八年级数学第8讲.四边形中的动点问题.尖子班.教师版.docx

8
四边形中的动点问题
满分晋级阶梯
四边形 8 级
四边形7级
四边形中的动点问题四边形 6 级特殊图形的旋转与正方形弦图
平移和几何最值问题
春季班春季班春季班
第六讲第七讲第八讲
漫画释义
如法炮制
知识互联网
题型切片
题型切片（两个）对应题目
题由动点产生的特殊图例 1，例 2，例 3，练习 1，练习 2，练习3；
型
目
例 4，例 5，例 6，例 7，练习4，练习 5．标由动点产生的函数关系
编写思路
本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到
双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．
题型一：由动点产生的特殊图形
思路导航
我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．
典题精练
【例 1】已知如图：在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点 D 是OA的中点，
点 P 在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三y
C
P B
角形时，点P 的坐标为．(101 中学初三月考)【解析】 3 ，4 、2，4 或 8 ，4O D
A
x
【例 2】在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，若 E、F 是 AC 上两动点，分别从A、
C 两点以相同的速度1cm/s 向 C、 A 运动．
⑴四边形 DEBF 是平行四边形吗 ?请说明理由．
⑵若 BD =12cm， AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形 ?
D C D C
F
E
O O
E
F
A B B
A
D
C
D C
F
E
O
O
E F
A
B A B 【解析】⑴四边形 DEBF 是平行四边形
理由：
∵ E， F 两动点，分别从A，C 两点以相同的速度向C，A 运动
∴AE＝CF
∴OE＝OF
∴BD、EF 互相平分
∴四边形 DEBF 是平行四边形
⑵ ∵四边形 DEBF 是平行四边形
∴当 BD ＝EF 时，平行四边形DEBF 是矩形
∵BD＝ 12cm，
∴ EF＝ 12cm
∴OE＝ OF ＝6cm
∵AC＝ 16cm
∴OA＝ OC＝8cm
∴AE＝ 2cm 或 AE＝ 14cm
∵动点的速度是 1cm/s
∴t＝ 2s 或 t＝ 14s
【例 3】如图所示，在直角坐标系中，四边形 OABC 为直角梯形， OA∥ BC，BC=14cm ，A 点坐标为（ 16，0）， C 点坐标为（ 0， 2）．点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动，设运动时间
为ts 0 ≤ t ≤ 4 ．
⑴求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？
⑵求当 t 为多少时， PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部
分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．
【解析】⑴ ∵ t s 后， BP= 14 2t cm，AQ =4t cm．由
y
7
BP= AQ ，得 142t(s)．
4t ， t=
73
P B
∴当 t= s 时， BP= AQ ，又 OA∥ BC，
C 3
∴四边形 PQAB 为平行四边形．
O Q
x A
⑵∵ C 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 16， 0），
∴ OC=2 cm ， OA=16 cm ．
∴S
梯形 OABC =
1(OA+BC ) ·OC=1×(16+14)×2=30(cm 2) ．22
∵ t s后，PC= 2t cm，OQ= 164t cm，
∴S
四边形 PQOC =1
16 4t2162t ．
2t
2
由题意可得 S四边形PQOC=10，∴162t10，解得 t=3s．
此时直线 PQ 的函数关系式为 y x 4 ．
【探究】四边形中的动态问题
【变式 1】如图，在矩形OABC 中，已知点 B 的坐标为 (9， 4)，点 P 是矩形边上的一个动点，若点 E 的坐标为 (5， 0)，且△POE 是等腰三角形，求点P 的坐标？
y
A P2P1B
y P3P
4
A B
O E C x
O E C x
【解析】如图， 3 4，
P22,4，
P3 2.5,4
，
P49,3 .
P1 ,
【探究 2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；
【变式 2】如图，矩形ABCD 中， B 的坐标为 ( 4 3，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，同时动点Q 以每秒 2 个单位的速度从点O
出发沿OB
向终点
B
运动 . 过点
Q
作
QE⊥ OB
，交
AB
于点
E
，连接
PE PQ
. 设运动时间为
t
、
秒 . 求t
为何值时，
PE OB
.
∥
y
A E B
P Q
O C x
16
【解析】 PQ=BE 时， PE∥ OB，此时t.
7
【探究 3】线动问题，线动问题转化为点动问题；
【变式 3】如图，矩形 ABCO 中， B 的坐标为 ( 4 3 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒
1 个
单位的速度，从点 O 出发沿 OA 向终点 A 运动，过点 P 作直线 PF ⊥ OB ，交 OB 于点 F ；同
时将直线 PF 以每秒
3 个单位向右平移，分别交 AB 、 OB 于点 E 、Q ，连接 PE. 设运动时间
为 t 秒 . 求 t 为何值时， PE ∥ OB.
y
A
E
B
P
F
Q
O
C x
【解析】同上，此时 t
16 .
7
【探究 4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；
【变式 4】如图，直角 Rt △ ABO 中， A 的坐标为 (
15
， 5
3 )，斜边中线 AC 将这个直角三角形分成了
2 2
两个等腰三角形△ AOC 与△ ABC （如图所示） ，将△ AOC 沿直线 x 轴正方向平移得到
△ A 1O 1C 1 ，当点 O 1 与点 C 重合时，停止平移。

在平移的过程中， A 1O 1 与 OB 交于点 D ，O 1 B 1
与 BC 交于点 E.设平移距离 OO 1 为 x ， △ A 1O 1 C 1 与△ ABC 重叠部分的面积为 y ，是否存在
这样的 x,使得重叠部分面积等于原△
ABO 面积的
1
？若存在，请求出
x 的值；若不存在，
4
请说明理由．
y
A
y
A
A
1
P
E
F
O C
B x O O 1
C C 1
B
x
5
【解析】 x.
2
题型二：由动点产生的函数关系
典题精练
【例 4】⑴如图 1，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→ P→ Q→ M 方向运动至点M 处停止．设点 R 运动的路程为x ，△MNR的面积为y，如果y关于的函数图象如图 2 所示，则当x9 时，点 R 应运动到（）
（ 161 期中）
A ．N 处B． P 处C．Q 处 D ．M 处
Q P y
R
M N
O49x
图 1图 2
⑵如图，在矩形ABCD 中， AB=2，BC=1，动点 P 从点 B 出发，沿路线B→ C→ D 作匀
速运动，那么△ ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程x之间的函数图象大致是（）
（重庆中考）
D C
P
A B
S S S S
33
2
111
O 1
3 x O13x O 3 x O1 3 x
A ．
B ．C． D ．
【解析】⑴ C；⑵ B．
【例 5】正方形 ABCD 的边长为 2 厘米，点 E 从点 A 开始沿 AB 边移动到点B，点F 从点 B 开始沿 BC 边移动到点 C，点 G 从点 C 开始沿 CD 边移动到
G
D C H
⑴求证：△ HAE ≌△ EBF ；
⑵设四边形 EFGH 的面积为 S（平方厘米），求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的
取值范围；
【解析】⑴ t 秒时， AE=0． 5t， BF=0． 5t， DH =0．5t
∴ AE=BF=DH
∵四边形 ABCD 为正方形
∴∠ A=∠ B=90°， AD=AB
∴ AH=BE= 20.5t
∴△ HAE≌△ EBF
⑵由⑴同理可得 Rt△ HAE ， Rt△ EBF ， Rt△FCG 以及 Rt △ GDH 四个三角形两两全等
S 41
(20.5t)4
12
4
0.5t t2t
22
自变量 t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 4
【例 6】如图，已知正方形ABCD 与正方形 EFGH 的边长分别是42 和 2 2 ，它们的中心 O1，O2都在直线 l 上， AD ∥ l ， EG 在直线 l 上， l 与 DC 相交于点M ，ME72 2 ，当正方形 EFGH
沿直线l 以每秒 1 个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕 O1以每秒 45°顺时针方向开
始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（ 1）在开始运动前，1 2
；
O O
（ 2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时
AE， O1O2；
（ 3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠
部分的面积为y ，求 y 与x之间的函数表达式．
A D H
O1O2l
M E G
B C F
【解析】（ 1） 9．
（ 2） 0， 6．
B B B
H H H
O1
C O1O2l C O1O2l O2A l
E A G E G A E C G
F F F
D D D
图 1图 2图 3
（ 3）当正方形 ABCD 停止运动后，正方形EFGH 继续向左平移时，与正方形ABCD 重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积y 与x之间的函数关系应分四种情况：
①如图 1，当 0 ≤ x 4 时，∵ EA x ，
∴ y 与 x 之间的函数关系式为y x2．
2
2
③如图 3，当 8 ≤ x12 时，∵ CG 12x ，
122
x
1 x212x 7
2 ．
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y
22
④当 x≥ 12 时，y与x之间的函数关系式为y0 ．
真题赏析
【例 7】将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A 在x轴上，点 C 在 y 轴上，OA=10 ，OC=8．
⑴如图 1 在 OC 边上取一点 D ，将△ BCD 沿 BD 折叠，使点 C 恰好落在 OA 边上，记作 E 点；
①求点 E 的坐标及折痕DB 的长；
②在 x 轴上取两点 M、 N（点 M 在点 N 的左侧），且 MN 4.5 ，求使四边形 BDMN 的周长
最短的点 M、点 N 的坐标．
⑵如图 2，在 OC、CB 边上选取适当的点 F 、G，将△ FCG 沿 FG 折叠，使点 C 落在 OA 上，
记为 H 点，设 OH = x，四边形 OHGC 的面积为 S．求： S 与x之间的函数关系式，并指出
变量 x 的取值范围．
y y
G
C B C B
D
F
O E A x x
O HA
图 1
【解析】⑴ ①在矩形 OABC 中， BC=OA=10 ， BA=OC=8．由折叠可知：△CBD ≌ △EBD ，
∴ BE=BC=10 ．
在 Rt△BAE 中， EA= BE2BA2=6．
OE=OA－AE=4 ，
∴ E(4，0) ．
设 CD＝x，
∵△ CBD ≌ △ EBD ，
∴DE =CD =x， OD =8－x．，
在Rt△ODE 中， DE 2 =OD 2＋ OE2，
∴ x2 =（ 8－x）2＋ 42，
∴ x =5．
在 Rt△CDB 中， BD =CD 2BC 2= 5 5
②要使 DB+ DM+MN+BN 最短，只需要 DM+BN 最短．
将点 B(10 ， 8 )向左平移 4． 5 个单位长度，得
图2
y
B1
C B
∴BB 1＝ 4．5
∵ MN=4 ． 5， ∴ BB 1∥ M N ，
∴ BNMB 1 是平行四边形． ∴ B 1M = BN ．
作 D 关于 x 轴的对称点 D 1(0， -3) ， 连接 B 1D 1，
由对称性及两点之间线段最短可知： B 1D 1 与 x 轴的交点为所求 M 点，
在 x 轴上点 M 的
右侧作 MN =4． 5，得所求 N 点．
可求得直线 B 1D 1 的解析式为 y 2x 3 ，
∴ M ( 3
， 0 )， N(6，
0 )． 2
⑵过点 G 作 GK ⊥ OA 于 K ，设 CG ＝ y ，
∴ OK=CG ＝ y ， GK =OC ＝ 8． 由折叠可知： △ CGF ≌△ HGF ， ∴ GH=CG ＝ y ，
∴ HK = OK －OH=＝y －x ．
在 Rt △ HKG 中， HG 2 =HK 2＋ GK 2
，
∴ y 2
2
y x82 ，
y
G
C
B
F
x
O
H
K A
y
64 x 2 ， 2x
S
1
(OH CG ) OC
1
( x 64 x 2
) 8 6x
2
128
4 ≤ x ≤ 8 ．
2
2 2x
x
思维拓展训练 ( 选讲 )
训练 1.如图，在直角梯形ABCD 中， DC ∥ AB ， A90 ， AB28cm ，DC 24cm ， AD4cm ，点M从点D出发，以 1cm/ s 的速度向点 C
运动，点 N 从点B同时出发，以 2cm/ s 的速度向点A运动，当其中一
个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形
ANMD 的面积 y(cm2) 与两动点运动的时间t( s) 的函数图象大致是（）
D M C
A N B
y y
y y
5656
5656
28
28
O14t O28t O
28 t
O14t
A ．
B ．C．D．
【解析】解析式为 y562t 0t 14∴选 D
训练 2.如图，在梯形ABCD 中， AD //BC，E 是 BC 的中点， AD=5，BC =12， CD= 4 2，∠ C=45°，点P 是 BC 边上一动点，设PB 的长为 x．
A D
⑴当 x 的值为 ____________时，以点 P、A、D、E
为顶点的四边形为平行四边形；
⑵点 P 在 BC 边上运动的过程中，以点P、A、D、E
为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
（河南中考）B P E C 【解析】⑴ 1或 11．
⑵由⑴知，当
BP
时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形．11
∴ EP AD5
过 D 作DF BC 于F，则 DF FC 4 ，∴ FP 3 ．∴ DP FP 2DF 232425
∴EP DP ，故此时平行四边形是菱形．
以点 P、A、D、E 为顶点的四边形构成菱形．
训练 3.已知：等边三角形ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN 在△ABC 的边AB上沿AB方向以1厘米 /秒的速度向B点运动（运动开始时，
C
P Q
A M D N B
别作 AB 边的垂线，与 △ ABC 的其它边交于 P 、 Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒． ⑴ 线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； ⑵ 线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为 t ．求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围．
【解析】 ⑴ 过点 C 作 CD
AB ，垂足为 D ．
则 AD 2 ，
当 MN 运动到被 CD 垂直平分时，四边形 MNQP 是矩形，
即 AM
3
时，四边形 MNQP 是矩形，
2
∴ t
3
秒时，四边形 MNQP 是矩形．
2
3
∵ PM
，
3
2
3
∴
S 四边形 MNQP
3 ．
2
C
Q
P
A M
N
B
⑵ ①当 0 t
1时，
S 四边形 MNQP
1
PM QN MN
1 3t
C
3 t 1 1
2
2
Q
3t 3 ； P
② 当 1
2 2 时
t
≤
≤
S
1 PM QN MN 1 3t3 3 t 1 四边形 MNQP
2
2
3 3 ； 2
A
M
N
B
③ 当 2 t 3 时，
C
P
S 四边形 MNQP
1
PM QN MN
1 3 4 t3 3 t 1
2
2
7 3 ． Q
3t
2
【点评】 像本题第一问这样是否存在特殊图形的问题，应先把特殊图形画
MN B
出，再根据图形引出的特殊条件进行求解．
A
训练 4. 如图所示， 在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上， 点 A 在原点， AB =3 ，AD =5 ．若
矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动．同时点 P 从 A 点出发以每秒
1 个单位长
度沿 A －B －C －D 的路线作匀速运动．当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形
ABCD 也随之停
止运动．
⑴ 求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；
⑵ 设 P 点运动时间为
t （秒）
①当 t= 5 时，求出点 P 的坐标；
y
B
C
②若△ OAP 的面积为 S ，试求出s 与 t 之间的函数关
系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．
【解析】⑴ P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝ 11（秒）
⑵ ①当 t＝ 5 时， P 点从 A 点运动到BC 上，
此时 OA=10 ， AB+BP=5，∴ BP=2
过点 P 作 PE⊥ AD 于点 E，则 PE=AB=3， AE=BP=2
∴OD=OA+AE =10+2=12
∴点 P 的坐标为（ 12，3）．
②分三种情况：
i．当 0 t ≤ 3 时，点 P 在 AB 上运动，此时OA=2 t，AP=t
∴S = 1
×2t×t= t 2
2
ii ．当 3 t ≤ 8 时，点 P 在 AB 上运动，此时OA=2t
1
∴ S =×2t×3=3 t
2
iii ．当 8＜ t＜11 时，点 P 在 CD 上运动，此时OA=2t， AB+BC+CP= t ∴DP= ( AB+BC+CD) (AB +BC +CP )= 11 t
∴ S = 1
×2t×(11 t)=t2+11t 2
综上所述，S 与 t 之间的函数关系式是：
当 0 t ≤ 3 时， S = t2；当 3 t ≤ 8 时， S =3 t；当 8＜ t＜ 11 时， S =t 2 +11 t
复习巩固
题型一由动点产生的特殊图形巩固练习
【练习 1】如图，在矩形 OABC 中，已知
A 、C 两点的坐标分别为 A 4,0 、 C 0,2，为 OA 的中点．设
D
点 P 是AOC平分线上的一个动点（不与点O 重合）．⑴ 试证明：无论点P 运动到何处，PC总与 PD 相等；
⑵当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，求P 的坐标；
⑶ 已知 E （1，－ 1），当点 P 运动到何处时， △ PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和
△ PDE 的周长； (
四中期中 )
【解析】
⑴ 可证 △ OPC ≌△ OPD ．
⑵ P 3,3
y
⑶ 由 C 0,2 、 E 1， 1 可知，直线 CE 的解析式 C
B
为 y
3 x 2
与直线 y x 相交于点 P （
1
，
1
）．
P
2
2
则
C △ PDE CE
ED 1
2
3
2
1
2
1
2
10
2 ．
O
D
A
x
【练习 2】 平面直角坐标系中，四边形
OABC 为矩形，点 A 、 B 的坐标分别为（
M ．N 分别从 O 、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动．其中，点 动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 N 作 NP ⊥ BC ，交 AC y 于 P ，连接 MP ．已知动点运动了 x 秒．请你探索：若 P 点 坐标为 （ 3-x ， 4
x ）当 x 为何值时， △ MPA 是一个等腰三角
3
C
形？有几种情况？写出研究成果并证明． 【解析】
当 x=1，或 x
54
，或 x
9
时， △ MPA 是一个等腰三角形
43
8
3， 0），（ 3， 4）．动点 M 沿 OA 向终点 A 运
N B
P
延长 NP 交 x 轴于 Q ，则有 PQ ⊥ OA
① 若 MP=PA ∵ PQ ⊥ MA O
M A
∴ MQ=QA=x
∴ 3 2x
x ， ∴ x=1
y
② 若 MP=MA ，则 MQ = 3 2x ， PQ= 4
x ， PM =MA= 3 x
N
3 C
B
在 Rt △PMQ 中， ∴ PM 2 MQ 2 PQ 2 ，
∴ (3 x)2
(3 2x)2
( 4 x) 2 ∴ x 54 P
3
43
③ 若 PA=AM ， ∴ PA= 5
x ， AM= 3 x
O
M
Q
A
3 ∴ 5
x 3
x ∴ x
9 3
8
综上所述， x=1，或 x
54
，或 x
9
43
8
【练习 3】 如图，在直角梯形 COAB 中， OC//AB ，以 O 为原点建立平面直角坐
y
标系， A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 A(8，0)， B(810)，， C (0，4) ，点 D 为 D
线段 BC 的中点，动点
P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线
OABD 的路线移动，移动的时间为 t 秒．
C
⑴求直线 BC 的解析式；
⑵若动点 P 在线段 OA 上移动，当 t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是
梯形 COAB 面积的 2
．
O
P
7
x
x
B
A
x
【解析】
⑴ 直线 BC 的解析式为
3
y= x+4
4
⑵ 过点 D 作 DM ⊥y 轴，垂足为 M
在 Rt △ CDM 中， CD
1
CB 5 ，DM
4 ，CM
2
∴
S 四边形 OPDC
S △ OCD S △ OPD
1 4 4
1
2 7t
2
梯形 COAB 的面积 S 梯形 COAB
1
10） 8 56
（4
2
解方程 7
t
8
2
56 解得 t
16
2
7
7
因此，当 t
16
时，四边形 OPDC 的面积是梯形 7
y
B
D
M 3
C
7
t 8
2
O
P
A
x
2
COAB 的面积的
．
题型二
由动点产生的函数关系 巩固练习
【练习 4】 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形
ABCDEF ，一动点 P 从点 A 出发沿着
A →
B →
C →
D →
E 方向匀速运动， 最后到达点 E ．运动过程中△ PE
F 的面积（ s ）随时间（ t ）
变化的图象大致是（
）
s
s
s
s
P
A ·
.
O
t
O
O
t O
F
t
t .
B
C
A
D
【解析】
B
．。

【练习 5】 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A 、 C 不重合），
点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB ．
⑴求证：① PE=PD ； ② PE ⊥ PD ；
⑵设 AP=x ， △ PBE 的面积为 y ． 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出
x 的
取值范围；
【解析】 ⑴ ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线，
∴ BC=DC ， ∠ BCP=∠DCP= 45°． A
∵ PC=PC ，
P
∴ △ PBC ≌△ PDC （ SAS ）．
∴ PB= PD ， ∠ PBC=∠ PDC ．
又 ∵ PB= PE ，
∴ PE=PD ．
② （ i ）当点 E 在线段 BC 上 (E 与 B 、 C 不重合 )时， B
E
∵ PB=PE ，
∴ ∠ PBE=∠ PEB ， ∴ ∠ PEB=∠ PDC ，
∴ ∠ PEB+∠ PEC=∠ PDC+∠ PEC=180°，
B
C
D E
.
D
C
∴ ∠ DPE=360° (∠ BCD +∠ PDC +∠PEC)=90 °，
∴ PE ⊥ PD ．
（ ii ）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时，
（ iii ）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图． A ∵ ∠ PEC=∠ PDC ，∠ 1=∠ 2， ∴ ∠ DPE=∠ DCE=90°， ∴ PE ⊥ PD ．
综合（ i ）（ ii ）（ iii ）， PE ⊥ PD ．
⑵ 过点 P 作 PF ⊥ BC ，垂足为 F ，则 BF=FE ． B
∵ AP=x ， AC=
2 ，
A
P
∴ PC= 2 - x ，PF =FC = 2
( 2 x) 1
2 x ．
2
2
PE ⊥ PD ．
D
P
1
H
2
C E
D
BF=FE=1
FC=1
(1
2
x )= 2
x ．
2 2 B F EC
2
x (1
2
x )
1 x
2 ∴ S △PBE =BF ·PF=
2
x ．
2
2
2
2
即 y
1 x
2 2 x (0＜ x ＜ 2 )．
2
2
第十六种品格：感恩
周恩来怀念他的两个母亲
周恩来不满一岁时，就由守寡的嗣母陈氏带在身边抚养，她把全部感情和心血都
倾注在对恩来的抚养和教育上，恩来称陈氏为“ 娘” ，陈氏给他请来一个乳母，叫蒋
江氏，一起住在西院的小屋里。

周恩来四岁时，嗣母就叫他识字，五岁时，送他进私
塾读书。

嗣母对他要求很严格，每天黎明时刻，就叫他起来，亲自在窗前教他读书。

有一次，恩溥玩刀子，几乎伤了他的眼睛。

于是，陈氏更不许他轻易出去，整天把他
关在屋里念书。

空暇时，就叫他背唐诗，给他讲故事，如《天雨花》、《再生缘》等。

1904 年，六岁的周恩来随同父亲、生母、嗣母和弟弟，一起搬到清河县清江浦（今江苏省清江市）居住，并到外祖父家的家塾里读书。

外祖父家里人很多。

家族间发生
了纠纷，常邀请他生母去调解。

这时家里的经济境况已经越来越不好了。

父亲为人老实，胆小，能力比较差，到
清江浦后，只谋得一个月薪16元的小差使。

家里常靠借钱过日子。

他的生母又劳累，
又愁闷，很快就一病不起。

那是1907 年上半年的事。

夏天，嗣母带他到宝应县她堂兄
家住过两个月，仍回到清江浦。

第二年七月间，嗣母又被肺结核夺取了生命。

周恩来
对陈氏怀有特别深厚的感情，他写过一篇《念娘文》，可惜没有保存下来。

抗战胜利
后他在重庆对记者说：“ 三十八年了，我没有回过家，母亲墓前想来已白杨萧萧，而
我却痛悔着亲恩未报” 。

今天我学到了。