2021-2022学年度九年级数学第一学期期末学业水平测试(含答案)

2021−2022学年度九年级数学第一学期期末学业水平测试
（含答案）
（时间120分钟 满分120分）
一、选择题(共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求） 1．30°角的正切值为（ ）
A B ．
12
C ．
2
D 2．如图，D 为△ABC 边BC 上一点，要使△ABD ∽△CBA ，应该具备下列条件中的（ ） A ．
AC AB
CD CD
=
B ．
AB BC
CD AD
=
C ．
AB BD
CB AB
=
D ．
AC CB
CD AC
=
3．一元二次方程2
3
04
y y +-
=，配方后可化为（ ） A ．2
1()12
y += B ．2
1()12
y -=
C ．2
11()2
2
y +=
D ．2
13()2
4
y -=
4．将抛物线22y x =-向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．2(2)5y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)5y x =+-
D ．2(2)3y x =--
第2题图
第5题图
5．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得AC=BD=12cm ，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60°，则图②中摆盘的面积是（ ） A ．
45
2
πcm 2 B ．24πcm 2 C ．36πcm 2 D ．72πcm 2
6．方程29180x x -+=的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．18
7．下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A ．等圆中，相等的弦所对的弧也相等 B ．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
C ．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D ．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等 8．如果P （m,y 1）Q （-3, y 2）在反比例函数k
y x
=（k ＞0）的图象上，且y 1＞y 2,则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜-3 B.m ＞0或m ＜-3
C.-3＜m ＜0
D.m ＞-3
9．某小区2019年屋顶绿化面积为22000m ，计划2021年绿化面积要达到2880m 2．设该小区2019年至2021年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．2000(12)2880x +=
B ．2000(1)2880x +=
C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=
D ．22000(1)2880x +=
10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆的圆心O 在BC 上，半圆与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，则半圆的半径为（ ） A ．
127
B ．
712
C ．
72
D ．1
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数
c
y
x 在
同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
12．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内
二、填空题(本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果)
13．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝3
5
，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝______．
第11题图第12题图
15．如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，以BC 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC
于点E 、F ，则
的度数为________．
16．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的
情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，每件应降价 元． 17．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，AC ＝
cm ，动点M 从点A 出发，沿AB 以
1cm/s 的速度向点B 匀速运动，同时动点N 从点D 出发，沿DA 以2cm/s 的速度向点A 匀速运动．若△AMN 与△ACD 相似，则运动的时间t 为_____s ．
三、解答题(本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．） 18. (本题满分12分，每小题4分)解方程： （1）2
1
202
x x +-=（用配方法）； （2）3x (x ﹣1)=2(1﹣x )；
（3）2x 2
x ﹣5=0；
第14题图
第15题图 第17题图
19. (本题满分6分)如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．
第19题图
20．(本题满分6分)如图，用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)围成中间有一道篱笆的长方形花圃，现要围成面积为45m2的花圃，求AB的长是多少？
第20题图
21．(本题满分8分)如图，在斜坡P A 的坡顶平台处有一座信号塔BC ，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76︒，在坡底的点P 处测得塔顶B 的仰角为45︒，已知斜坡长P A=26m ，坡度为1:2.4，点A 与点C 在同一水平面上，且AC ∥PQ ，BC ⊥AC ．
请解答以下问题：
（1）求坡顶A 到地面PQ 的距离；
（2）求信号塔BC 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.00︒≈）
22．(本题满分7分)关于x 的一元二次方程2(2)420k x x --+=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k 是关于k 的一元二次方程210k mk ++=的根，求m 的值．
第21题图
23．(本题满分8分)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC ⊥PD 于点E ，AD 平分∠BAC ．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若DE =3，∠BAC=60°，求⊙O 的半径．
24．(本题满分10分)
如图，直线y mx n =+与双曲线k
y x
=相交于()1,2,(2,)A B b -两点，与x 轴交于点E ，与y 轴相交于点C ．
（1）求m, n 的值；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；
（3）在x 轴上是否存在异于D 点的点P ，使PAB DAB S S ∆∆=若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，说明理由．
第23题图
第24题图
25．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；
（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P的坐标．
第25题图
参考答案
一、选择题 （共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
14. 15. 70°; 16. 2; 17. 1.5或2.4
三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．） 18. (本题满分12分，每小题4分)
（1）x 11
4-, x 2=144
-
-; （2）x 1=1, x 2=-23;
（3）x 1x 2 19. (本题满分6分)
证明：（1）
四边形ABCD 是平行四边形
//AD BC ∴, …………1分
ADE CED =∠∴∠． CDE DAE ∠=∠,
∴ADE DEC △∽△． ……………3分 （2）
~ADE DEC ∆∆,
AD DE DE EC
∴
=, ……………4分 6AD =，4DE =,
8
3
CE ∴=． ……………6分
20. (本题满分6分)
设花圃的宽AB 为x 米，则BC=(24-3x )米，
由题意得：x (24-3x )=45， ……………3分 整理得：28150x x -+=，
解得：15=x ，23x =， ……………5分 检验：当5x =时，24-3x =9＜10，符合题意； 当3x =时，24-3x =15＞10，不合题意，舍去，
∴AB 的长是5m ． ……………6分 21. (本题满分8分) 解：（1）如图，过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，
斜坡AP 的坡度为1:2.4，
15
2.412
AH PH ∴
==． 设5AH k =，则12PH k =， 在Rt AHP ∆中，由勾股定理，得
()
()2
2
2251213AP AH PH k k k =+=
+=．
1326k ∴=，解，得2k =．
1(0)AH m ∴=．
答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10m ． ……………4分 （2）如图，延长BC 交PQ 于点D ， 由题意可知四边形AHDC 是矩形，
10CD AH ∴==，AC DH =．
45BPD ∠=︒，90BDP ∠=︒，
PD BD ∴=．
12224PH =⨯=m ，
设BC x =，则1024x DH +=+． ()14AC DH x ∴==-m ．
在Rt ABC ∆中，tan tan 76BC BAC AC ∠=︒=，即
4.0014
x
x ≈-． 解得19()x m ≈．
答：信号塔BC 的高度约为19m ． ……………8分 22. (本题满分7分)
（1）
方程2
(2)420k x x --+=是关于x 的一元二次方程，
20k ∴-≠，解得2k ≠，
又
一元二次方程2
(2)420k x x --+=有两个不相等的实数根，
∴其根的判别式2(4)42(2)0k ∆=--⨯->，
解得4k <， ……………3分 ∴k 的取值范围是4k <且2k ≠； ……………4分 （2）由（1）得：3k =， ……………5分
3k =是一元二次方程210k mk ++=的根，
23310m +∴+=，
解得10
3
m =-
． ……………7分 23. (本题满分8分) （1）证明：连接OD ， ……………1分
∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠DAE ， ∵OA=OD ，
∴∠ODA =∠OAD ， ∴∠ODA =∠DAE ，
∴OD ∥AE ， ……………2分 ∴∠ODP=∠AEP ∵AC ⊥PD ，
∴∠ODP=∠AEP=90°， ∴OD ⊥PE ，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴PD 是⊙O 的切线； ……………4分 （2）解：连接BD ，
∵AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，
∵AC ⊥PE ，
∴AD=2DE= ……………5分 ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AB=2BD ，
设BD=x ，则AB=2x ， ∵AD 2+BD 2=AB 2，
∴()222
(2x x +=
∴BD=2，AB=4， ……………7分 ∴AO=2，
∴⊙O 的半径为2． ……………8分 24. (本题满分10分)
解：（1）∵点A （-1，2）在双曲线k
y x
=
上，
∴12
k -=
， 解得，2k =-， ……………1分 ∴反比例函数解析式为：2y x
=-
， (2,)B b = ∴
2
12
b =-=-， 则点B 的坐标为（2，－1）， ……………2分 把A (-1，2)，B(2，-1)代入y mx n =+得：
122m n
m n
-=+⎧⎨
=-+⎩， 解得11m n =-⎧⎨=⎩
； ……………4分
（2）对于y =－x +1，当x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为（0，1）， ∵点D 与点C 关于x 轴对称，
∴点D 的坐标为（0，－1）， ……………5分 ∴△ABD 的面积=
1
2
×2×3=3； ……………7分 （3）P 点坐标为（－1，0）或（3，0）．（写对1个得2分） ………10分 25. (本题满分12分)
解：（1）由抛物线的表达式知，OC =3，
则OB=
tan 30OC
︒
=33=3OA ，解得OA =3，
故点A ，B ，C 的坐标分别为（－3，0）、（33，0）、（0，3） ……………2分 将A （－3，0），B （33，0）代入y=ax 2+bx +3，得： a =－
13，b=
2
33
∴2123333
y x x =-++； ……………4分
（2）延长PF 交x 轴于点E ，
由B ，C 的坐标得，直线BC 的表达式为y=3
-
x +3， ……………5分
设点P （m ，
2123333m m ）
，则点F （m ，3
-m+3），
∴l =2
1
33
333m m ⎛⎫⎛⎫-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-+
=
2
12333
3m m +
m -3
=213
m -+， ……………8分 （3）∵∠DPF=90°－∠DFP=90°－∠EFB=∠ABC=30°，
在Rt △PDF 中，PD=cos30︒⋅PF=
2
PF ，DF=sin30︒⋅PF=12PF ，
△PDF 的周长=PD+PF+DF=（
2
+1+12）PF =32+PF ，
则△PDF 的周长PF ……………9分 ∴当l 取到最大值时，△PDF 的周长取到最大值.
当m l 最大=94， ……………10分
此时，△PDF 的周长，
∴点P 的坐标为（
2，154），△PDF 的周长最大值为278
+．………12分。