九年级数学上册 第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练(附答案)

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章《三角函数的应用综合性解答题》
优生辅导专题提升训练（附答案）
1．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行若干千米，到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．
（1）若BD＝30km，问E处距离港口A有多远？
（2）若DE＝8km，问E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈
0.80，tan37°≈0.75）
2．如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C 的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．
（1）求景点B，E之间的距离；
（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）
3．如图，一次军事演习中，蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．
（1）求点C到公路的距离；
（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）
4．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C 作CH⊥AB于H．
（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；
（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．
5．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）
6．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求出A与C间的距离AC；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中触暗礁危险．
（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：）
7．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：
（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；
（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．
8．如图，港口B在港口A的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C处，同时快艇到达D处，测得D处在C处的北偏东60°的方向上，且C、D两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，，）
9．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝70°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝km．
（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）
10．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈
0.31，tan72°≈3.08）
11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
12．如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B 处西北方向的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）
13．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
14．一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．
15．如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B 到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
16．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈
1.732）
17．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？
（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，
）
18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
19．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B 看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A 到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．
（1）求港口C与小岛P之间的距离；
（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（≈2.646，结果精确到十分位）．
20．如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A 的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）灯塔B与小岛C之间的距离．
21．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD＝37°，港口A和小岛C的距离是23km．
（参考数据：sin38°≈，tan22°≈，tan37°≈）
（1）求BC的距离．
（2）求CD的距离．
参考答案
1．解：（1）作CF⊥AD于F，
由题意得，∠D＝90°，
∴FC∥BD，又AC＝CB，
∴FC＝BD＝15，
∵∠EFC＝90°，∠FEC＝45°，
∴EF＝FC＝15，
在Rt△AFC中，AF＝≈＝20，
∴AE＝AF+FE＝35（km），
答：BD＝30km，E处距离港口A约为35km；
（2）设FC＝xkm，
则EF＝FC＝x，AF≈＝x，
由（1）得，AF＝FD，即x＝x+8，
解得，x＝24，
则x＝32，
∴AE＝AF+FE＝32+24＝56，
答：DE＝8km，E处距离港口A约为56km．
2．解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，
∴BC＝＝1000，
∴BD＝2BC＝2000，
∵E在BD的中点处，
∴BE＝BD＝1000（米）；
（2）过E作EF⊥AB与F，
在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，
在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，
∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．
3．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D 作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，
（1）点C到公路的距离就是BE的长，
在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，
∴BE＝BC•cos60°＝2000×＝1000米．
答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．
（2）红蓝双方相距AB＝DF+CE．
在Rt△BCE中，
∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC•sin60°＝2000×＝1000米．
在Rt△CDF中，
∵∠F＝90°，CD＝2000米，∠DCF＝45°，
∴DF＝CD•sin45°＝2000×＝1000米，
∴AB＝DF+CE＝（1000+500）米．
答：红蓝双方最初相距（1000+1000）米．
4．解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH＝30°，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝x，
在Rt△BCH中，tan30°＝＝，
∴BH＝x，
∵AH+HB＝AB＝40，
∴x+x＝40，
解得x＝20﹣20，
∴CB＝2CH＝40﹣40．
答：牧民区C到B地的距离为（40﹣40）千米；
（2）∵C、D两地距离是B、C两地距离的倍，CH＝BC，
∴sin∠ADC＝＝＝，
∴∠ADC＝60°．
在Rt△CHD中，DH＝CH•cot∠CDH＝CH，
∵BH＝CH，CH＝20﹣20，
∴BD＝BH﹣DH＝CH﹣CH＝（20﹣20）＝40﹣．答：BD之间的距离为40﹣千米．
5．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝＝＝6，
∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，
设AB＝xm，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x，BG＝＝＝x，
∵BG﹣BC＝CG，
∴x﹣x＝8，
解得：x≈11（m）；
答：电线杆的高为11m．
6．解：（1）如图，作CE⊥AB，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
设AE＝x海里，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．
则AE+BE＝x+x＝100（+1），
解得：x＝100．
AC＝2x＝200．
答：A与C之间的距离AC为200海里．
（2）过点D作DF⊥AC于点F，
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，
设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y+y＝200，
解得：y＝100（﹣1），
∴AD＝2y＝200（﹣1），
∴DF＝AF＝×100（﹣1）≈127海里，
∵127＞100，
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．
故答案为：无．
7．解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，BD＝100米，∴AB＝＝200米，AD＝BD•tan60°＝100米．
∵在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，BD＝100米，
∴DC＝BD＝100米，BC＝BD＝100米，
∴AC＝AD+DC＝（100+100）米；
（2）作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，
∴EF＝ED．
在Rt△AEF与Rt△AED中，
，
∴△AEF≌△AED（HL），
∴AF＝AD＝100米，
∴BF＝AB﹣AF＝（200﹣100）米．
∵在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2BF＝（400﹣200）米．
8．解：分别过点B、D作AC的垂线，交AC的延长线于点E、F，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，
则DF＝CD＝40海里，CF＝CD cos∠DCF＝40海里，
故可得AF＝AC+CF＝16×2+40＝32+40海里，
∵DF⊥AF，BE⊥AF，BE⊥BD，
∴四边形BEFD是矩形．
∴BE＝DF＝40海里，
在Rt△BAE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝BE＝40海里，
∴EF＝AF﹣AE＝32+40﹣40＝（40﹣8）海里，
∴BD＝EF＝40﹣8（海里），
故可求得快艇的速度＝（40﹣8）÷2＝20﹣4≈30.6（海里/小时）．答：快艇的速度约为30.6海里/时．
9．解：（1）相等．
∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，
∴∠EBF＝∠BEQ＝30°，
∴EF＝BF，
又∵∠AFP＝60°，
∴∠BF A＝60°．
在△AEF与△ABF中，
∵，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB＝AE；
（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．
设AE＝xkm，
则AH＝x sin70°km，HE＝x cos70°km，
∴HF＝HE+EF＝x cos70°+4﹣5（km），
Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，
∴x sin70°＝（x cos70°+4﹣5）•tan60°，
即：x＝（x+4﹣5）×，
解得：x≈13，
即AB＝AE＝13km．
答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．
10．解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG＝EF＝10米．∵∠FGN＝∠α＝36°．
∴∠GFN＝∠β﹣∠FGN＝72°﹣36°＝36°．
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50﹣10＝40（米）．
在Rt△FNR中，
FR＝FN×sinβ＝40×sin72°＝40×0.95≈38（米）．
答：河宽FR约为38米．
11．解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC＝∠EAC＝60°．
∵∠FBD＝30°
∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）
又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB＝15°．
∴∠DAB＝∠ADB．
∴△ABD为等腰三角形，
∴BD＝AB＝2．
即BD之间的距离为2km．（4分）
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，
∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BO tan30°＝，
∴CD＝DO﹣CO＝（km）．
即C，D之间的距离km．（8分）
12．解：如图，过C作CH⊥AB于H，
由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，
∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，
∴∠ABC＝60°，
设BH＝x，则CH＝AH＝x，BC＝2x，
∵AB＝60，
∴x+x＝60，
解得x＝30（﹣1），
∴AH＝30（3﹣），
∴Rt△ACH中，AC＝AH＝×30（3﹣）＝30（3﹣），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（﹣1），
∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3﹣）÷20≈2.7小时，
不明船只到达C岛的时间为60（﹣1）÷15≈2.8小时，
∴巡逻艇先到达C岛．
13．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则DC＝60海里，
故cos30°＝＝＝，
解得：AC＝40，
答：点A到岛礁C的距离为40海里；
（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，
可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，
则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，
设AA′＝x，则A′E＝x，
故CA′＝2A′N＝2×x＝x，
∵x+x＝40，
∴解得：x＝60﹣20（，
答：此时“中国海监50”的航行距离为（60﹣20）海里．
14．解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，
∴∠C＝23°+22°＝45°．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．
∵BC＝10海里，
∴CD＝BC•cos45°＝10×≈7.0（海里），
∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9（海里）．∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19（海里）．
答：小船到码头的距离约为19海里．
15．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．∵DC∥AB，
∴四边形DCBG为平行四边形．
∴DC＝GB，GD＝BC＝11．
∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．
在Rt△DGH中，
DH＝DG•sin37°≈11×0.60＝6.60，
GH＝DG•cos37°≈11×0.80≈8.80．
在Rt△ADH中，
AD＝DH≈1.41×6.60≈9.31．
AH＝DH≈6.60．
∴AD+DG﹣AG＝（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．
16．解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，
∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），
答：无人机的飞行高度AM为200米；
（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，
∵AB∥CM，
∴∠BAH＝∠ACM＝β，
∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），
∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），
∵AB∥CM，
∴△HBA∽△HGC，
∴AB：GC＝BH：HG，
∴30：GC＝60：140，
解得GC＝70（米），
∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，
∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），
∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，
∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．
答：标志物DE的高度为207.3米．
17．解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形．
过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：
由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，
∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，
∴AB＝＝≈7km，
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．
答：从A地跑到D地的路程约为47km．
18．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，
∵∠DAG＝90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴GF＝AD＝1.5海里，
∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，
∵∠DCF＝53°，
∴COS∠DCF＝，
∴CD＝＝＝10海里．
答：CD两点的距离是10；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，
由题意知CE＝30t海里，DE＝1.5×2×t＝3t海里，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，
∴sin∠EDH＝，
∴EH＝ED sin53°＝3t×＝t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝．
答：sin∠ECD＝．
19．解：（1）由题意得，BC＝30×＝20海里，∠ABP＝60°，∠ACP＝30°，∴∠BPC＝30°，
∴BP＝BC＝20海里，
∴AP＝BP•sin∠ABP＝20×＝10，
∵∠ACP＝30°，
∴PC＝2AP＝20海里，
答：港口C与小岛P之间的距离为20海里；
（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，∴∠PCQ＝90°，又CQ＝30×＝40海里，
由勾股定理得，PQ＝＝20≈52.9海里，
答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．
20．解：（1）∵∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，AC＝60÷Cos30°＝40海里，CD＝AC＝20海里．故港口A与小岛C之间的距离是40海里；
（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BDA＝30°，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
∴AB＝30海里；
在Rt△ABE中，AE＝15海里，BE＝15海里，
∴BF＝60﹣15＝45海里，CF＝20﹣15＝5海里，在Rt△BCF中，BC＝＝10海里．
即灯塔B与小岛C之间的距离是10海里．
21．解：（1）作CE⊥AB于E，
由题意得，∠CAE＝45°，∠CBE＝30°，
∴AE＝CE＝AC•sin∠CAE＝23×＝23km，
∴BC＝2CE＝46km，
答：BC的距离为46km；
（2）作DF⊥BC于F，
设DF＝xkm，
∴CF＝＝x，
BF＝＝x，
则x+x＝46，
解得，x＝12，
∴DF＝12，CF＝16，
由勾股定理得，CD＝＝20km．
答：CD的距离约为20km．。