中考数学专题题库∶圆与相似的综合题及详细答案

中考数学专题题库∶圆与相似的综合题及详细答案

一、相似

1．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．

求证：

（1）AD是⊙B的切线；

（2）AD=AQ；

（3）BC2=CF•EG．

【答案】（1）证明：连接BD，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，

∵C为AB的中点，

∴CD是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

∵BD为半径，

∴AD是⊙B的切线

（2）证明：∵BD=BG，

∴∠BDG=∠G，

∵CD∥BE，

∴∠CDG=∠G，

∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，

∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，

∴∠ADQ=∠AQD，

∴AD=AQ

（3）证明：连接DF，

在△BDF中，BD=BF，

∴∠BFD=∠BDF，

又∵∠DBF=45°，

∴∠BFD=∠BDF=67.5°，

∵∠GDB=22.5°，

在Rt△DEF与Rt△GCD中，

∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，

∴Rt△DCF∽Rt△GED，

∴ ,

又∵CD=DE=BC，

∴BC2=CF•EG．

【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=即可。由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，∠DBC=∠CDB=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=，则∠∠ADB=，问题得证；

（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。由题意易得∠AQD=-∠G，∠ADQ=-∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以AQ=AD；

（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。

2．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

【答案】（1）；

（2）解：如图2，

，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴

（3）解：①如图3，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC= ．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，

，

∵AC= ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= ，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE= =2，

∴AE=AD-DE=8-2=6，

由（2），可得

，

∴BD= ．

综上所述，BD的长为或．

【解析】【解答】（1）①当α=0°时，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC= ，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴ ,BD=8÷2=4，

∴．

②如图1，

，

当α=180°时，

可得AB∥DE，

∵，

∴

【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°≤α＜360°时，A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进

而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三

角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的

长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。

3．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P 是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．

（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________；

（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.

【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）

（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴．

∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2＋3m＋4）．

①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，