2014年考研数学三真题及答案

2014年考研数学三真题

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四

个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)设limn→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有

(A)an>a2 (B) an

(C) an>a-1n(D) an

【答案】A。

【解析】

【方法1】直接法：

由limn→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有

an>a2

【方法2】排除法：

若取an=2+2n,显然a=2,且(B)和(D)都不正确；

取an=2-2n,显然a=2，且(C)不正确

综上所述，本题正确答案是(A)

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质

(2)下列曲线中有渐近线的是

(A)y=x+sinx (B)y=x2+sinx

(C) y=x+sin1x (D) y=x2+sin1x

【答案】C。

【解析】

【方法1】

由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=a

limx→∞fx-ax=limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b

所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C)

解法2

考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0

则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C)

综上所述，本题正确答案是(C)

【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线

(3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若px-tanx是比x3高阶的无

穷小，则下列选项中错误的是

(A)a=0 (B)b=1

(C)c=0 (D)d=16

【答案】D。

【解析】

【方法1】

当x→0时，tanx-x ~ 13x3知，tanx的泰勒公式为

tanx=x+ 13x3+o(x3)

又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13

【方法2】

显然，a=0，

limx→0px-tanxx3=limx→0a+bx+cx2+dx3-tanxx3=limx→0b+2cx +3dx2-sec2x3x2

由上式可知，b=1,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。

limx→0px-tanxx3=limx→02cx+3dx2-sec2x3x2=limx→02c3x+d-13

故c=0,d=13

综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较

(4)设函数f(x)具有二阶导数，gx=f01-x-f(1)x,则在区间[0,1]上

(A)当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x)

(B)当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)

(C)当f''(x)≥0时，f(x)≥g(x)

(D)当f''(x)≥0时，f(x)≤g(x)

【答案】D。

【解析】

【方法1】

由于f0=g0,f1=g1,则直线y=f01-x-f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f''(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的，曲线y=f(x)应位

于过两个端点(0,f(0))和(1,f1)的弦y=f01-x-f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)

【方法2】

令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x,则

F'x=f'x+f0-f(1),F''x=f''(x),

当f''(x)≥0时，F''x≥0。则曲线Fx在区间[0,1]上是凹的，又F0=F1=0，

从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x)

【方法3】

令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x,

则Fx=fx[1-x+x]-f01-x-f(1)x,

=1-xfx-f0-x[f1-fx]

=x1-xf'ξ-x1-xf'(η)ξ∈0,x,η∈x,1

=x1-x[f'ξ-f'(η)]

当f''(x)≥0时,f'(x)单调增，f'ξ≤f'(η)，从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x)

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明

(5)行列式0aa0 b00b0cc0 d00d=

(A)(ad-bc)2 (B)- (ad-bc)2

(C)a2d2-b2c2 (D) b2c2-a2d2

【答案】B。

【解析】灵活使用拉普拉斯公式

0aa0 b00b0cc0 d00d=-c0a0 0d0b0c0a d0b0=cdab 00000000 dcba

=cdab ∙dcba=- (ad-bc)2

综上所述，本题正确答案是(B)

【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算

(6)设α1,α2,α3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组

α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的

(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

【答案】A。

【解析】

记β1=α1+kα3,β2=α2+lα3，则

β1，β2=(α1,α2,α3)1001kl

若α1,α2,α3线性无关，则(α1,α2,α3)是3阶可逆矩阵，

故rβ1，β2=r1001kl=2,即α1+kα3,α2+lα3线性无关。

反之，设α1,α2线性无关，α3=0，则对于则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关，但α1,α2,α3线性相关，

所以α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的必要非充分条件。

综上所述，本题正确答案是(A)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关