中考数学专题题库∶圆与相似的综合题及详细答案

中考数学专题题库∶圆与相似的综合题及详细答案
一、相似
1．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：
（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD=AQ；
（3）BC2=CF•EG．
【答案】（1）证明：连接BD，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，
∵C为AB的中点，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
∵BD为半径，
∴AD是⊙B的切线
（2）证明：∵BD=BG，
∴∠BDG=∠G，
∵CD∥BE，
∴∠CDG=∠G，
∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，
∴∠ADQ=∠AQD，
∴AD=AQ
（3）证明：连接DF，
在△BDF中，BD=BF，
∴∠BFD=∠BDF，
又∵∠DBF=45°，
∴∠BFD=∠BDF=67.5°，
∵∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，
∴Rt△DCF∽Rt△GED，
∴ ,
又∵CD=DE=BC，
∴BC2=CF•EG．
【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=即可。

由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，∠DBC=∠CDB=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=，则∠∠ADB=，问题得证；
（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。

由题意易得∠AQD=-∠G，∠ADQ=-∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以AQ=AD；
（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。

2．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）；
（2）解：如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴
（3）解：①如图3，
，
∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC= ．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC= ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD= ，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE= =2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD= ．
综上所述，BD的长为或．
【解析】【解答】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴ ,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°≤α＜360°时，A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进
而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三
角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的
长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。

3．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P 是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．
（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________；
（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.
【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）
（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴．
∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2＋3m＋4）．
①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，
由△AQP∽△AOC得：，即：，
∴（舍去）或．
当时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（）；
②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，
由△AQP∽△AOC得：，即：，
∴＝0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．
综上所述：点P的坐标为（）或（）．
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），
∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．
令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）．
【分析】（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出抛物线的解析式；
（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。

4．如图，抛物线与轴交于A，B两点(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与轴交于点E，联接AD，OD．
（1）求顶点D的坐标（用含的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵，∴顶点D的坐标为(4,-4ｍ)
（2）解：∵
∴点A（6，0），点B(2,0)，则OA＝6，∵抛物线的对称轴为x＝4，∴点E（4，0），
则OE＝4，AE＝2，又DE＝4ｍ，
∴由勾股定理得：，，
又OD⊥AD，∴，则，解得：，
∵m＞0，∴抛物线的函数表达式
（3）解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
则△APH∽△AME，
在Rt△OAD中，，设点P的坐标为，
当△APH∽△AME∽△AOD时，∵，
∴，即，
解得：x＝0，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
②△APH∽△AME∽△OAD时，∵，∴，即
，
解得：x＝1，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或 .
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点D的坐标；
（2）要求抛物线的解析式，只须求出m的值即可。

因为抛物线与x轴交于点A、B，所以令y=0，解关于x的一元二次方程，可得点A、B的坐标，则OA、OD、AD均可用含m的
代数式表示；因为OD⊥AD，所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得,将OA、OD、AD代入可得关于m的方程，解方程即可得m的值，则抛物线的解析式可求解；
（3）△AME与△OAD中的对应点除直角顶点D、E固定外，其余两点都不固定，所以分两种情况：
①当△AME∽△AOD时，过点P作PH⊥x轴于点H，易得△APH∽△AME∽△AOD，可得相应的比例式求解；
②当△AME∽△OAD时，过点P作PH⊥x轴于点H，易得△APH∽△AME∽△OAD，可得相应的比例式求解。

5．在正方形中，，点在边上，，点是在射线上的一个动点，过点作的平行线交射线于点，点在射线上，使始终与直线垂直．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，试探索：的比值是否随点的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点在线段上，设，，求关于的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】（1）解：由题意，得 ,
在Rt△中，
∴
∵
∴∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴△∽△
∴
∴
∴
（2）解：答：的比值随点的运动没有变化理由：如图，
∵∥
∴ ,
∵
∴
∵
∴
∴
∴△∽△
∴
∵，
∴
∴的比值随点的运动没有变化,比值为（3）解：延长交的延长线于点
∵∥
∴
∵
∴
∴
∴
∵∥ , ∥
∴∥
∴
∵ ,
∴
又 ,
∴
∴
它的定义域是
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出 A B = B C = C D = A D = 8 , ∠ C = ∠ A = 90 °，在Rt△ B C P 中，根据正切函数的定义得出tan ∠ P B C = P C ∶B C，又 tan ∠ P B C
=，从而得出PC的长，进而得出RP的长，根据勾股定理得出PB的长，然后判断出△P B C ∽△ P R Q，根据相似三角形对应边成比例得出PB∶RP=PC∶PQ,从而得出PQ的长；（2）RM∶MQ的比值随点 Q 的运动没有变化,根据二直线平行同位角相等得出∠ 1 = ∠ A B P , ∠ Q M R = ∠ A，根据等量代换得出∠ Q M R = ∠ C = 90 °，根据根据等角的余角相等得出∠ R Q M = ∠ P B C ，从而判断出△ R M Q ∽△ P C B，根据相似三角形对应边成比例，得出PM∶MQ=PC∶BC,从而得出答案；
（3）延长 B P 交 A D 的延长线于点N，根据平行线分线段成比例定理得出PD∶AB=ND∶NA,又N A = N D + A D = 8 + N D ，从而得出关于ND的方程，求解即可得出ND，根据勾股定理得出PN，根据平行线的判定定理得出PD∥MQ,再根据平行线分线段成
比例定理得出PD∶MQ=NP∶NQ,又RM∶MQ=3∶4,RM=y，从而得出MQ=y,又 P D = 2 , N Q = P Q + P N = x +，根据比例式，即可得出y与x之间的函数关系式。

6．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO 的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【答案】（1）解：∵2BM=AO，2CO=AO，
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形
（2）解：连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）解：当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM，
∴MO=2PO=BD，
∴，
∵AO=2BM=2 ，
∴BM= ，
∴OE= ，DE= ，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM= ，
∴AE=AD+DE=
∴AB= ，
由勾股定理可知：BE= ，
易证：△PEO∽△PBM，
∴，
∴PB= ；
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴，
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM= ，
∴，
解得：x= ，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3 ，BM=3
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM
是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出▱OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；
（2）连接AP、OB，根据∠ABP=∠AOP=90°，判断出A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠OBM，根据等量代换得
出∠APB=∠OBM，从而判断出△APB∽△OBM，根据相似三角形对应边成比例得出;（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，
根据相似三角形对应边成比例得出,易证：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质得出BD=MO，OD=BM，故MO=2PO=BD，进而得出BM,OE,DE的长，易证△ADB∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD•AE，从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF 的长，易证：△PEO∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出BE ∶PB=OM ∶PM=2 ∶3 ，根据比例式得出PB的长；当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，设PM=x，BD=2x，由∠AOM=∠ABP=90°，得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出∠BPM=∠A，从而判断出△ABD∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出 AD ∶BD=PM ∶BM，根据比例式得出x的值，进而得出BD，AB，BP的长。

7．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；②推断： AG∶BE的值为：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC=________．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形
（2）解：连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=cos45°= 、 =cos45°= ，
∴ = ，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE
（3）
【解析】【解答】（1）②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为：；
（ 3 ）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC= a，
则由得，
∴AH= a，
则DH=AD﹣AH= a，CH= = a，
∴由得，
解得：a=3 ，即BC=3 ，
故答案为：3 ．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出∠BCD=90°，∠BCA=45°，根据垂直的定义及等量代换得出∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出∠CGE=∠ECG=45°，根据等角对等边得出EG=EC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形；②根据正方形的性质得出GE∥∥CD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出GC∶EC＝AG∶BE，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC∶EC=，从而得出答案；
（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，根据余弦函数的定义得出
,,从而判断出△ACG∽△BCE，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE ；
（ 3 ）根据∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出∠BEC=135°，根据△ACG∽△BCE，得出∠AGC=∠BEC=135°，故∠AGH=∠CAH=45°，然后判断出△AHG∽△CHA，根据相似三角形对应边成比例得出AG∶AC＝GH∶AH＝AH∶CH，设BC=CD=AD=a，则AC= a，根据比例式得出关于AH的方程，求解AH的值，根据DH=AD ﹣AH表示出DH，根据勾股定理表示出CH，根据前面的比例式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出BC的值。

8．如图，半径为4且以坐标原点为圆心的圆O交x轴，y轴于点B、D、A、C，过圆上的动点不与A重合作，且在AP右侧．
（1）当P与C重合时，求出E点坐标；
（2）连接PC，当时，求点P的坐标；
（3）连接OE，直接写出线段OE的取值范围．
【答案】（1）解：当P与C重合时，
，的半径为4，且在AP右侧，
，
点坐标为；
（2）解：如图，作于点F，
为的直径，
，
，
∽，
，
，
，，
，
点P的坐标为或；
（3）解：如图，连结OP，OE，AB，BE，AE，
，都为等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，
，
，
【解析】【分析】当P与C重合时，因为，的半径为4，且在AP右侧，所以，所以E点坐标为；作
于点F，证明∽，可求得CF长，在中求得PF的长，进而得出点P的坐标；连结OP，OE，AB，BE，AE，证明∽，可得，根据，即可得出OE的取值范围．
二、圆的综合
9．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=1
2
，点P在AB边上，⊙P的半径为定
长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．
（1）求⊙P的半径；
（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．
【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；
（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出
MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的
长，然后求出AM
MP
、
PN
NC
的值，得出
AM
MP
=
PN
NC
，利用两边对应成比例且夹角相等的两
三角形相似即可证明.
【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，
∵⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径，
在Rt△ABD中，tanA= 1BD
2AD =，
设BD=x，则AD=2x，
∴x2+(2x)2=152，
解得：5
∴半径为5
（2）相似，理由见解析，
如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
在Rt△AHP中，tanA=1
2
PH
AH =，
设PH=y，AH=2y，
y2+（2y）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，
在Rt△MPH中，
()22
356
-，
∴MN=2MH=6， ∴AM=AH-MH=12-3=9， NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴935535AM MP ==，35
5
PN NC =
， ∴
AM MP =PN
NC ， 又∵PM=PN ，
∴∠PMN=∠PNM ， ∴∠AMP=∠PNC ， ∴△AMP ∽△PNC.
【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.
10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若DB 平分∠ADC ，AB =52AD ，∶DE =4∶1，求DE 的长．
【答案】(1)见解析5 【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF =CF =EF ，再求出∠FDO =∠FCO =90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB =BC 即可得出它们的长，再利用△ADC ～△ACE ，得出AC 2=AD •AE ，进而得出答案． 详解：（1）连接OD ． ∵OD =CD ，∴∠ODC =∠OCD ．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．
（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．
又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴△ADC～△ACE，∴AC
AD =
AE
AC
，∴AC2=AD•AE．
设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．
11．如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC、BC．
（Ⅰ）求∠ACB的大小；
（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．
【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ
33
【解析】
分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；
（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．
详解：（Ⅰ）连接OA，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OP平分∠APB，
∴∠APO=1
2
∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=1
2
AOP=30°，
同理可得∠BCP=30°，
∴∠ACB=60°；
（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴33，OP=2OA=2，
∴OP=2OC，
而S△OPA=1
2
3
∴S△AOC=1
2S△PAO=
3
4
，
∴S△ACP=33
4
，
∴四边形ACBP的面积=2S△ACP33．
点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
12．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；
（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.
【答案】（1）（2）见解析；（3）9
【解析】
分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=1
2
AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的
余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．
详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=1
2
AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD．
∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．
∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，
A FBD
AD BD
EDA FDB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；
（2）连接EF，BG．
∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．
∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．
∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．
∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；
（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：
EF 2=EB 2+BF 2．
∵EB =4，BF =2，∴EF =2242+=25．
∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DE
EF
． ∵EF =25，∴DE =25×
2
2
=10． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EB
ED
，即GE •ED =AE •EB ，∴
10•GE =8，即GE =
4105，则GD =GE +ED =910
5
． ∴119101109222
S GD DF GD DE =⨯⨯
=⨯⨯=⨯⨯=．
点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．
13．如图所示，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，与斜边交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OE ，AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AOED 是平行四边形？并在此条件下求sin ∠CAE 的值．
【答案】(1)见解析;(2)10
10
. 【解析】
分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．
详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点， ∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点， ∴∠EDB=∠EBD ．（2分） 又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点， 又∵BD ⊥AC ，
∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴∠C AB=45°． 过E 作EH ⊥AC 于H ， 设BC=2k ，则EH=2
2
k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=
10
EH AE
．
点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
14．已知P 是O e 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O e 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1
sin 3
P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O e 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=25;(2)m=
2381
2n n
- ;(3) n 的值为955或9155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m
OH OCH V ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1
sin 63
POH P PO =Q 中，
＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1
sin 3POH P PO m Q 中，
＝，＝，∴3
m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2
2
93m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝． 在Rt △1O CH 中，2
2
363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭＝． 可得： 22
36933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝，解得23812n m n -：＝．
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由2381
2n n n
-＝，解得9n ：＝．
即圆心距等于O e 、1O e 的半径的和，就有O e 、1O e 外切不合题意舍去． ii ）11O P OO ＝，由22
233
m m n m -
+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 2381
2n n
-＝，解得9155n ：＝
． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝．
∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即2
8132n
n n
-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为
955或9
155
． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
15．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析 （2）233
π
【解析】 【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题． 【详解】 （1）连接OD ．
∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．
∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．
∵¶¶AE DE
=，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE
是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 26023360π⋅⋅=-⨯22233π=
-． 【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ． （1）求证：CM 2=MN.MA ；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．
【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】
（1）由··CM
DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；
（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()11
22
OA PO PC CO ==+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长． 【详解】
（1）O Q e 中，M 点是半圆CD 的中点，
∴ ··CM
DM =， CAM DCM ∴∠=∠， 又CMA NMC ∠=∠Q ， AMC CMN ∽∴∆∆， ∴ CM AM MN CM
=，即2·CM MN MA =； （2）连接OA 、DM ，
PA Q 是O e 的切线，
90PAO ∴∠=︒， 又30P ∠=︒Q ，
()11
22
OA PO PC CO ∴==+，
设O e 的半径为r ，
2PC =Q ，
()1
22
r r ∴=+，
解得：2r =， 又CD Q 是直径， 90CMD ∴∠=︒， CM DM =Q ，
CMD ∴∆是等腰直角三角形，
∴在Rt CMD ∆中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()2
22216CM r ==，
则28CM =，
22CM ∴=．
【点睛】
本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点。