幂的运算、整式乘法

幂的运算、整式乘法
知识内容
1、同底数幂的乘法 5、单项式乘以单项式
2、幂的乘方 6、单项式乘以多项式
3、积的乘方 7、多项式乘以多项式
4、同底数幂的除法 一、同底数幂的乘法 知识点分析与讲解
法则 文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

符号语言：
m n m n a a a += (,m n 为正整数）。

注意 （1）、这些幂的度数相同，可以是数，也可以是式。

（2）、幂之间是乘法运算。

（3）、奇偶次幂对负底数的影响。

如,2332()a a a -⋅⋅与(-a)
（4）、法则的逆用 m n
m n a a a +=⋅ (,m n 为正整数）
例题分析讲解
1、直接应用法则
例 计算：（1）、24
a a -⋅ （2）、23()a a -⋅ （3）、25(2)(2)x y y x -⋅-
分析 底数是多项式的非同底数幂转化为同底数幂常用以下方式 222121()
,()n
n n n x x x x ++-=-=-
2、法则的逆用 例 若1
381x +=，求x 。

3、指数方程 例 若3
8n m n x
x x ++⋅=，且21m n =+，求,m n 的值。

分析 幂等底等指等（若有两等必有第三等）
4、计算误区
例 计算 （1）、1
01
0a a + （2）、101
0a a ⋅ 巩固与练习
1、计算 （1）、 21
2(5)5(5)n n
+-+⨯- (n 为正整数）
（2）、43
28262n n
n ++-⨯
⨯
2、已知2
3
x a +=，用含a 的代数式表示3x 。

3、已知10
28322n
⨯⨯=，求n 。

拓展与探究 已知23
212
2384x x ++-=，求x 的值。

二、幂的乘方 知识点分析与讲解
法则 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

符号语言：()()m n n m m n a a a ⋅== (,m n 为正整数） 注意 底数本身就是一个幂的形式，，底数应加括号。

例题分析与讲解 1、直接应用法则
例 计算 （1）、1()m n a + （2）、451
02()()a a
-+-
2、法则逆用 例 已知5,2m n a a ==，求3m n
a
+的值。

3、指数方程 例 若1124,273m n n m ++==，求m n +的值。

巩固与练习
1、计算 3586552()()a a a a a a +⋅⋅-⋅
2、已知4,16m n q q ==，求23m n q +的值。

3、若21
39273m
m
⨯⨯=，求m 的值。

4、比较4
27与43(3)的大小。

拓展与探究
1、若x=2m ,y=3+4m 用含x 的代数式表示y 。

2、若n 为正整数，试确定431n
-的末位数字。

三、积的乘方 知识点分析与讲解
法则 文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

符号语言：()n
n
n ab a b =⋅ (n 为正整数） 注意 （1）、底数是积的形式。

（2）、底数的系数以及其符号。

例题分析与讲解 1、直接应用法则
例 计算 （1）、24(2)xy - （2）、24(2)xy - （3）、3
32
2
(3
)(2)a a ⎡⎤--⎣⎦
2、法则的逆用 ()n
n
n
a b ab ⋅= (n 为正整数） 同指数幂相乘可以写成积的乘方，从而使计算简便。

例 计算 2010
2011
2012
1
5(2)()(1)
5
11
-⨯⨯-
巩固与练习
1、计算 （1）、6
2
2()a x y
⎡⎤-+⎣⎦
（2）、3222
011232
3
(2)(1)()2
xy xy --⋅-⋅-
（3）、2
009201017(5)
()736
-⨯ （4）、20092
01084(0.
25)⨯⨯-
2、试判断12
8
25N =⨯是一个几位的正整数。

3、若988,9a b ==，试用含,a b 的式子表示72
72。

拓展与探究 已知223311426a
b
c
⨯⨯=，试求2012
2
()ab c ⎡⎤-⎣⎦。

四、同底数幂的除法
知识点分析与讲解
法则 文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

符号语言：,x m
n
m n
a a a
-÷= (0,,,a m n m n
≠>为正整数） 注意 （1）、0a ≠ （0不能作除数，否则就没有意义）
（2）、m n > （目前还没有学习0指数和负指数） （3）、识记 0
1a =， (0)a ≠ 例题分析与讲解
1、直接应用法则 例 计算 322()m m x x x +-÷⋅-
2、法则逆用 例 已知6,12m n a a ==，求32m n
a -的值。

巩固与练习
1、24332()()m m m m ⎡⎤⋅÷-÷⎣⎦
2、4
476
()()()a b b a b a ⎡⎤-÷-÷-⎣⎦
3、若6340x y --=，求631010x
y ÷的值。

4、已知2,16x x y
a a -==，求y a 的值。

5、已知2111m n
n x
x x --÷=，且149m n y y y --÷=，求,m n 的值。

6、若11020,105
a
b
==
，求293a b
÷的值。

7、已知10,10m
n
a b ==，(,m n 为正整数），求432
10
m n -+的值。

（用,a b 的代数式表示）
拓展与探究 已知23,46,812a
b
c
===，求,,a b c 的关系。

整式的乘法
五、单项式乘以单项式 知识点分析与讲解
法则 系数相乘作积的系数，相同字母的幂相乘，只在一个单项式中出现的字母，则连同它
的指数一起做为积的一个因式。

注意 （1）、系数相乘-----有理数的乘法
（2）、相同字母的幂相乘-------同底数幂的乘法 （3）、单独出现的幂照写 （4）、有乘方先乘方 （5）、结果任为单项式。

例题分析与讲解 1、直接应用法则
例 计算 （1）、12(7)()n n a b a c +-⋅- （2）、5532
1(10)(910)3
⨯
⋅⨯
（3）、32232
(3)(
)()43
x y x x y -- 2、综合应用 例 若单项式223a b x y --与35813
a b a b
x y ++是同类项，求这两个单项式的积。

巩固与练习
1、计算 （1）、2223
2()3()4()n n a b x a b y a b ++⋅+⋅+
（2）、
22
33
2(0.5)(2)5
xy x y x x y ⋅---⋅
2、已知,m n 适合等式412(4)12n ma a a ⋅=，求关于,x y 的方程2
13nx my mx ny +=⎧⎨
+=-⎩
的解。

拓展与探究 已知3123m n x y +-与635n m x y ---的积与43x y 是同类项，求n
m 的立方根。

六、单项式乘以多项式
知识点分析与讲解
法则 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

注意 （1）、依据乘法分配律来完成 （2）、结果任为一个多项式 （3）、结果中的项数与原多项式的项数相同 （4）、多项式的每一个项都必须包含它前面的符号。

例题分析与讲解
1、直接应用法则 例 计算 2223
(632)(5)a a b a b a a b +-- 2、整式的混合运算 例 计算 222
(3)(3)3(1)x x x x x x x ++---- 3、化简求值
例 先化简，再求值 2
2
2
3(2)3()
a b a b b a b
a b a b ⎡⎤---+⎣
⎦ ，其中1
1,3
a b =-= 巩固与练习
1、21
(2)(31)2
a a
b b -⋅++ 2、2222
243()xy x y y xy x y xy ⎡⎤⋅-+-⎣⎦
3、23
2(32)3(2)m m m m m +--+
4、已知,x y 满足2(1)0x -=，
求代数式2222
31112()6()4226
xy x y xy x y ⋅--⋅-
的值。

5、若一个三角形的底边长为222x y xy y +-，高为6xy ，求这个三角形的面积。

拓展与探究
若果2(21)(1)a x x b x c -++-+与2
231x x --是同一个多项式，求a b c ++的值。

七、多项式乘以多项式 知识点分析与讲解
法则 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

注意 （1）、按一定的顺序，不重不漏 （2）、多项式中的每一项都必须包括它前面的符号 （3）、结果在合并之前，结果中的项数应等于两个多项式的项数之积。

（4）、结果要合并同类项。

例题分析与讲解
1、直接应用法则 例 计算 22()()x y x xy y -++
2、整式的混合运算 例 若(2)(1)x a x -+-的结果中不含x 的一次项，求a 的值。

3、化简求值 例 1
6(2)(6)(41)(7)3
a a
a a +---+ ，其中2a =-。

巩固与练习
计算 1、(2)(3)(2)9x x x x +---- 2、(23)(32)x x --
3、2
(23)x -
4、若3
2
2
5106(1)()x x x x x mx n -+-=-++恒成立，试确定,m n 的值。

5、化简求值 2
2
(2)(69)(215)y y y y y y ------ ，其中1
2
y =。

6、若一个长方体的长34a -、宽2a 、高a 分别为和，求其体积。

拓展与探究
试说明无论x 为何值，代数式2
2
(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++-++++的值与x 的取值无关。