故答案为：()15620x x +>【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住关键描述语．14、 2.4y x =【分析】关系式为：花费=单价×数量，把相关数值代入即可.【详解】大米的单价是2.4元/千克，数量为x 千克，∴y=2.4x ，故答案为：y=2.4x .【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.15、-5 【分析】由112a b-=得到2a b ab -=-，整体代入求值即可得到答案．【详解】解：112a b-=， 2,b a ab ∴-=2,a b ab ∴-=-3()3232522()545a ab b a b ab ab ab a ab b a b ab ab ab------∴==+--+-+ 5 5.ab ab-==- 故答案为： 5.-【点睛】本题考查的是分式的求值，掌握整体代入方法求分式的值是解题的关键．16、2651m m -+【分析】根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：（3m-1）（2m-1）=62m -2m-3m+1=2651m m -+．故答案为：2651m m -+．【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键．17【分析】根据勾股定理直接求出AB 长即可.【详解】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴，【点睛】本题是对勾股定理的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.18、()()3a b a b -+【分析】利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：()()()()()224223a b b a b b a b b a b a b --=-+--=+-．故答案是：()()3a b a b -+．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．三、解答题（共78分）19、（1）y=1x-1；（1）b=1或-1.【分析】（1）因为直线l 与直线2y x =平行，所以k 值相等，即k=1，又因该直线过点（0，−1），所以就有-1=1×0+b ，从而可求出b 的值，于是可解；（1）直线l 与y 轴的交点坐标是（0，b ），与x 轴交于（3，0），然后根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：（1）∵直线l 与直线2y x =平行，∴k=1，∴直线l 即为y=1x+b ．∵直线l 过点（0，−1），∴-1=1×0+b ， ∴b=-1．∴直线l 的解析式为y=1x-1．（1）∵直线l 与y 轴的交点坐标是（0，b ），与x 轴交于（3，0），∴直线l 与两坐标轴围成的三角形面积=132b ⨯⋅． ∴132b ⨯⋅=3，解得b=1或-1.【点睛】本题考查了一次函数的有关计算，两条直线平行问题，直线与两坐标轴围成的三角形面积等，难度不大，关键是掌握两条直线平行时k 值相等及求直线与两坐标轴的交点坐标．20、（1）a ﹣1，99；（3）x ＝3．【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得；（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得．【详解】解：（1）原式＝1a a +•()()11a a a +- ＝a ﹣1，当a ＝1时，原式＝1﹣1＝99；（3）方程两边同乘x ﹣1，得3x ＝1+3（x ﹣1），解得x ＝3，检验：当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是原方程的解．【点睛】本题考查分式的混合运算与解分式方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意解分式方程需要检验．21、（1）4；（2）见解析【分析】（1）先确定出点A 、B 、C 的位置，再连接AC 、CB 、AB ，然后过点C 向x 、y 轴作垂线，垂足为D 、E ，根据ABC ODCE ABO ACE BCD S S S S S =---计算即可；（2）作出点()()()0,1,2,0,4,3A B C 关于x 轴的对称点111A B C 、、，再连接点111A B C 、、即可.【详解】（1）如图，确定出点A 、B 、C 的位置，连接AC 、CB 、AB ，过点C 向x 、y 轴作垂线，垂足为D 、E ，由图可知：ABC ODCE ABO ACE BCD S S S S S =---11134122423222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 12143=---4=；（2）点()()()0,1,2,0,4,3A B C 关于x 轴的对称点为111(4,3)A B C -(0,-1)、(2,0)、，连接点111A B C 、、即为所求，如图所示：【点睛】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确ABC ODCE ABO ACE BCD S S S S S =---是解题的关键．22、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）延长AC 至E ，使CE=CD ，利用AAS 证出△BAD ≌△EAD ，从而得出AB=AE ，即可证出结论；（2）过点C 作CF ⊥EC 交AD 的延长线于点F ，连接BF ，先利用SAS 证出△ACE ≌△BCF ，从而证出AE=BF ，∠CEA=∠CFB ，再证出∠EFB=90°，利用30°所对的直角边是斜边的一半即可证出结论；（3）过点C 作CE ⊥AM 于M ，先利用AAS 证出△CNA ≌△CMB ，即可证出CN=CM ，根据等腰三角形的性质可得NE=EM ，然后利用AAS 证出△CED ≌△BMD ，从而得出ED=DM ，然后根据线段的关系即可得出结论．【详解】解：（1）延长AC 至E ，使CE=CD∵AC BC =，90ACB ∠=︒∴∠ECD=180°－∠ACB=90°，∠B=∠CAB=12（180°－∠ACB ）=45° ∴△CDE 为等腰三角形∴∠E=45°∴∠B=∠E∵AD 平分BAC ∠∴∠BAD=∠EAD在△BAD 和△EAD 中BAD EAD B EAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△EAD∴AB=AE∵AE=AC ＋CE=AC ＋CD∴AB= AC ＋CD（2）过点C 作CF ⊥EC 交AD 的延长线于点F ，连接BF∵∠CED=45°∴△CEF 为等腰直角三角形∴CE=CF ，∠CFE=∠CEF=45°∵△ABC 为等腰直角三角形∴∠ACB=90°，CA=CB ，∴∠ACE ＋∠ECB=90°，∠BCF ＋∠ECB=90°∴∠ACE=∠BCF在△ACE 和△BCF 中CE CF ACE BCF CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCF∴AE=BF ，∠CEA=∠CFB∵∠CEA=180°－∠CEF=135°∴∠CFB=135°∴∠EFB=∠CFB －∠CFE=90°在Rt △EFB 中，∠BEF=30°∴BE=2BF∴BE=2AE（3）过点C 作CE ⊥AM 于M ，∵△ABC 为等腰直角三角形∴∠ACB=90°，CA=CB∵CN ⊥CM ，BM ⊥AM∴∠NCM=90°，∠BMA=90°∴∠ACN+∠NCB=90°，∠BCM ＋∠NCB=90°，∴∠ACN=∠BCM∴∠CNA=∠NCM ＋∠CMN=90°＋∠CMN=∠CMB在△CNA 和△CMB 中CNA CMB ACN BCM CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CNA ≌△CMB∴CN=CM∴△CNM 为等腰直角三角形∴NE=EM在△CED 和△BMD 中CDE BDM CED BMD CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CED ≌△BMD∴ED=DM∴EM=2DM∴NE=2DM∴DN=NE ＋ED=3DM【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．23、（1）详见解析；（2）30°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB 的垂直平分线即可；（2）连接PA ，根据等腰三角形的性质可得PAB B ∠=∠，由角平分线的定义可得PAB PAC ∠=∠，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得∠B 的度数，可得答案．【详解】（1）如图所示：分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E 、F ，作直线EF ，交BC 于点P ，∵EF 为AB 的垂直平分线，∴PA=PB ，∴点P 即为所求．（2）如图，连接AP ，∵PA PB =，∴PAB B ∠=∠，∵AP 是角平分线，∴PAB PAC ∠=∠，∴PAB PAC B ∠=∠=∠，∵90ACB ∠=︒， ∴∠PAC+∠PAB+∠B=90°，∴3∠B=90°，解得：∠B=30°，∴当30B ∠=︒时，AP 平分CAB ∠．【点睛】本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．24、（1）作图见解析，A1（-1，1）、B1（-4，2）、C1（-3，4）；（2）32；（3）7 2 .【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB 的最小值=A′B，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（-1，1）、B1的坐标为（-4，2）、C1的坐标为（-3，4）；（2）如图所示：作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB的最小值=A′B，∵223332+=∴PA+PB的最小值为32（3）△ABC的面积=1117 333112232222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．25、m=﹣1，n=1．【分析】把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为2，可求出m和n 的值．【详解】解：（x2+mx+n）（x+1）=x3+（m+1）x2+（n+m）x+n．又∵结果中不含x2的项和x项，∴m+1=2或n+m=2解得m=﹣1，n=1．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为2．26、∠AEC=100°．【分析】根据作图过程可知直线ED是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，再根据三角形的外角性质即可求得结果．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=50°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．。

2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

6.在下列各数中，不是勾股数的是（）
A 5，12，13B.8，12，15C.8，15，17D.9，40，41
7.根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（）
A. B. C. D. 3个不同的值
8.如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）
18.如图，直线y=kx+k(k≠0)与x轴、y轴分别交于点B、A两点，将点B绕点A逆时针旋转90°得到点P(x，y)，则y与x的函数关系式为_________________________________．
三、解答题(本大题共8小题，共64分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
【答案】
【解析】
【分析】由点A(a，-3)与点B(3，b)关于y轴对称，可得从而可得答案.
【详解】解：点A(a，-3)与点B(3，b)关于y轴对称，
故答案为：
【点睛】本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变”是解本题的关键.
11.等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为______．
只有非负数才有平方根，说法正确，故C不符合题意；
-27的立方根是原说法错误，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平方根，立方根的含义，求解一个数的平方根，立方根，掌握“平方根，立方根的含义”是解本题的关键.
4.下列条件，不能使两个三角形全等的是()
A. 两边一角对应相等B. 两角一边对应相等
C. 直角边和一个锐角对应相等D. 三边对应相等

2022年北京市石景山区八年级数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④2．下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形3．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有A．3种B．4种C．5种D．6种4．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm 5．甲、乙、丙、丁4个人步行路程和花费时间如图所示，按平均值计算，则走得最慢的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒7．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,3)和(2,0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点C 的纵坐标是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8．不等式组x<3{x 1≥的解集在数轴上表示为A ．B ．C ．D ．9．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD （）A ．∠B=∠CB ．AD=AEC ．BD=CED ．BE=CD10．已知直线MN EF ∥，一个含30角的直角三角尺()ABC AB BC >如图叠放在直线MN 上，斜边AC 交EF 于点D ，则1∠的度数为（）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．60︒二、填空题(每小题3分,共24分)11．将直线45y x =-向上平移3个单位，平移后所得直线的表达式为___________．12．分解因式 -2a 2+8ab-8b 2=______________.13183023=____________．14．已知a +b ＝5，ab ＝3，b a a b+＝_____． 15．已知：7a b +=，13ab =，那么 22a ab b -+= ________________．16．等腰三角形的一个外角是140︒，则其底角是1722233+=333388+=44441515+=9a a b b +=（a ，b 均为实数）ab 的值为__________．18．若一个三角形两边长分别是1cm 和2cm ，则第三边的长可能是________cm ．(写出一个符合条件的即可)三、解答题(共66分)19．（10分）计算 132382- ②)2525221- 20．（6分）计算：（1）(1＋)(1－)(1＋)(1－)；（2）(＋)2(－)2；（3）(＋3－)(－3－)．21．（6分）某广告公司为了招聘一名创意策划，准备从专业技能和创新能力两方面进行考核，成绩高者录取．甲、乙、丙三名应聘者的考核成绩以百分制统计如下表．百分制候选人专业技能考核成绩创新能力考核成绩甲90 88乙80 95丙85 90（1）如果公司认为专业技能和创新能力同等重要，则应聘人______将被录取．（2）如果公司认为职员的创新能力比专业技能重要，因此分别赋予它们6和4的权．计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取．22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，写出△A1B1C1三个顶点坐标：A1＝；B1＝；C1＝；（2）画出△A1B1C1，并求△A1B1C1面积．23．（8分）计算或化简：（1）(2x-3y2)-2÷(x-2y)3；（2）22a ba ba b+---；（3）412222xxx x-⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭．24．（8分）先化简式子221121x x x x x x x+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，然后请选取一个你最喜欢的x 值代入求出这个式子的值25．（10分）某校运动会需购买A ，B 两种奖品，若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元．（1）求A 、B 两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式．求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值．26．（10分）如图，∠ABC =60°，∠1=∠1．（1）求∠3的度数；（1）若AD ⊥BC ，AF =6,求DF 的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE是等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，故③正确；作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：∵ E是BD上的点，∴EF=EG，在△BEG和△BEF中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩∴△BEG≌△BEF，∴BG=BF，在△CEG和△AFE中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩∴△CEG≌△AFE，∴ AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；2、C【分析】根据三角形稳定性即可得答案.【详解】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；而四边形不具有稳定性，易于变形.四个选项中，只有C选项是三角形，其他三个选项均为四边形，故答案为C. 【点睛】本题考查的知识点是三角形稳定性.3、D【分析】设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得7x+5y≤1．【详解】解：∵x≥3，y≥3，∴当x=3，y=3时，7×3+5×3=36＜5；当x=3，y=4时，7×3+5×4=41＜1；当x=3，y=5时，7×3+5×5=46＜1；当x=3，y=6时，7×3+5×6=51＞1舍去；当x=4，y=3时，7×4+5×3=43＜1；当x=4，y=4时，7×4+5×4=4＜1；当x=4，y=5时，7×4+5×5=53＞1舍去；当x=5，y=3时，7×5+5×3=1=1．综上所述，共有6种购买方案．故选D．4、B【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．【详解】当7cm为腰时，周长=7+7+3=17cm；当3cm为腰时，因为3+3＜7cm，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm．故选B．5、B【分析】根据图中提供的数据分别求出甲、乙、丙、丁4个人的速度，再比较大小即可．【详解】解：由图可知，甲的速度为：1÷20=0.05（千米/分），乙的速度为：1÷40=0.025（千米/分），丙的速度为：3÷30=0.1（千米/分），丁的速度为4÷30=215（千米/分）， ∵20.10.050.02515＞＞＞， ∴乙的速度最慢，故选B.【点睛】本题主要是对时间路程图的考查，准确根据题意求出速度是解决本题的关键. 6、D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB 的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA 的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC 的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝12∠ACB=30°（角平分线的性质）， ∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．7、C【分析】如解析图作B 点关于y 轴的对称点B′,连接AB′交y 轴一点C 点，根据两点之间线段最短，这时△ABC 的周长最小，求出直线AB′的解析式为2y x =+，所以，直线AB′与y 轴的交点C 的坐标为（0，2）.【详解】作B 点关于y 轴的对称点B′,连接AB′交y 轴一点C 点，如图所示：∵点A 、B 的坐标分别为(1,3)和(2,0)，∴B′的坐标是（-2,0）∴设直线AB′的解析式为y kx b =+，将A 、B′坐标分别代入，302k b k b =+⎧⎨=-+⎩解得12k b =⎧⎨=⎩∴直线AB′的解析式为2y x =+∴点C 的坐标为（0,2）故答案为C.【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式.8、C【详解】不等式组31x x <⎧⎨≥⎩的解集为：1≤x ＜3，表示在数轴上：，故选C.【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.9、D【详解】试题分析：添加A 可以利用ASA 来进行全等判定；添加B 可以利用SAS 来进行判定；添加C 选项可以得出AD=AE ，然后利用SAS 来进行全等判定. 考点：三角形全等的判定10、D【分析】首先根据直角三角形的性质判定∠A=30°，∠ACB=60°，然后根据平行的性质得出∠1=∠ACB.【详解】∵含30角的直角三角尺()ABC AB BC >∴∠A=30°，∠ACB=60°∵MN EF ∥∴∠1=∠ACB=60°故选：D.【点睛】此题主要考查直角三角形以及平行的性质，熟练掌握，即可解题.二、填空题(每小题3分,共24分)11、y=4x-1．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=4x-5向上平移3个单位所得函数的解析式为y=4x-5+3，即y=4x-1．故答案为：y=4x-1．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．12、-2(a-2b)2【详解】解：-2a 2+8ab-8b 2=-2（a 2-4ab+4b 2）=-2(a-2b)2故答案为-2(a-2b)213、===【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，注意最后结果化成最简二次根式，准确计算是解题的关键．14、193．【解析】将a+b=5、ab=3代入原式=()2222a b abb aab ab+-+=，计算可得．【详解】当a+b=5、ab=3时，原式=22 b a ab+=()22 a b abab+-=25233-⨯=19 3.故答案为193．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．15、10【解析】∵（a+b）2 =7 2 =49，∴a 2 -ab+b 2 =（a+b）2 -3ab=49-39=10，故答案为10.16、70°或40°【解析】解：当140°外角为顶角的外角时，则其顶角为：40°，则其底角为：（180°-40°）÷2 =70°，当140°外角为底角的外角时，则其底角为：180°﹣140°=40°．故答案为70°或40°．点睛：本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为180°是解题的关键．17、，…，a b 、的值，从而求得结论．==，=，…，== ∴9a =，29180b =-=，==．故答案为：【点睛】本题主要考查的是二次根式的混合运算以及归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．18、1（1＜x ＜3范围内的数均符合条件）【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求第三边长的范围．即可得出答案．【详解】设第三边长为x ，则由三角形三边关系定理得出：1－1＜x ＜1＋1解得：1＜x ＜3故答案可以为1＜x ＜3范围内的数，比如1．【点睛】本题主要考查三角形三边关系：在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握这一关系是解题的关键．三、解答题(共66分)19、①1122-；②22 【分析】①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：①原式＝3422822--＝1122-； ②原式＝()5-23-22-＝22．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．20、（1）2；（2）1；（3）－9－6. 【解析】根据二次根式的运算规律及平方差公式或完全平方公式进行运算．【详解】(1)原式=(1−3)×(1−2)=2；(2)原式(3)原式【点睛】考查二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键.21、 (1)甲；(2)乙将被录取，理由见解析.【分析】（1）根据平均数的计算公式分别计算出甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案；（2）根据题意先算出按6和4的甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案【详解】(1)甲的平均数是：(90+88)÷2=89(分)，乙的平均数是：(80+95)÷2=87.5(分)，丙的平均数是：(85+90)÷2=87.5(分)， ∵甲的平均成绩最高，∴候选人甲将被录取.故答案为：甲.(2)根据题意得：甲的平均成绩为：(88×6+90×4)÷10=88.8(分)，乙的平均成绩为：(95×6+80×4)÷10=89(分)，丙的平均成绩为：(90×6+85×4)÷10=88(分)，因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取.【点睛】此题考查平均数，解题关键在于掌握算术平均数和加权平均数的定义.22、（1）A1（﹣1，1）；B1（﹣4，2）；C1（﹣3，4）；（2）图详见解析，72．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对称点进而得出答案；（2）利用（1）点的位置画出△A1B1C1，进而利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案．【详解】解：（1）△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，∴A1（﹣1，1）；B1（﹣4，2）；C1（﹣3，4）；故答案为：（﹣1，1）；（﹣4，2）；（﹣3，4）；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求，△A1B1C1面积为：9﹣12×2×3﹣12×3×1﹣12×1×2＝72．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．23、(1)1274xy；（2）22ba b-；（3）14x-+【分析】（1）先利用负整数指数幂和整数指数幂的运算法则运算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；（2）通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式展开合并同类项即可；（3）将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，化除法为乘法运算，约分得到最简结果即可．【详解】（1）(2x -3y 2)-2÷(x -2y )3 ()646314x y x y --=÷ 664314x y +--= 1274x y=；（2）22a b a b a b+--- 22()a b a b a b+=-+- 22()()a b a b a b a b a b++-=--- 2222()a b a b a b+--=- 2222a b a b a b+-+=- 22b a b=-；（3）412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭ 4(2)(2)1222x x x x x -+--=÷-- 242216x x x x --=⋅-- 422(4)(4)x x x x x --=⋅-+- 14x =-+．【点睛】本题主要考查负整数指数幂的运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．24、21(1)x --；x=2时，原式=-1.【分析】先把括号内的分式通分，按照分式减法的运算法则计算，再根据分式除法的运算法则化简，得出最简结果，根据分式有意义的条件选取x 的值，代入求值即可. 【详解】原式＝21(1)(1)x x x x x x ⎡⎤+-⋅⎢⎥--⎣⎦=22221(1)(1)x x x x x x x ⎡⎤--⋅⎢⎥--⎣⎦ =21(1)x x x -⋅- =21(1)x -- ∵221121x x x x x x x+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭有意义， ∴x≠1，x≠0，∴x 可以取0和1之外的任何数，当x ＝2时，原式=211(21)-=--，【点睛】本题考查分式的运算——化简求值，熟练掌握分式的混合原式法则是解题关键，注意分式有意义，分母不为0，这一隐含条件.25、（1）A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）当购买A 种奖品1件，B 种奖品25件时，费用W 最小，最小为2元.【解析】试题分析：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出W 与m 的关系式，并有条件建立不等式组求出x 的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得 3260{5395x y x y +=+=，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W=10m+15（100-m ）=-5m+1500∴()515001150{? 3100m m m -+≤≤-，解得：70≤m≤1．∵m 是整数，∴m=70，71，72，73，74，1．∵W=-5m+1500，∴k=-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m=1时，W 最小=2．∴应买A 种奖品1件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为2元．考点：1.一次函数的应用；2.二元一次方程组的应用；3.一元一次不等式组的应用．26、（1）60°；（1）3【分析】（1）由三角形的外角性质，得到∠3=∠1+∠ABF ，由∠1=∠1，得到∠3=∠ABC ，即可得到答案；（1）由（1）∠3=∠ABC=60°，由AD ⊥BC ，则∠1=∠1=30°，则∠ABF=30°=∠1，则BF=AF=6，即可求出DF 的长度．【详解】解：（1）根据题意，由三角形的外角性质，得∠3=∠1+∠ABF ，∵∠1=∠1，∴∠3=∠1+∠ABF ，∵∠ABC=∠ABF+∠1=60°，∴∠3=60°；（1）由（1）可知，∠3=60°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠1=30°， ∴12DF BF =， ∵∠3=∠1+∠ABF ，∴∠ABF=30°，∵∠1=∠1=30°，∴∠ABF=∠1=30°，∴BF=AF=6，∴1632DF=⨯=．【点睛】本题考查了30°直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行求解．。

2021-2022学年北京市石景山区八年级上学期期末数学复习卷(含答案解析)

2021-2022学年北京市石景山区八年级上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列说法：①在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；②近似数6.25所表示的准确数a的范围是：6.245≤a<6.255；③绝对值不大于4的整数共有7个；④平方根是本身的数是1和0；⑤估计√31−1的值是在4和5之间；⑥如果m表示有理数，那么−32×2−24÷(−83)的值可能是负数．其中正确的有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个2.以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.用长分别为5cm、6cm、7cm的三条线围成三角形的事件是()A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 以上都不是4.使分式x−32x−1有意义的x的取值范围是()A. x>12B. x<12C. x≠3D. x≠125.不改变分式的值，下列各式变形正确的是()A. xy =x+1y+1B. −x+yx−y=−1C. x2−y2x+y =x+y D. (−3xy)2=3x2y26.下列各式是最简二次根式的是()A. √12B. √7C. √20D. √0.37. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD =x ，tan∠ACB =y ，则( )A. x −y 2=3B. 2x −y 2=9C. 3x −y 2=15D. 4x −y 2=218. 如图所示的平面直角坐标系中，点A 坐标为(4,2)，点B 坐标为(1,−3)，在y 轴上有一点P 使PA +PB 的值最小，则点P 坐标为( )A. (2,0)B. (−2,0)C. (0,2)D. (0,−2)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 已知x =12+√3，y =12−√3，若x 的整数部分是m ，y 的小数部分是n ，则5m 2+(x −n)2−y 的值为______ ．10. 已知ab =1，t =a 1−a +b 1−b ，则t 2018=______．11. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 的周长的最小值为______．12. 已知|a|+a =0，则化简|1−a|+√(a −2)2+2a = ______ ．13. 讲台上有6支彩色粉笔，其中白粉笔2支，红粉笔3支，黄粉笔1支．王老师随机从中拿一支，拿到______粉笔可能性最大．(填颜色)14. 如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是______cm ．15.计算20200+(−1)2019−|−cos60°|=______．16.已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF.若BC=8，则四边形AFDE的面积是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.先化简，再求值：，其中x满足x 2−x−1=0．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）18.计算：(1)√18+(√98−√27)(2)(2√3+√6)(2√3−√6)19.计算：aa−1÷a2−aa2−1−1a−120.解方程(1)x+1x−1−1x2−1=1(2)x2x−3+53−2x=4(3)(x−3)2−9=0(4)(2x+1)(x−1)=5(公式法)21.先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=√273−tan45°．22.如图，在棋盘中有A(−1,1)、O(0,0)、B(1,0)三个棋子，若再添加一个棋子A、O、B、P四个棋子成为一个轴对称图形，请在三个图中分别画出三种不同的对称轴分别写出棋子P的坐标．23.按要求画图，并解答问题(1)如图，取BC边的中点D，画射线AD；(2)分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；(3)BE和CF的位置关系是______；通过度量猜想BE和CF的数量关系是______．24.如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC．25.疫情期间，全国各地纷纷向武汉支援医疗物资，从某市到武汉有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快42km/ℎ，由高速公路从某市到武汉所需的时间是由普通公路从该市到武汉所需时间的一半，求该车在普通公路的平均速度．26.如图所示的一块地，其中∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，(1)连接AC，判断△ABC的形状；(2)求这块地的面积S．27.如图，有一块分别均匀的等腰三角形蛋糕(AB=AC且AB≠BC)，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样)．这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．(1)小明很快就想到了一条经过点A分割直线，请你用尺规作图在图1中画出这条“等分积周线(不写画法)．(2)小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D.你觉得小华会成功吗？请说明理由．(3)若AB=BC=5，BC=6，请你通过计算，在图3中找出△ABC不经过顶点的一条“等分积周线”．28.如图1，在▱ABCD中，BE⊥BC交AD于E，且BE=BC，CF平分∠BCD交AB于F，交BE于G，连接EF．(1)若∠A=60°，CG=4，求EF的长；(2)如图2，若BM平分∠ABE交GF于点M，且EF=GB，求证：AE+√2FM=CD．参考答案及解析1.答案：D解析：试题分析：根据已知求出每个答案，根据求出的结果判断即可．∵在1和3之间的无理数有√5−1，∴①错误；∵近似数6.25所表示的准确数a的范围是：6.245≤a<6.255正确，∴②正确；∵绝对值不大于4的整数共有±4，±3，±2，±1，0共9个，∴③错误；∵平方根是本身的数只有0，∴④错误；∵5<√31<6，∴4<√31−1<5∴说√31−1的值是在4和5之间正确，∴⑤正确；)=−9×2+9=−9是负数，和m无关，∴⑥错误；∵−32×2−24÷(−83即正确的有2个，故选D．2.答案：C解析：解：A、是轴对称图案，故此选项错误；B、是轴对称图案，故此选项错误；C、不是轴对称图案，故此选项正确；D、是轴对称图案，故此选项错误；故选：C．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形概念．3.答案：B解析：解：根据三角形的三边关系，5+6=11>7，所以用长为5cm、6cm、7cm的三条线段一定能组成三角形，所以是必然事件．故选B．根据三角形的三边关系定理，判断是否围成三角形即可．本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形了．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．4.答案：D解析：解：由题意得，2x−1≠0，解得，x≠12，故选：D．根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．5.答案：B解析：解：A、xy ≠x+1y+1；B、−x+yx−y=−1；C、x2−y2x+y =(x+y)(x−y)x+y=x−y；D、(−3xy )2=9x2y2；故选：B．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6.答案：B解析：解：A、√12=√22，不符合题意；B、√7为最简二次根式，符合题意；C、√20=2√5，不符合题意；D、√0.3=√3010，不符合题意，故选B利用最简二次根式定义判断即可．此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．7.答案：B解析：解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴EMMC =AQCQ=y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ//EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=12CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12−3−x=9−x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9−x)2，即2x−y2=9，故选：B．过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．8.答案：D解析：解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB=AP+PB′= AB′的值最小，∵点B坐标为(1,−3)，∴B′(−1,−3)，设直线AB′的解析式为：y=kx+b(k≠0)，∵点A坐标为(4,2)，∴{4k +b =2−k +b =−3，解得，{k =1b =−2， ∴直线AB′的解析式为：y =x −2，令x =0，则y =0−2=−2，∴P(0,−2)，故选：D ．作B 点关于y 轴对称点B′点，连接AB′，交y 轴于点P ，则此时AP +PB 最小，进而利用待定系数法求出直线AB′的解析式，便可求得P 点的坐标．此题主要考查了利用轴对称求最短路线，一次函数的图象与性质，待定系数法等知识，得出P 点位置是解题关键．9.答案：19−13√3解析：解：∵x =2+√3=2−√3，y =2−√3=2+√3，∴x 的整数部分m =0，y 的小数部分n =√3−1，∴原式=5×02+(2−√3−√3+1)2−(2+√3)=0+(3−2√3)2−2−√3=21−12√3−2−√3=19−13√3．故答案为：19−13√3．先对x 、y 进行化简，然后确定x 的整数部分m ，y 的小数部分，最后代入求值即可．本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键． 10.答案：1解析：解：t =a(1−b)+b(1−a)(1−a)(1−b)=a−2ab+b 1−a−b+ab ，把ab =1代入得：t =a+b−22−a−b =−1，则原式=1，故答案为：1原式t 通分并利用同分母分式的加法法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.答案：9解析：解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=18，解得AD=6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=6+12×6=6+3=9．故答案为：9．连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12.答案：3解析：解：∵|a|+a=0，∴|a|=−a，∴a≤0，∴|1−a|+√(a−2)2+2a=1−a+2−a+2a=3．故答案为：3．根据绝对值得性质得出a的取值范围，进而取绝对值以及开平方即可．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方以及去绝对值是解题关键．13.答案：红解析：解：拿到白粉笔的概率是26=13，拿到红粉笔的概率是36=12，拿到黄粉笔的概率是16，∵16<13<12，∴拿到红粉笔可能性最大．故答案为：红．先求出各个彩色粉笔的概率，再进行比较，即可得出答案．此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．14.答案：12解析：解：设AF=x，则DF=6−x，由折叠的性质可知：EF=DF=6−x．在Rt△AFE，由勾股定理可知：EF2=AF2+AE2，即(6−x)2=x2+32，解得：x=94．∵∠FEG=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°．又∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠AEF=∠BGE．又∵∠EAF=∠EBG，∴△FAE∽△EBG．∴AFAE =BEBG，即943=3BG．∴BG=4．在Rt△EBG中，由勾股定理可知：EG=√BE2+GB2=√32+42=5．所以△EBG的周长=3+4+5=12cm．设AF=x，则DF=6−x，由折叠的性质可知：EF=DF=6−x，在Rt△AFE，由勾股定理可求得：x=94，然后再证明△FAE∽△EBG，从而可求得BG=4，接下来在Rt△EBG中，由勾股定理可知：EG=5，从而可求得△EBG的周长为12cm．本题主要考查的是折叠的性质、勾股定理、相似三角形的综合应用，利用勾股定理求得AF的长是解题的关键．15.答案：−12解析：解：20200+(−1)2019−|−cos60°|=1−1−1 2=−12．故答案为：−12．先算特殊角的三角函数值、零指数幂、乘方、绝对值，再算加减法即可求解．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、乘方、绝对值等知识点的运算．16.答案：8解析：本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接AD，构造全等三角形是解决问题的关键．连接AD，求出△DAE≌△DBF，得到四边形AFDE的面积=S△ABD=12S△ABC，于是得到结论．解：连接AD，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AB=AC，DB=CD，∴∠DAE=∠BAD=45°，∴∠BAD=∠B=45°，∴AD=BD，∠ADB=90°，在△DAE和△DBF中，{AE=BF∠DAE=∠B=45°AD=BD，∴△DAE≌△DBF(SAS)，∴四边形AFDE的面积=S△ABD=12S△ABC，∵BC=8，∴AD=12BC=4，∴四边形AFDE的面积=S△ABD=12S△ABC=12×12×8×4=8，故答案为：8．17.答案：解：原式====．∵x 2−x−1=0，∴x 2=x+1.∴原式=．解析：本题难度中等．考查分式的混合运算及求分式的值．考查了学生运算的能力及利用降次的方法求分式值的方法，解题时要有整体的思想．18.答案：解：(1)原式=3√2+7√2−3√3=10√2−3√3；(2)原式=12−6=6．解析：(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19.答案：解：原式aa−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=aa−1解析：根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20.答案：解：(1)两边都乘以(x+1)(x−1)，得：(x+1)2−1=(x+1)(x−1)，解得x=−0.5，经检验：x=−0.5是分式方程的解；(2)两边都乘以2x−3，得：x−5=4(2x−3)，解得x=1，经检验：x=1是分式方程的解；(3)∵(x−3)2−9=0，∴(x−3)2=9，则x−3=3或x−3=−3，解得x1=6，x2=0；(4)整理，得：2x2−x−6=0，∵a=2，b=−1，c=−6，∴△=(−1)2−4×2×(−6)=49>0，则x=−b±√b2−4ac2a =1±74，即x1=2，x2=−32．解析：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)两边都乘以(x+1)(x−1)，化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可；(2)两边都乘以2x−3，化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可；(3)利用直接开平方法求解即可；(4)整理为一般式，再利用公式法求解即可．21.答案：解：原式=[x2x−1−(x−1)2x−1]÷(2x−1)21−x=x2−x2+2x−1x−1⋅−(x−1)(2x−1)2=2x−1x−1⋅−(x−1)(2x−1)2=−12x−1，当x=√273−tan45°=2时，原式=−12×2−1=−13．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据立方根和特殊锐角的三角函数值得出x的值，继而代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22.答案：解：如图所示，棋子P的坐标分别为(−1,−1)，(2,1)，(0,−1)，(−1,2).(答案不唯一)解析：根据轴对称图形的定义：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分能重合是轴对称图形，然后添加一颗棋子P即可．此题主要考查了利用轴对称变换作图，关键是掌握轴对称图形的定义．23.答案：BE//CF BE=CF解析：解：(1)如图所示，射线AD即为所求；(2)如图所示BE、CF即为所求；(3)由测量知BE//CF且BE=CF，∵BE⊥AD、CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，BE//CF，又∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BE=CF，故答案为：BE//CF，BE=CF．(1)根据中点的定义和射线的概念作图即可；(2)根据垂线的概念作图即可得；(3)根据平行线的判定解答即可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握中点、射线、垂线的概念、平行线的判定及全等三角形的判定与性质等知识点．24.答案：(1)证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，{∠DFE=∠BFC ∠E=∠CDE=BC，∴△DEF≌△BCF(AAS)；(2)解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°−30°−30°=30°．解析：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．(1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；(2)在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．25.答案：解：设该车在普通公路的平均速度为x km/ℎ，则该车在高速公路的平均速度为(x+42)km/ℎ，依题意，得：2×480x+42=600x，解得：x=70，经检验，x=70是原方程的解，且符合题意．答：该车在普通公路的平均速度为70km/ℎ．解析：设该车在普通公路的平均速度为xkm/ℎ，则该车在高速公路的平均速度为(x+42)km/ℎ，根据时间=路程÷速度结合该车由高速公路从某市到武汉所需的时间是由普通公路从该市到武汉所需时间的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26.答案：解：(1)△ABC是直角三角形；理由如下：连接AC，如图所示：∵∠ADC=90°，由勾股定理得：AC=√CD2+AD2=√122+92=15(m)，又∵AC2+BC2=152+362=392=AB2，∴△ABC是直角三角形；(2)这块地的面积S=S△ABC−S△ACD=12×15×36−12×12×9=216(m)2，即这块地的面积是216平方米．解析：(1)连接AC，利用勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理即可得出结论；(2)这块地的面积S=△ABC的面积−△ACD的面积，即可得出结果．此题主要考查了直角三角形面积公式、勾股定理、以及勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键关键．27.答案：解：(1)作线段BC的中垂线AM，如图1所示．∵AM是BC的中垂线，∴BM=CM，∴S△ABM=S△ACM，∵AB=AC，∴AB+BM=AC+CM．∴直线AM是△ABC的等分积周线．(2)小华不会成功．若直线CD平分△ABC的面积，过点C作CE⊥AB于点E，如图2所示．由S△ACD=S△BCD，得12⋅AD⋅CE=12⋅BD⋅CE，于是BD=AD．∵AC≠BC，∴AD+AC≠BD+BC，所以小华不会成功．(3)设直线EF与AB、BC分别交于点E、F，直线EF符合条件，如图3所示．作EG⊥BC于点G，AH⊥BC于点H，得BH=CH=3，AH=4，S△ABC=12．设BF=x，则BE=12(AB+AC+BC)−BF=8−x．∵EG//AH，∴△BEG∽△BAH，∴EGAH =BEAB，∴EG4=8−x5，于是EG=45(8−x)∵S△EBF=12⋅S△ABC，∴12⋅x⋅45(8−x)=6解得x=3(舍去，因此时EF过点A)或x=5∴BF=5，BE=3．∴直线EF符合条件．解析：(1)作线段BC的中垂线即可．(2)小华不会成功．如图2所示．假设直线CD平分△ABC的面积，过点C作CE⊥AB于点E，再证明AD+ AC≠BD+BC即可．(3)如图3所示，设直线EF与AB、BC分别交于点E、F，直线EF符合条件，作EG⊥BC于点G，AH⊥BC于点H，得BH=CH=3，AH=4，S△ABC=12，设BF=x，则BE=12(AB+AC+BC)−BF=8−x，由△BEG∽△BAH，得EGAH =BEAB，求出EG，利用面积列出方程即可解决问题．本题看成三角形综合题、尺规作图、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，学会添加常用辅助线构造相似三角形，属于中考压轴题．28.答案：解(1)如图1，过点E作ET⊥AB于T，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A=60°，AD//BC∴∠ABC=180°−∠A=120°，∵BE⊥BC∴∠CBG=∠BEA=90°，∠ABE=∠ABC−∠CBG=30°∵CF平分∠BCD∴∠BCG=30°，∵CG=4，∴BG=CG⋅sin∠BCG=4sin30°=2，BC=CG⋅cos∠BCG=4cos30°=2√3∵∠BFC=180°−∠ABC−∠BCG=180°−120°−30°=30°∴∠BFC=∠BCG∴BF=BC=2√3∵ET⊥AB∴∠BTE=90°∴ET=BE⋅sin∠ABE=2√3sin30°=√3，BT=BEcos∠ABE=2√3cos30°=3∴FT=BF−BT=2√3−3∴EF=√FT2+ET2=√(2√3−3)2+(√3)2=3√2−√6；(2)如图2，连接EM交AB于N，∵BF=BC=BE，BM平分∠ABE∴∠EBM=∠FBM，BM=BM∴△EBM≌△FBM(SAS)∴∠BEM=∠BFC=∠BCG，ME=MF∵∠BGC=∠EGM∴∠EMG=∠CBG=90°∴△EMF是等腰直角三角形∴EF=√2FM∵EF=GB∴BG=√2FM易证△BFG≌△BEN(ASA)∴BN=BG=√2FM，∠BEM=∠BFC∵∠AEN+∠BEM=∠ANE+∠BFC=90°∴∠AEN=∠ANE∴AE=AN∴AE+√2FM=AN+BN=AB∵▱ABCD∴AB=CD∴AE+√2FM=CD．解析：(1)过点E作ET⊥AB于T，由平行四边形性质、角平分线定义和解直角三角形可得BF=BC= 2√3，ET=BE⋅sin∠ABE=2√3sin30°=√3，BT=BEcos∠ABE=2√3cos30°=3，再根据勾股定理可得EF=√FT2+ET2=√(2√3−3)2+(√3)2=3√2−√6；(2)连接EM交AB于N，先证明△EBM≌△FBM(SAS)，从而得到△EMF是等腰直角三角形，即EF=√2FM，再证明△BFG≌△BEN(ASA)，可得BN=BG=√2FM，再证明AE=AN，即可得AE+√2FM= AN+BN=AB=CD．本题考查了平行四边形性质，直角三角形性质，勾股定理，角平分线，等腰直角三角形判定和性质等，证明BN=BG，AE=AN是本题关键．。

4石景山区八上数学期末试题

石景山区2021—2021学年第一学期初二期末试卷数学学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，27道小题．满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．4的平方根是（）A ．±2B ．2C ．-2D ．162．下列图形中是轴对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．3．下列事件中，属于随机事件的是（）A ．袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球B ．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除C ．用长度分别是2cm ，3cm ，6cm 的细木条首尾相连组成一个三角形D ．任意买一张电影票，座位号是偶数4．若代数式1x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x >B ．x ≥1C ．1x ≠D ．x ≤15．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（） A ．16B ．12C ．13D ．236. 在719，49-，π，2.016016016…，39这五个数中，无理数有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．47．化简2111x x x+--的结果是（） A ．1x +B ．11x + C ．1x -D ．1xx - 8．如图，Rt △ACB 中，90ACB ∠=︒，15A ∠=︒，AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，与AB 交于点E ，连接BD .若14AD =，则BC 的长为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．如图1，已知三角形纸片ABC ，AB AC =，65C ∠=︒．将其折叠，如图2，使点A 与点B 重合，折痕为ED ，点E ，D 分别在AB ，AC 上，那么DBC ∠ 的度数为（） A ．10° B ．15° C ．20° D ．25°10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（） A ．76 B ．72 C ．68 D ．52D ECC AB (A )BA 第9题图1 图2第8题图DEBAC第10题图1 图2CB CBA第15题图AC B二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式293x x -+的值为0，则x = ．12．若实数a ，b 满足2(2)40a b ++-=，则2a b= ． 13．如图，BC EF =，1F ∠=∠.请你添加一个适当的条件，使得△ABC ≌△DEF （只需填一个答案即可）． 14．计算：42222n n mm m n-÷⋅= ． 15．我国传统数学重要著作《九章算术》内容十分丰富，全书采用问其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：折者高几何？” 译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远.问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有尺高.16．对于两个非零的实数a ，b , 定义运算※如下：a ※11b b a=-.例如：3※41114312=-=.若2※(21)1x -=，则x 的值为___________．三、解答题（本题共52分，第17题3分；第18题4分；第19-27题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：231258()2---+-．18．计算：11842(21)8---． 19．解方程：21221933x x x -=--+．第13题图1D FA BCE20．已知：如图，点A ，D ，C 在同一条直线上，AB ∥EC ，AC CE =，AB CD =．求证：1B ∠=∠．21．先化简，再求值：22211121xx x x x -÷+--+，其中2x =．22．如图，AB ∥CD ，120ACD ∠=︒.（1）作CAB ∠的角平分线AP ，交CD 于点M .（要求：尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法）（2）AMC ∠= ︒.23．中秋节期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成三个面积相等的扇形，三个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元” 的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场每消费满100元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费240元，转了两次转盘．（1）该顾客最多可得元购物券；（2）用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于40元的概率．24．如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）. （1）在图1中，画出△ABC 关于直线l 对称的△'''A B C ；（2）在图2中，点D ，E 为格点（小正方形的顶点），则线段DE = ；若点F 也是格点且使得△DEF 是等腰三角形，标出所有的点F .25．列方程解应用题：为治理雾霾保护环境，某地政府计划对辖区内60km 2的土地进行绿化.为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务. 求原计划平均每月的绿化面积.26．已知：△ABC 中，30A ∠=︒，6AB =，23BC =. 求：AC 的长.27．等边△ABC 的边长为4，D 是射线BC 上任一点，线段AD 绕点D 顺时针旋转 60︒得到线段DE ，连接CE .（1）当点D 是BC 的中点时，如图1，判断线段BD 与CE 的数量关系，请直接写出结论：（不必证明）；（2）当点D 是BC 边上任一点时，如图2，请用等式表示线段AB ，CE ，CD之间的数量关系，并证明；（3）当点D 是BC 延长线上一点且1CD =时，如图3，求线段CE 的长.EDAC B EAC BDEABCD图1 图2 图3——————————————草稿纸——————————————。

2022-2023学年北京市石景山区数学八年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了41.4元，而两个月前买同重量的这两样菜只要36元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，设两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为x 元/斤，y 元/斤，则可列方程为（）A ．()()2362110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩B ．()()241.42110%120%36x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩C ．()()241.4110%2120%36x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩D ．()()236110%2120%41.4x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩ 2．下列各数中，是无理数的是（）．A ．4B ．1-C ．πD ．0 3．计算：21y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（） A ．2y y -+14 B ．2y y ++14 C ．2y y 2-+14 D ．2y y 2++144．甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80km /h 的速度行驶1h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km /h ；②m ＝160；③点H 的坐标是（7，80）；④n ＝7.1．其中说法正确的有（）5．等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则它的周长为（）A ．16cmB ．17cmC ．20cmD ．16cm 或20cm6．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为PQ ，则线段BQ 的长度为（）A ．53B ．52C ．4D ．57．某市为了处理污水需要铺设一条长为2000米的管道，实际施工时，×××××××，设原计划每天铺设管道x 米，则可列方程200020001010x x -=+，根据此情景，题目中的“×××××××”表示所丢失的条件，这一条件为（）A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期10天完成任务B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期10天完成任务C ．每天比原计划少铺设10米，结果提前10天完成任务D ．每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成任务8．若a=10，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是（）A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H 9．解分式方程11322x x x-=---时，去分母变形正确的是（） A ．113(2)x x -+=+- B ．113(2)x x -+=---C ．113(2)x x -=---D ．113(2)x x -=-- 10．若a ＞b ，则下列结论不一定．．．成立的是（） A ．a +2＞b +2 B ．-3a ＜-3b C ．a 2＞b 2 D ．1-4a ＜1-4b二、填空题(每小题3分,共24分)11．若()()21||2x x --＝1．则x ＝___．12．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=2，则该等腰三角形的底角为________．14．比较大小：10_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）15．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x__y（用“＞”或“＜”填空）．1号2号16．如果a+b＝3，ab＝4，那么a2+b2的值是_．17．如图，∠BAC＝30°，AB＝4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是_____．18．如图，等腰△ABC中，AB=AC，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠DBC=15°，则∠A的度数是______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图所示，四边形ABCD中AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由20．（6分）在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点()0A a ，点，()0B b ，，且a b 、满足24420a a a b -++-=，点P 在直线AB 的左侧，且45APB ∠=．（1）求a b 、的值；（2）若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；（3）若ABP ∆为直角三角形，求点P 的坐标．22．（8分）如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ．（2）写出AB +AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．23．（8分）老师在黑板上写出三个算式：225382-=⨯，229587-=⨯，22153827-=⨯，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯，…（1）请你再写出一个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字表述上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．24．（8分）已知：等边三角形ABC ∆，BC 交y 轴于点D ，A a （，0），B b （，0），且a 、b 满足26910a a b +++-=．（1）如图，求A 、B 的坐标及CD 的长；（2）如图，点P 是AB 延长线上一点，点E 是CP 右侧一点，CP PE =，且60CPE ∠=︒．连接EB ．求证：直线EB 必过点D 关于x 轴对称的对称点；（3）如图，若点M 在CA 延长线上，点N 在AB 延长线上，且CMD DNA ∠=∠，求AN AM -的值．25．（10分）计算或因式分解：（1）计算：312127()932+÷-+-；（2）因式分解：(2)(4)1x x --+;（3）计算：232652(2)5(10)(2)x y xy x y x y xy xy •÷-+-÷．26．（10分）如图，在△ABC 中，AC ＝21，BC ＝13，D 是AC 边上一点，BD ＝12，AD ＝1．(1)求证：BD ⊥AC ．(2)若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据题目中设的两个月前的萝卜和排骨的单价，先列出两个月前的式子236x y +=，再根据降价和涨价列出现在的式子()()2110%120%41.4x y ⨯-++=，得到方程组．现在萝卜的价格下降了10%，就是()110%x -，排骨的价格上涨了20%，就是()120%y +，那么这次买菜的情况列式：()()2110%120%41.4x y ⨯-++=，∴方程组可以列为()()2362110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩．故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组． 2、C【分析】根据无理数的定义解答．＝2，是有理数；－1，0是有理数，π是无理数，故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3、A【解析】利用完全平方公式()222a 2b a ab b ±=±+化简即可求出值．【详解】解：原式＝y 2﹣y+14，故选A ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4、B【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．【详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km ，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km ，则乙的速度为120km/h ．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B ，用时4小时，每小时比甲快40km ，则此时甲乙距离4×40=160km ，则m=160，②正确；当乙在B 休息1h 时，甲前进80km ，则H 点坐标为（7，80），③正确；n=6+1+0.4=7.4，④错误．故选B．【点睛】本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．5、C【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．6、C【分析】设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【详解】设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，解得：x=1．故线段BQ的长为1．故选：C．【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．7、D【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率．那么2000x÷表示原来的工作时间，那么()200010x÷+就表示现在的工作时间，10就代表原计划比现在多的时间．【详解】解：原计划每天铺设管道x米，那么10x+就应该是实际每天比原计划多铺了10米，而用200020001010x x-=+则表示用原计划的时间−实际用的时间＝10天，那么就说明每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成任务．故选：D．本题主要考查的是分式方程的实际应用，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．8、C【解析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．∴3＜4，∵，∴3＜a＜4，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜4是解题关键．9、C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．【详解】解：去分母得：1-x=-1-3（x-2），故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10、C【分析】根据不等式的性质逐项判断即得答案．【详解】解：A、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项结论成立，不符合题意；B、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，故本选项结论成立，不符合题意；C、若a＞b≥0，则a2＞b2，若0≥a＞b，则a2＜b2，故本选项结论不一定成立，符合题意；D、若a＞b，则1－4a＜1－4b，故本选项结论成立，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，属于常考题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．【详解】解：∵()()21||21x xx--=+，∴x2﹣1＝1且x+1≠1，或|x|﹣2＝1，且x+1≠1，解得：x＝1或x＝±2．故答案为：1或±2．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．12、十【分析】设这个多边形有n条边，则其内角和为()2180,n-︒外角和为360︒，再根据题意列方程可得答案．【详解】解：设这个多边形有n条边，则其内角和为()2180,n-︒外角和为360︒，()21804360n∴-︒=⨯︒28,n∴-=10,n∴=故答案为：十．【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元一次方程解决问题是解题的关键．13、45º【分析】根据特征值为2设设底角为x︒，则顶角为2x︒，再根据三角形内角和定理列方程求解即可.【详解】解：∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值=2，∴设底角为x︒，则顶角为2x︒，∴x︒+x︒+2x︒=180︒，∴x︒=45︒，∴底角为45︒，故答案为：45︒.【点睛】列方程是解此题的关键.14、＞．【解析】先求出【详解】∵12=9＜10，＞1，故答案为＞．【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．15、＜【解析】如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜y ，故答案为＜．16、1．【分析】直接利用已知结合完全平方公式计算得出答案．【详解】∵a +b ＝3，ab ＝4，∴（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝9，∴a 2+b 2＝9﹣2×4＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用公式是解题关键．17、1【分析】先根据垂线段最短得出，当BP AC ⊥时，线段BP 的值最小，再根据直角三角形的性质（直角三角形中，30所对直角边等于斜边的一半）即可得出答案．【详解】由垂线段最短得：当BP AC ⊥时，线段BP 的值最小30,4BAC AB ∠=︒=122BP AB ∴== 故答案为：1．【点睛】本题考查了垂直定理：垂线段最短、直角三角形的性质，根据垂线段最短得出线段BP 最小时BP 的位置是解题关键．18、50°【分析】设∠A=x ，根据折叠的性质可得∠DBA=∠A=x ，然后根据角的关系和三角形外角的性质即可求出∠ABC和∠BDC，然后根据等边对等角即可求出∠C，最后根据三角形的内角和定理列出方程即可求出结论．【详解】解：设∠A=x，由折叠的性质可得∠DBA=∠A=x∴∠ABC=∠DBC ＋∠DBA=15°＋x，∠BDC=∠DBA＋∠A=2x∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=15°＋x∵∠C＋∠DBC＋∠BDC=180°∴15＋x＋15＋2x=180解得：x=50即∠A=50°故答案为：50°．【点睛】此题考查的是折叠的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握折叠的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理和方程思想是解决此题的关键．三、解答题(共66分)19、证△ABE≌△ADF（AD=AB、AE=AF）【分析】由题中条件AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，可得AE=AF，由AB=AD，可由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF，即可得证．【详解】图中△ADF和△ABE全等．∵AC平分∠BCD，AF⊥CD，AE⊥CE；∴AF=AE，∠AFD=∠AEB=90°在Rt△ADF与Rt△ABE中，AB=AD，AF=AE∴Rt△ADF≌Rt△ABE．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理HL，判定定理即“斜边，直角边判定定理”判定直角三角形全等．注意应用．20、（1）见解析；（2）CD AD+BD，理由见解析；（3）CD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝32AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH ＝12AD ，∴DH 2AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD AD +BD ，故答案为：CD +BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.21、（1）a ＝2，b ＝1；（2）P （1，0）；（3）P （﹣1，2）或（﹣2，﹣2）．【分析】（1）将244a a -+利用完全平方公式变形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a 、b 的值；（2）由b 的值得到OB=1，根据45APB ∠=得到OP=OB=1，即可得到点P 的坐标；（3）由45APB ∠=可分两种情况求使ABP ∆为直角三角形，当∠ABP ＝90°时，当∠BAP ＝90°时，利用等腰三角形的性质证明三角形全等，由此得到点P 的坐标.【详解】（1）∵a 2-1a+1+|2a-b|＝0，∴（a-2）2+|2a-b|＝0，∴a ＝2，b ＝1．（2）由（1）知，b ＝1，∴B （0，1）．∴OB ＝1．∵点P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB ＝15°∴OP ＝OB ＝1，∴P （1，0）．（3）由（1）知 a ＝﹣2，b ＝1，∴A （2,0），B （0,1）∴OA ＝2，OB ＝1，∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝15°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝15°，∴∠APB＝∠BAP＝15°.∴AB＝PB .过点P 作PC⊥OB 于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90 °，∴∠ABO＝∠BPC .在△AOB 和△BCP 中，AOB BCP90ABO BPCAB PB︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△BCP(AAS) .∴PC＝OB＝1，BC＝OA＝2 .∴OC＝OB﹣BC＝2.∴P(-1，2)②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA.∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝1.∴OD ＝AD ﹣OA ＝2.∴P'（﹣2，-2）.即：满足条件的点P （﹣1，2）或（﹣2，﹣2）.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定及性质，分类讨论直角三角形形成的点的坐标.22、（1）详见解析；（2）AB +AC ＝2AE ，理由详见解析.【分析】（1）根据相“HL ”定理得出△BDE ≌△CDF ，故可得出DE ＝DF ，所以AD 平分∠BAC ；（2）由（1）中△BDE ≌△CDE 可知BE ＝CF ，AD 平分∠BAC ，故可得出△AED ≌△AFD ，所以AE ＝AF ，故AB +AC ＝AE ﹣BE +AF +CF ＝AE +AE ＝2AE ．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠E ＝∠DFC ＝90°，∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形，∵在Rt △BDE 与Rt △CDF 中,,,BD CD BE CF =⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ；（2）AB +AC ＝2AE ．理由：∵BE ＝CF ，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵∠E ＝∠AFD ＝90°，∴∠ADE ＝∠ADF ，在△AED 与△AFD 中，,,,EAD CAD AD AD ADE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AED ≌△AFD ，∴AE ＝AF ，∴AB +AC ＝AE ﹣BE +AF +CF ＝AE +AE ＝2AE ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．23、（1）152-92=8×18，132-92=8×11；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）证明见解析．【分析】（1）根据算式的规律可见：左边是两个奇数的平方差，右边是8的倍数；可写出相同规律的算式；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）可设任意两个奇数为：2n+1，2m+1（其中n 、m 为整数）计算即可．【详解】解：（1）通过对老师和王华算式的观察，可以知道，左边是奇数的平方差，右边是8的倍数，∴152-92=8×18，132-92=8×11，…；（2）上述规律可用文字描述为：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）证明：设m 、n 为整数，则任意两个奇数可表示为2m+1和2n+1，∴（2m+1）2-（2n+1）2=（2m-2n ）（2m+2n+2）=4（m-n ）（m+n+1），又∵①当m 、n 同奇数或同偶数时；m-n 一定是偶数，设m-n=2a ；②m 、n 一奇数一偶数；m+n+1一定是偶数，设m+n+1=2a∴（2m+1）2-（2n+1）2=8a （m+n+1），而a （m+n+1）是整数，∴任意两个奇数的平方差等于8的倍数成立．【点睛】本题考查了一个数学规律，即任意两个奇数的平方差等于8的倍数．通过本题的学习可见数字世界的奇妙变换，很有意义．24、（1）A （-3,0），B （1,0），CD=2；（2）见解析；（3）6.【分析】（1）首先利用绝对值的非负性得出3,1a b =-=，即可得出点A 、B 的坐标；得出AB 、BC ，然后由∠CBA=60°得出∠ODB=30°，进而得出BD ，得出CD ；（2）首先判定△CEP 、△ABC 为等边三角形，进而判定△CBE ≌△CAP ，然后利用角和边的关系得出DO=OF ，即可判定点D 、F 关于x 轴对称，直线EB 必过点D 关于x 轴对称的对称点；（3）作DI ∥AB ，判定△CDI 为等边三角形，然后判定△MDI ≌△NDB ，得出NB=MI ，进而得出AN AM -的值.【详解】（1）∵26910a a b +++-=，即()2310a b ++-=∴30,10a b +=-=∴3,1a b =-=∴A （-3,0），B （1,0），∴AB=BC=4，∵∠CBA=60°∴∠ODB=30°∴BD=2OB=2∴CD=BC-BD=4-2=2；（2）延长EB 交y 轴于F ，连接CE ，如图所示：∵CP PE =，60CPE ∠=︒∴△CEP 为等边三角形∴∠ECP=60°，CE=CP由（1）中得知，△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，CA=CB∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP∴∠ACP=∠BCE∴△CBE ≌△CAP （SAS ）∴∠CEB=∠CPA∴∠EBP=∠ECP=60°∴∠FBO=∠DBO=60°∴∠BFO=∠BDO=30°∴BD=BF∵BO ⊥DF∴DO=OF∴点D 、F 关于x 轴对称∴直线EB 必过点D 关于x 轴对称的对称点；（3）过点D 作DI ∥AB 交AC 于I ，如图所示：由（2）中△ABC 为等边三角形，则△CDI 为等边三角形，∴DI=CD=DB∴∠MID=120°=∠DBN ∴△MDI ≌△NDB （AAS ）∴NB=MI∴AN-AM=（AB+NB ）-AM=AB+MI-AM=AB+AI=AB+BD=4+2=6【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握，即可解题.25、（1）3；（2）()23x -；（3）32x --【分析】（1）根据立方根的定义、算术平方根的定义和绝对值的定义计算即可；（2）先根据多项式乘多项式法则去括号，然后利用完全平方公式因式分解即可；（3）根据幂的运算性质、单项式乘单项式法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：（1312127()932-+- =1313()322+⨯-+ =113()22+-+=3（2）(2)(4)1x x --+=2681x x -++=269x x -+=()23x -（3）232652(2)5(10)(2)x y xy x y x y xy xy •÷-+-÷=2563685(10)(2)x y xy x y x •÷-+-=655740(10)(2)x y x y x ÷-+-=42x x -+-=32x --【点睛】此题考查的是实数的混合运算、因式分解和整式的乘除法，掌握立方根的定义、算术平方根的定义、绝对值的定义、多项式乘多项式法则、利用完全平方公式因式分解、幂的运算性质、单项式乘单项式法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则是解决此题的关键．26、 (1)证明见解析；(2)线段DE 使得最小值为9.2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可．（2）根据垂线段最短可得出当DE ⊥AB 时，DE 长度最小，再利用面积法可求出线段DE 的最小值．【详解】解：(1)∵AC ＝21，AD ＝1，∴CD ＝AC ﹣AD=5，在△BCD 中，BD 2+CD 2＝122+52＝19＝BC 2，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥AC ．(2)当DE ⊥AB 时，DE 最短，在Rt △ABD 中，AB =20， ∵12•AD•DB ＝12•AB•DE ， ∴DE ＝161220⨯＝9.2， ∴线段DE 使得最小值为9.2．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。

北京石景山2022年数学八年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．已知23x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程26x ay -=的一组解，则a 的值为（）． A ．5- B ．23 C ．5 D ．32- 2．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A ．9，12，15B ．3, 4, 5C ．1，2，3D ．40，41，9 3．如图，在四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D 的度数为( )A ．115°B ．105°C ．95°D ．85°4．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°5．下列运算不正确的是（）A ．235a a a ⋅=B ．()4312y y =C ．33(2)8x x -=-D ．3362x x x +=6．如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若3AE =，则EM CM +的最小值为（）A ．226B ．33C ．23D ．927．若 x 2+ mx + 9 是一个完全平方式，那么 m 的值是（）A ．9B ． ±18C ．6D ．±68．有下列五个命题：①如果20x >，那么0x >；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图为一次函数1(0)y ax b a =+≠和2(0)y bx a b =+≠在同一坐标系中的图象，则12y ax b y bx a =+⎧⎨=+⎩，的解x m y n =⎧⎨=⎩，中（）A ．0m >，0n >B ．0m >，0n <C ．0m <，0n >D ．0m <，0n < 10．要使分式13x +有意义，则x 的取值应满足( ) A ．3x ≥ B ．-3x < C ．3-≠x D ．3x ≠11．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程4000400010x x--＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（） A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成12．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（）A ．1．4 cm 2B ．1．5 cm 2C ．1．6 cm 2D ．1．7 cm 2二、填空题（每题4分，共24分）13．我国南宋数学家杨辉用如图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”，观察左边()n a b +展开的系数与右边杨辉三角对应的数，则6()a b +展开后最大的系数为_____14．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，顶点B 为（﹣4，0），顶点C 为（1，0），将△ABC 关于y 轴轴对称变换得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1关于直线x ＝2（即过（2，0）垂直于x 轴的直线）轴对称变换得到△A 2B 2C 2，再将△A 2B 2C 2关于直线x ＝4轴对称变换得到△A 3B 3C 3，再将△A 3B 3C 3关于直线x ＝6轴对称变换得到△A 4B 4C 4…，按此规律继续变换下去，则点A 10的坐标为_____．15．16的平方根是．16． “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来” 喻义要想拥有珍贵品质或美好才华等是需要不断的努力、修炼、克服一定的困难才能达到的据有关资料显示，梅花的花粉直径大约是0.00002米，数字0.00002用科学记数法表示为______17．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S 甲2、S 乙2，且S 甲2＞S 乙2，则队员身高比较整齐的球队是_____．18．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ．若BD ＋AC ＝3a ，则AC ＝_________．(用含a 的式子表示)三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知在△ABC 中，CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线．(1)求证：∠A ＝2∠E ，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2是△BCE 的一个外角，(已知) ∴∠ACD ＝∠ABC+∠A ，∠2＝∠1+∠E(_________) ∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∠E ＝∠2﹣∠1(等式的性质)∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线(已知)∴∠ACD ＝2∠2，∠ABC ＝2∠1(_______)∴∠A ＝2∠2﹣2∠1(_________)＝2(∠2﹣∠1)(_________)＝2∠E(等量代换)(2)如果∠A ＝∠ABC ，求证：CE ∥AB ．20．（8分）如图，在ABC ∆中，AB BC =，60ABC ∠=︒，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若15DAE ∠=︒，求证：ABD ∆是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE AE CE =+．21．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC 的度数；(2)求证：DC ＝AB ．22．（10分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与甲出发的时间x （分）之间的关系如图中折线OA ﹣AB ﹣BC ﹣CD 所示．（1）甲的速度为米/分，乙的速度为米/分；乙用分钟追上甲；乙走完全程用了分钟．（2）请结合图象再写出一条信息．23．（10分）甲、乙两车从A 地出发，沿同一路线驶向B 地，甲车先出发匀速驶向B 地，40min 后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km /h ，结果与甲车同时到达B 地，甲乙两车距A 地的路程y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示（1）a ＝，甲的速度是 km /h ；（2）求线段CF 对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B 地还有多远？（3）乙车出发 min 追上甲车？（4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距40km ．24．（10分）阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，试判断△ABC 的形状．解：∵ 222244a c b c a b -=-， ①∴ 2222222()()()c a b a b a b -=-+． ②∴ 222c a b =+． ③∴ △ABC 是直角三角形． ④回答下列问题：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代码为．（2）错误的原因为．（3）请你将正确的解答过程写下来．25．（12分）如图，在ABC 中，AB AC =，点,E F 分别在,AB AC 上，AE AF =，BF 与CE 相交于点P ．（1）求证：AEC AFB △≌△．（2）若10PB =，则求PC 长．26．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】将23x y =⎧⎨=-⎩代入26x ay -=计算即可．【详解】解：将23x y =⎧⎨=-⎩代入26x ay -= 得()2236a ⨯--=，解得23a = 故选：B ．【点睛】本题考查了已知二元一次方程的解求参数问题，正确将方程的解代入方程计算是解题的关键．2、C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．【详解】解：A 、92＋122＝152，故是直角三角形，不符合题意；B 、32＋42＝52，故是直角三角形，不符合题意；C 、12＋22≠32，故不是直角三角形，符合题意；D 、92＋402＝412，故是直角三角形，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3、C【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=100°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B 的度数以及得出∠D的度数．【详解】∵MF ∥AD ，FN ∥DC ，∠A=100°，∠C=70°， ∴∠BMF=100°，∠FNB=70°， ∵将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°， ∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°．故选C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN ，∠FNM=∠MNB 是解题关键．4、C【分析】连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．5、D【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，计算正确，故本选项错误；B. ()4312y y =，计算正确，故本选项错误；C. ()3328x x -=-，原式计算正确，故本选项错误；D. 3336=22x x x x +≠，计算错误，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．6、B【分析】连接BE ，与AD 交于点M ，BE 就是EM CM +的最小值，根据等边三角形的性质求解即可.【详解】解：连接BE ，与AD 交于点M ，AD 是BC 边上的中线，AD BC ∴⊥，AD ∴是BC 的垂直平分线，B ∴、C 关于AD 对称，BE ∴就是EM CM +的最小值，等边ABC 的边长为6，∴3BD =，6AB =,AD ∴==3AE =，633CE AC AE ∴=-=-=，BE ∴是AC 的垂直平分线，∵ABC 是等边三角形，易得 BE AD ==EM CM BE +=，EM CM ∴+的最小值为故选：B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质、轴对称-路径最短等内容，明确当B ，M ，E 三点共线时EM CM +最短是解题的关键．7、D【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3积的2倍．【详解】解：∵x 2+mx+9是一个完全平方式，∴x 2+mx+9=（x ±3）2，∴m=±6，故选D ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．8、A【分析】①根据任何非零数的平方均为正数即得；②根据两直线平行内错角相等即得；③根据直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短即得；④根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即得；⑤根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角即得．【详解】∵当0x <时，20x >∴命题①为假命题；∵内错角相等的前提是两直线平行∴命题②是假命题；∵直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，简称“垂线段最短” ∴命题③是真命题；2=有理数∴命题④是假命题；∵在一个钝角三角形中，与钝角相邻的外角是锐角，且这个锐角小于钝角∴命题⑤是假命题．∴只有1个真命题．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根的性质，平行线的性质，垂线公理，无理数的定义及三角形外角的性质，正确理解基础知识的内涵和外延是解题关键．9、A【分析】方程组12y ax b y bx a=+⎧⎨=+⎩，的解就是一次函数y 1=ax+b 和y 2=-bx+a （a≠0，b≠0）图象的交点，根据交点所在象限确定m 、n 的取值范围．【详解】方程组12y ax b y bx a =+⎧⎨=+⎩，的解就是一次函数y 1=ax+b 和y 2=bx+a （a≠0，b≠0）图象的交点，∵两函数图象交点在第一象限，∴m ＞0，n ＞0，故选A ．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．10、C【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得到30x +≠，解不等式即可．【详解】解：由题意得：30x +≠，解得：3x ≠-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．本题不难，要注意审题．11、C【解析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．此题得解．【详解】解：∵利用工作时间列出方程： 4000400020x 10x-=-， ∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．12、B【详解】延长AP 交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∠ABP=∠EBP ，又知BP=BP ，∠APB=∠BPE=91°，∴△ABP ≌△BEP ，∴S △ABP =S △BEP ，AP=PE ，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴S △APC =S △PCE ，∴S △PBC =S △PBE +S △PCE =S △ABC =1.5，故选B ．考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.三角形的面积．二、填空题（每题4分，共24分）13、15【解析】根据题意已知的式子找到展开后最大的系数规律即可求解．【详解】∵1()a b +展开后最大的系数为1=0+1； 2()a b +展开后最大的系数为2=1+1；3()a b +展开后最大的系数为3=1+2；4()a b +展开后最大的系数为6=1+2+3；∴5()a b +展开后最大的系数为1+2+3+4=10； 6()a b +展开后最大的系数为1+2+3+4+5=15；故答案为：15.【点睛】此题主要考查多项式的规律探索，解题的关键是根据已知的式子找到规律求解.14、（15.5，2.5）【分析】根据对称性质可得点的坐标变化规律，由此即可求解．【详解】解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为(﹣4，0)，顶点C为(1，0)，∴BC＝5∴A(﹣1.5，2.5)将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，∴A1 (1.5，2.5)再将△A1B1C1关于直线x＝2轴对称变换得到△A2B2C2，∴A2 (2.5，2.5)再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，∴A3 (5.5，2.5)再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4，∴A4 (6.5，2.5)…按此规律继续变换下去，A5 (8.5，2.5)，A6 (9.5，2.5)，A7 (11.5，2.5)则点A10的坐标为(15.5，2.5)，故答案为：(15.5，2.5)．【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是掌握对称性．注意在寻找规律的过程中需要多写出几个点A的坐标．15、±1．【详解】由（±1）2=16，可得16的平方根是±1．16、2×10-5【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00002=2×10-5，故答案为：2×10-5【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．17、乙队【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S甲2＞S乙2，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙队．【点睛】此题考查方差的意义．解题关键在于掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18、a【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后根据三角形的外角的性质求得∠ADC=30°，最后由直角三角形中的30°角所对的直角边是斜边的一半可求出AC的长度．【详解】解：连接AD．∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD=15°．∴∠ADC=30°，又∠C=90°，∴AC=12AD=12BD=12(3a-AC)，∴AC=a．故答案为：a．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（共78分）19、 (1)见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；（2）由（1）可知：∠A ＝2∠E ，由于∠A ＝∠ABC ，∠ABC ＝2∠ABE ，所以∠E ＝∠ABE ，从而可证AB ∥CE ．【详解】解：(1)∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2是△BCE 的一个外角，(已知)， ∴∠ACD ＝∠ABC+∠A ，∠2＝∠1+∠E(三角形外角的性质)，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∠E ＝∠2﹣∠1(等式的性质)，∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线(已知)，∴∠ACD ＝2∠2，∠ABC ＝2∠1(角平分线的性质 )，∴∠A ＝2∠2﹣2∠1( 等量代换)，＝2(∠2﹣∠1)(提取公因数)，＝2∠E(等量代换)；(2)由(1)可知：∠A ＝2∠E∵∠A ＝∠ABC ，∠ABC ＝2∠ABE ，∴2∠E ＝2∠ABE ，即∠E ＝∠ABE ，∴AB ∥CE ．【点睛】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质，需要学生灵活运用所学知识．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先证明ABC ∆是正三角形得60BAC ∠=︒，再根据对称性得15PAC ∠=︒，AC=AD ，从而可得结论；（2）在BE 上取点F ，使BF CE =，连AF ，证明ABF ∆≌ACE ∆，再证明AFE ∆是正三角形得AF FE =，从而可得结论．【详解】在ABC ∆中，AB BC =，60ABC ∠=︒ABC ∆∴是正三角形AC AB BC ==，60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠（1）线段AC 与AD 关于直线AP 对称∴15CAE DAE ∠=∠=︒，AD AC =75BAE BAC CAE ∴∠=∠+∠=︒，90BAD ∠=︒AB AC AD ==∴ABD ∆是等腰直角三角形（2）在BE 上取点F ，使BF CE =，连AF线段AC 与AD 关于直线AP 对称ACE ADE ∴∠=∠，AD AC =∴AD AC AB ==ADB ABD ∴∠=∠=∠ACE在ABF ∆与ACE ∆中AC AB CE BFACE ABF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABF ∆≌ACE ∆∴AF AE =∴60EAF EAC CAF FAB CAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒在AFE ∆中，AF AE =，60EAF ∠=︒∴AFE ∆是正三角形，AF FE ∴=∴BE BF FE CE AE =+=+．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21、（1）75°（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由AB=AC 可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC ，再利用角的和差可求得∠DAC ；（2）由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，从而有AC=DC，即可得到结论．试题解析：（1）∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；（2）∵∠ADC=∠B+∠DAB=30° +45°=75°，∴∠ADC=∠DAC，∴AC=DC，∵AB=AC，∴AB=CD．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的外角性质．22、（1）60，80，12，30；（2）见解析（答案不唯一）．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，乙用多少分钟追上甲，乙走完全程需要多少时间；（2）答案不唯一，只要符合实际即可．【详解】（1）由图可得，甲的速度为：240÷4=60（米/分钟），乙的速度为：16×60÷(16﹣4)=16×60÷12=80（米/分钟），乙用16﹣4=12（分钟）追上甲，乙走完全程用了：2400÷80=30（分钟），故答案为：60，80，12，30；（2）甲走完全程需要2400÷60=40（分钟）．【点睛】本题考查了函数图象的应用，解题的关键是正确理解图象并求出甲乙两人的速度，利用数形结合的思想解答．23、（1）4.5，60；（2）y＝60x+40，180；（3）80；（4）甲出发23小时或83小时或4小时或2小时后，甲乙两车相距40km．【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a＝4.5，甲从A到B共用了（23+2）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；（2）根据甲的速度可求出甲乙出发时甲所走的路程，即可得出线段CF对应的函数表达式；再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；（3）根据题意列方程求出乙的速度，再列式计算解答即可；（4）直线OD的解析式为y＝1x（0≤x≤4），然后利用函数值相差40列方程解答即可．【详解】（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a＝4+0.5＝4.5（小时），甲车的速度＝4602+73＝60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）乙出发时甲所走的路程为：60×4060＝40（km ）， ∴线段CF 对应的函数表达式为：y ＝60x +40；乙刚到达货站时，甲距B 地的路程为：460﹣60（4+23）＝180（km ）．（3）设乙车刚出发时的速度为x 千米/时，则装满货后的速度为（x ﹣50）千米/时，根据题意可知：4x +（2﹣4.5）（x ﹣50）＝460，解得：x ＝1．乙车追上甲车的时间为40÷（1﹣60）＝43（小时），43小时＝80分钟，故答案为：80；（4）易得直线OD 的解析式为y ＝1x （0≤x ≤4），根据题意得60x +40﹣1x ＝40或1x ﹣（60x +40）＝40或60x ＝460﹣180﹣40或60x ＝460﹣40，解得x ＝23或x ＝83或x ＝4或x ＝2．答：甲出发23小时或x ＝83小时或x ＝4小时或x ＝2小时后，甲乙两车相距40km ．【点睛】本题考查了一元一次方程的行程问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．24、（1）③；（2）忽略了220a b -= 的可能；（3）见解析【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以22a b -，没有考虑22a b -是否为0；（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；（3）根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【详解】（1）根据题意可知，∵由()()()2222222c a b a b a b -=-+， ∴通过移项得()()22220a b c a b ⎡⎤--+=⎣⎦，故③错误；（2）由（1）可知，错误的原因是：忽略了220a b -=的可能；（3）正确的写法为：∵222244a c b c a b -=-，∴()()()2222222ca b a b a b -=-+， ∴()()()22222220c a b a b a b ---+=， ∴()()22220a b c a b ⎡⎤--+=⎣⎦， ∴220a b -=或()2220c a b-+=，∴a b =或222c a b =+， ∴ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；故答案为ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．25、（1）详见解析；（2）10【分析】（1）根据AE=AF ，AB=AC ，∠A=∠A 即可证明三角形全等；（2）根据（1）结论可证∠ABF=∠ACE ，即可证明∠PBC=∠PCB ，即可得到PB=PC ，可得PC 的长．【详解】解：（1）在△AEC 与△AFB 中，AC AB CAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△AFB （SAS ）（2）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△AEC ≌△AFB∴∠ACE ＝∠ABF ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ，∴∠PBC ＝∠PCB ，∴PB ＝PC ，又∵PB ＝10，∴PC =10.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，考查了全等三角形对应角相等的性质，求证△AEC≌△AFB是解题的关键.26、（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22-=24米．257答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴222520-，-22CD CE∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．。

2022-2023学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷(word,解析版)

2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）5的算术平方根是（）A．±5B．25C．D．2．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400多种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）使得分式值为零的m的值是（）A．m＝0B．m＝2C．m≠﹣3D．m≠34．（2分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（）A．12B．C．D．186．（2分）如图，数轴上M，N，P，Q四点中，与对应的点距离最近的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q7．（2分）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．8．（2分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（）A．65°B．68°C．66°D．70°二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）要使式子有意义，则x可取的一个数是．10．（2分）下面是大山同学计算的过程：＝ (1)＝ (2)＝ (3)＝ (4)（1）运算步骤[2]为通分，其依据是；（2）运算结果的分子m应是代数式．11．（2分）如果等腰三角形的一个内角为80°，那么其它两个角的度数为．12．（2分）若|x﹣5|+＝0，则x+y＝．13．（2分）依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；④小明打开电视，正在播放广告；必然事件；不可能事件；随机事件．14．（2分）下面是代号分别为A，B，C，D的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．（1）用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；（2）用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．15．（2分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C＝55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E＝30°，则∠CFE的度数为．16．（2分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）解方程：．20．（5分）已知x＝3y，求代数式的值．21．（5分）已知：△ABC．求作：点P，使得点P在AC上，且P A＝PB．作法：①分别以A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②作直线MN，与AC交于P点．点P为所求作的点．根据上述作图过程（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（）（填写推理的依据）．22．（6分）已知：如图，点B是线段AC上一点，AD∥BE，AB＝BE，∠D＝∠C．求证：BD＝EC．23．（6分）如图，将线段CD放在单位长为1的小正方形网格内，点A，B均落在格点上．（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：①请在线段CD上画出点P，使得P A+AB的和最小；②请在线段CD上画出点Q，使得QA+QB的和最小；（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．①P A+AB的和最小的依据是；②QA+QB＝（直接写出答案）．24．（6分）学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．25．（6分）若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值．26．（6分）已知：如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BE＝AD，BE⊥AD；（2）已知BD＝2AB，CE＝，求AB的长．27．（6分）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：…（1）；（2）计算：．28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断AB和DE的数量关系并证明；（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）5的算术平方根是（）A．±5B．25C．D．【分析】根据算术平方根的含义和求法，可得：数5的算术平方根为，据此解答即可．【解答】解：数5的算术平方根为．故选：D．2．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400多种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．3．（2分）使得分式值为零的m的值是（）A．m＝0B．m＝2C．m≠﹣3D．m≠3【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．【解答】解：∵分式值为零，∴m＝0且m+3≠0，∴m＝0．故选：A．4．（2分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、D均不是高线．故选：C．5．（2分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，则底边上的高为（）A．12B．C．D．18【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质得出BD＝CD＝，再根据勾股定理求出AD的长即可求解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，即底边上的高为2，故选：B．6．（2分）如图，数轴上M，N，P，Q四点中，与对应的点距离最近的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】先估算出2﹣的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣2＞﹣＞﹣3，∴﹣1＜2﹣＜0，∴点N距离此点最近．故选：B．7．（2分）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用分式的加减法，分式的乘除法对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、＝＝，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、＝＝，故D不符合题意；故选：C．8．（2分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（）A．65°B．68°C．66°D．70°【分析】由等腰三角形的性质可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角的性质可求∠COD的度数，即可求解．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠CDO+∠COD＝2∠COD，∴∠DEC＝2∠COD，∵∠COD+∠DEC＝∠BDE，∴3∠COD＝84°，∴∠COD＝28°，∴∠DEC＝∠DCE＝56°，∴∠CDE＝68°，故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）要使式子有意义，则x可取的一个数是4（答案不唯一）．【分析】根据二次根式有意义的条件得出2x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须2x﹣3≥0，解得：x≥，所以x可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）．10．（2分）下面是大山同学计算的过程：＝ (1)＝ (2)＝ (3)＝ (4)（1）运算步骤[2]为通分，其依据是分式的基本性质；（2）运算结果的分子m应是代数式3x．【分析】（1）根据通分是运用分式的基本性质进行求解；（2）通过分子去括号、合并同类项进行计算求解．【解答】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）通过运算得，＝＝，故答案为：3x．11．（2分）如果等腰三角形的一个内角为80°，那么其它两个角的度数为80°或20°．【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．12．（2分）若|x﹣5|+＝0，则x+y＝2．【分析】根据非负数的性质，可得x﹣5＝0，y+3＝0，即可解答．【解答】解：∵|x﹣5|+＝0，∴x﹣5＝0，y+3＝0，解得：x＝5，y＝﹣3，x+y＝5﹣3＝2．故答案为：2．13．（2分）依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；④小明打开电视，正在播放广告；必然事件①；不可能事件③；随机事件②④．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；则必然事件是①；可能是近是③；随机事件是②④，故答案为：①；③；②④．14．（2分）下面是代号分别为A，B，C，D的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．（1）用力转动转盘A（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；（2）用力转动转盘C（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．【分析】（1）指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等，可得阴影区域的面积等于白色区域的面积；（2）指针落在阴影区域的可能性＝×转盘的面积，可得阴影区域的面积所占大小．【解答】解：（1）用力转动转盘A（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等．故答案为：A；（2）6×＝2．故用力转动转盘C（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．故答案为：C．15．（2分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C＝55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E＝30°，则∠CFE的度数为65°．【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，再根据三角形的外角性质求出∠CFE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝55°，则∠B＝90°﹣∠C＝35°，∵∠CFE是△BEF的外角，∴∠CFE＝∠B+∠E＝35°+30°＝65°，故答案为：65°．16．（2分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为．【分析】由角平分线的性质得出DE＝DA，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD得出BE 的长，根据勾股定理求出AC的长，设DE＝x，则CD＝3﹣x，再根据勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：∵AC⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DA，在Rt△ABD与Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴BE＝AB＝6，∵BC＝9，∴CE＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝3，设DE＝x，则CD＝3﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD2＝ED2+CE2，即（3）2＝x2+32，解得x＝，即DE的长为，故答案为：．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．（5分）计算：．【分析】先算除法，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝3﹣2﹣＝．18．（5分）计算：．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝＝＝x+2．19．（5分）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝1．20．（5分）已知x＝3y，求代数式的值．【分析】直接把x＝3y代入分式，化简求值即可．【解答】解：∵x＝3y，∴＝（﹣）•＝（3﹣）×＝×＝．21．（5分）已知：△ABC．求作：点P，使得点P在AC上，且P A＝PB．作法：①分别以A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②作直线MN，与AC交于P点．点P为所求作的点．根据上述作图过程（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝BM，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）（填写推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用线段的垂直平分线的性质判断即可．【解答】（1）解：如图，点P即为所求；（2）证明：连接AM，BM，AN，BN．∵AM＝BM，AN＝BN，∴M，N在线段AB的垂直平分线上．即MN是线段AB的垂直平分线．∵点P在直线MN上，∴P A＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．故答案为：BM，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．22．（6分）已知：如图，点B是线段AC上一点，AD∥BE，AB＝BE，∠D＝∠C．求证：BD＝EC．【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD ＝EC．【解答】证明：∵AD∥BE∴∠A＝∠EBC在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（AAS），∴BD＝EC．23．（6分）如图，将线段CD放在单位长为1的小正方形网格内，点A，B均落在格点上．（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：①请在线段CD上画出点P，使得P A+AB的和最小；②请在线段CD上画出点Q，使得QA+QB的和最小；（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．①P A+AB的和最小的依据是两点之间，线段最短；②QA+QB＝4（直接写出答案）．【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；①作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，使得P A+PB的和最小，点P就是所求的点；②作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点Q，使得QA+QB的和最小，点Q就是所求的点；（2）①根据两点之间线段最短解答；②根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）①根据轴对称的性质可知：P A+PB的和最小的依据是两点之间，线段最短；故答案为：两点之间，线段最短；②根据轴对称的性质可知：QA＝QA′，∴QA+QB＝QA′+QB＝A′B＝＝＝4．故答案为：4．24．（6分）学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．【分析】设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意：学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣4）元，由题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，则x﹣4＝40﹣4＝36，答：每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．25．（6分）若关于x的分式方程的解为正数，求正整数a的值．【分析】解分式方程，可得出x＝3﹣a，结合原分式方程的解为正数，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，由x﹣1≠0，可得出a≠2，进而可得出正整数a的值．【解答】解：原方程可化为：2x+a+x﹣5＝2（x﹣1），∴x＝3﹣a．∵原方程的解为正数，∴3﹣a＞0，∴a＜3，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴3﹣a≠1，∴a≠2，∴正整数a的值为1．26．（6分）已知：如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BE＝AD，BE⊥AD；（2）已知BD＝2AB，CE＝，求AB的长．【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，即可证明结论；（2）设AB＝x，则BD＝2x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解方程即可．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，∴∠DBE＝∠DCE＝90°，∴BE⊥AD；（2）解：∵DE＝CE＝，设AB＝x，则BD＝2x，∴BE＝AD＝3x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（）2，解得x＝（负值舍去），∴AB＝．27．（6分）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：…（1）；（2）计算：．【分析】读懂题意，利用分式的基本性质变形，计算即可．【解答】解：（1）＝﹣；（2）＝++＝（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（﹣+﹣+﹣）＝（﹣）＝．28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断AB和DE的数量关系并证明；（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）结论：AB＝DE，证明四边形ACDE是平行四边形，推出AC＝DE，可得结论；（3）分两种情形：如图2中，当∠CDM是钝角．证明△ABE≌△DEM（SSS），推出∠BAE＝∠EDM＝135°，即可解决问题，如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°解决问题．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）结论：AB＝DE．理由：∵AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∵AB＝AC，∴AB＝DE；（3）如图2中，当∠CDM是钝角．∵AE＝CD，CD＝DM，∴AE＝DM，∵AB＝DE，BE＝EM，∴△ABE≌△DEM（SSS），∴∠BAE＝∠EDM，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，B，D关于AC对称，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AE∥CD，∴∠EAD＝∠ADC＝75°，∴∠BAE＝30°+30°+75°＝135°，∴∠EDB＝∠BAE＝135°，∴∠CDM＝360°﹣75°﹣﹣30°﹣135°＝120°．如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°，∴∠CDM′＝135°﹣75°﹣30°＝30°，综上所述，∠CDM的值为120°或30°．。

2021-2022学年北京市石景山区八年级上学期期末数学试题及参考答案

2021-2022学年北京市石景山区第一学期初二期末试卷数学一、选择题（下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

本题共16分，每小题2分）1．25的平方根是(A)5(B)5-(C)5±(D)5±2．下列各式从左到右变形正确的是(A)2362x xx =(B)11n n m m +=+ (C)n m n m m n mn--=(D)22n n m m=3．如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体.以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为(A)(B) (C) (D)4．下列运算正确的(A)325+= (B)20102÷= (C)326⨯= (D)()233-=-5．下列说法正确的是(A)“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件会徽图形会徽印鉴奥林匹克标志图1 图2(B)“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是必然事件 (C)“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件(D) 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 6．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简()22ab +的结果是(A)a b -+ (C)a b +(B)a b -- (D)a b -7．如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同. 现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是(A)15(B)25(C)35(D)458．如图，在ABC △中，110BAC ∠=°，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ，则FAD ∠的度数为 (A) 20° (C) 35° (B) 30° (D) 70°二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式3x -有意义，则实数x 的取值范围是．10．有下列命题：①可以在数轴上表示无理数3；②若22a b >，则a b >；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为（填序号）．11. 已知三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的第三边长可以是（写出一个即可）.12．如图，点C 是线段AB 的中点，DA ∥EC ．请你只添加一个条件，使得DAC △≌ECB △．（1）你添加的条件是；BECAD 0b 1aF E DABC越野滑雪速度滑冰花样滑冰高山滑雪单板滑雪大跳台（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定DAC △与ECB △全等的理由是． 13．计算(的结果是．14．若230x x +-=，则代数式21()1x x x x -⋅-的值是．15．如图，点D 是AOB ∠的平分线OC 上一点，过点D 作DE ∥OB 交射线OA 于点E ，则线段DE 与OE 的数量关系为：DE OE （填“＞”或“=”或“＜”）．16．如图，在12Rt OA A △中，190A ∠=°，2111A A OA ==，以2OA 为直角边作等腰直角23OA A △，再以3OA 为直角边作等腰直角34OA A △，…，按照此规律作图，则4OA 的长度为，n OA 的长度为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17(21+. 18．计算：2-.19．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，CA CB =，点D 是ACB △内一点，连接CD ，过点C 作CE CD ⊥且CE CD =，连接AD ，BE .求证：AD BE =.20．计算：23122x x x x -----.21．下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：如图1，直线l 及直线l 上一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ l ⊥.P76作法：如图2，①以点P 为圆心，任意长为半径作弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径作弧，两弧在直线l 的同侧交于点Q ； ③作直线PQ .直线PQ 就是所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明. 证明：连接QA ，QB .∵QA = ，PA PB =，∴PQ l ⊥（）（填推理的依据）.22．已知2x =，求代数式2104233x x x -+÷--⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.23．解分式方程：1312x xx -+=+.24．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，10AB =，6AC =．AD 平分CAB ∠交BC于点D ．（1）求BC 的长；（2）求CD 的长.25．列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务.求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二图2次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1==特例2==特例3=特例4=特例5 （填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为：．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．= ；=（a ，b 均为正整数），则a b +的值为． 27．点P 为等边ABC △的边AB 延长线上的动点，点B 关于直线PC 的对称点为D ，连接AD .（1）如图1，若2BP AB ==，依题意补全图形，并直接写出线段AD 的长度；（2）如图2，线段AD 交PC 于点E ， ①设BCP α∠=，求AEC ∠的度数；②求证：AE CE DE =+.28．在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，6CA CB ==，点P 是线段CB 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作直线l CB ⊥交AB 于点Q .给出如下定义：若在AC 边上存在一点M ，使得点M 关于直线l 的对称点N 恰好在．ACB △的边上．．．，则称点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”.例如，图1中的点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”.（1）如图2，若1CP =，点1M ，2M ，3M ，4M 在AC 边上且11AM =，22AM =，34AM =，46AM =.在点1M ，2M ，3M ，4M 中，是ACB △的关于直线l 的“反称点”为；（2）若点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”，恰好使得ACN △是等腰三角形，求AM 的长；（3）存在直线l 及点M ，使得点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”，直接写出线段CP 的取值范围.图1 图2图1 图2 备用图l(M 4M M 2M l2021-2022学年北京市石景山区第一学期初二期末数学答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。