平方根立方根知识点总结归纳及常见题型

平方根立方根知识点总结归纳及常见题型

“平方根”与“立方根”知识点小结

一、知识要点

1、平方根:

⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“a ±”

(a 称为被开方数)。⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。

⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“

a ”。 2、立方根:

⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“3a ”

(a 称为被开方数)。⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。

3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。

二、规律总结:

1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。

3、a 本身为非负数,即a ≥0;a 有意义的条件是a ≥0。

4、公式:⑴(

a )2=a (a ≥0);⑵3a -=3a -(a 取任何数)。 5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0

例1 求下列各数的平方根和算术平方根

(1)64;(2)2)3(-; (3)49151

; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值

(1)81±

; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.

(5)

44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-

例3、求下列各数的立方根:

⑴ 343; ⑵

10227-; ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.

当a ≥0时,a 的平方根是±

a ,即a 是非负数. 例4、若

,622=----y x x 求y x 的立方根.

练习:已知

,21221+-+-=x x y 求y x 的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a

例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.

练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.

四、巧解方程

例6、解方程(1)(x+1)2

=36 (2)27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例4、已知:y=

)1(32++-b a ,当 a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.

练习①已知

233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。

②已知

互为相反数,求a ,b 的值。

六、实数 1、实数:有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类:

①按属性分类: ②按符号分类

2.关于有理数的运算法则:运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍适用.在实数范围内,不仅可以进行加.减.乘.除.乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算,任何一个数都可以开立方运算.

3.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数.可以用几何作图方法,在数轴上表示某些无理数,如

、

等.

思考:(1)-a 2一定是负数吗?-a 一定是正数吗?

(2

)我们都知道

是一个无理数,那么-1在哪两个整数之间? (3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____

(4)实数包括____________或__________________;

(5)下列各数:()3

35,π,0.28,0,4,3.14159,0.121121112 ,3-,227.其无

理数有( )个

七、实数大小比较的方法

一、平方法比较23和3的大小二、求差法比较2

15-和1的大小

练习:比较下列各组数的大小: ①2-和3-; ②3和23-; ③15和543; ④7-和-2.45。

八、解答题(每题4分,共8分)

2、已知实数 a 、b 在数轴上表示的点如上图, 化简 b a ++2)1(+-b a b 10a -1