第三章 电阻电路的一般分析方法.
第三章 电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓扑约束特性(KCL,KVL)为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。
方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。
3-1 在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数(1)每个元件作为一条支路处理；(2)电压源(独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。
解:(1)每个元件作为一条支路处理时，图(a)和(b)所示电路的图分别为题解3-1图(a1)和(b1)。
图(a1)中节点数6b==n，支路数11图(b1)中节点数7=bn，支路数12=(2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图(a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。
图(a2)中节点数4b=n，支路数8=图(b2)中节点数15b=n，支路数9=3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？解：题3－1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为(1)51==4n1--1=6-1-=n (2)3独立的KVL方程数分别为(1)61=84+--n+=1b1=111b (2)5+6+--n=图(b)电路在两种情况下，独立的KCL方程数为(1)61=5-=1n-7n (2)41=1-=-独立的KVL方程数分别为(1)6+1=95b1-n+=-=1271b (2)51=-n++-3-3对题图(a)和(b)所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？解：一个连通图G 的树T 是这样定义的：(1) T 包含G 的全部结点和部分支路；(2) T 本身是连通的且又不包含回路。
第03章电阻电路的一般分析
例3 列支路电流法方程。
a
解：
I1 7
+ 70V
–
I2
1+
5U
_
7 I3 11 +
U 2-
节点a: –I1–I2+I3=0 回路1: 7I1–11I2 - 70 +5U =0 回路2: 11I2+7I3 - 5U =0 增补方程：
b
U=7I3
（1-18）
§3.4 网孔电流法
网孔电流——假想每个网孔中有一个网孔电流。方向可 任意假设。
（1-22）
理想电流源(恒流源)支路的处理
①若恒流源支路仅有一个网孔电流穿过，则该网孔电 流= ± 该恒流源电流(同方向取+，否则取-)。 ②非上述情况时:设恒流源两端电压，当作恒压源列方 程。然后增补恒流源电流与网孔电流的关系方程。
例2 列网孔电流方程。
R1
R2 im2 I3s
+ im1 I5s
第三章
电阻电路的一般分析
重点: 1.支路电流法; 2. 网孔电流法; 3.回路电流法; 4.节点电压法。
对于简单电路，通过电阻串、并联关系或 Y—△等效变换关系即可求解。如：
i总 R
R
R i=?
+
-u
2R
2R
2R 2R
i总
i总
u 2R
+
- u 2R
111 u i i总 2 2 2 16R
例4 列网孔电流方程。
解:网孔电流方向如图所示。 (R1 + R3)i1-R3i3=-U2
+
U1 _
R1
iS
R3 i1
+
第3章 电阻电路的一般分析总结
第三章电阻电路的一般分析◆重点：1、支路法2、节点法3、网孔法和回路法◆难点：1、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列写电路方程。
2、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。
3-1 电网络中的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。
其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
1．支路——Branch流过同一个电流的电路部分为一条支路。
2．节点——node三条或者三条以上支路的汇集称为节点。
4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。
6．回路——loop电路中的任意闭合路径，称为回路。
8．网孔——mesh一般是指内网孔。
平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。
例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数79．树一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。
树中的支路称为“树支”——tree branch，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余”。
一个连通图的树可能存在多种选择方法。
10．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。
树一经选定，基本回路唯一地确定下来。
对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。
3-2 2B 法与1B 法3.2.1 支路法（2B 法）介绍1．方法概述以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写电流（KCL ）方程，对回路列写电压（KVL ）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。
从而得到含2b 个变量的2b 个独立方程。
又称为“2b 法”。
2．思路由上述方法可见，“2b 法”实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面，即电路的解一是要满足网络的拓扑约束，二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束。
3．方程结构b 个支路方程，)1(-n 个电流（KCL ）方程，))1((--n b 个电压（KVL ）方程。
第3章 电阻电路的一般分析
解2. I1 7 + 70V –
a
增补方程：I2=6A 11 由于I2已知，故只列写两个方程。 a：–I1+I3=6 7
I2
1 6A b
I3
避开电流源支路取回路： 1: 7I1＋7I3=70
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例6.
I1 7
+ 70V –
列写支路电流方程（电路中含有受控源）。 a
I2 1 + 5U _ b 11 2 I3 + 7 U _ 解
返 回
支路、结点、路径、回路和网孔的概念。 (1)连通图 图G的任意两结点间至少有一条路径 时，称图G为连通图。非连通图至少 存在两个分离部分。
(2) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
返 回
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(3)树 (Tree)
T是连通图G的一个子图, 并满足条件：
依据:
KCL、KVL以及元件的VCR。
方法: 根据列方程时所选变量不同，可分为支路电流法、
网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
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对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。
例1
3
I1 R1 uS1 + –
a I2 I3
R2 + – b 2 独立？ R3 求I1、I2和I3?
1 uS2
独立回路＝2，选为网孔。
+ –
R3
i1 il 1 i3 il 2 i2 il 2 il 1
uS2
b
回路1：R1 il1-R2(il2- il1) +uS2-uS1=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 自电阻 (R1+ R2) il1 -R2 il2 = uS1-uS2
电工技术-电子教案 第3章 电阻电路的一般分析方法
3.2 回路电流法（续6）
例1 试用网孔电流法求图示电路各个支路电流。
解： 选三个网孔为独立回路， 网孔电流分别为 im1 、 im2 及 im3 。 可写出网孔方程为
解此方程得
im11A， im20.5A， im31.5A
各支路电流为 i1im11A， i2im1im20.5A
3.2 回路电流法（续7）
回路电流法
回路电流法是以各回路电流作为未知变量来列写电路方程，
Байду номын сангаас
并求解回路电流，进而求取各支路电流和支路电压的方法。此 时所得方程称为回路方程。 只需对独立回路列写KVL方程，方程数为b- ( n-1)。 回路电流是假设的沿着每个回路边界构成的闭合路径自行流 动的电流。 支路电流等于流经该支路的回路电流的代数和。 若所选回路正好是网孔，则以各网孔电流作为未知变量来列 写电路方程，并求解网孔电流，进而求取各支路电流和支路电
压的方法称为网孔电流法。
3.2 回路电流法（续1）
回路方程的列写
该电路有6条支路、4个节点，因 此，该电路的独立回路所包含的回 路数为3。选回路1、2、3为独立回 路，这3个回路的回路电流分别用il1 、 il2 、 il3表示，则各支路电流与回 路电流的关系为
3.2 回路电流法（续2）
以回路电流为电路变量，对回路1、2 、3列写KVL方程
联立解得
故
3.3 结点电压法
结点电压法
结点电压法是以各结点电压作为未知变量来列写电路方程，
并求解结点电压，进而求取各支路电压和支路电流的方法。此 时所得方程称为结点方程。 只需对独立结点列写KCL方程，方程数为n-1。 在电路中任意选择某一节点为参考节点，则其它节点与参考 节点之间的电压称为节点电压，其参考方向由其它节点指向参 考节点。 任一支路都连接在两个节点上，所以支路电压等于节点电压 或相关两个节点电压之差。
第三章电阻电路的一般分析
第三章 电阻电路的一般分析一、基本要求1、学生通过学习本章会熟练运用结点电压法求解电路，包括含有理想电压源，受控源的电路。
2、会运用支路电流法、网孔电流法、回路电流法求解电路，包括含有理想电流源，受控源的电路。
二、本章要点本章主要介绍求解电路的一般分析方法，这种方法不要求改变电路结构。
首先选择一组合适的电路变量（电流或电压），根据KCL 和KVL 及元件的电压、电流关系（VCR ）建立该组变量的独立方程组，然后从方程组中解出电路变量。
1、支路电流法：是以支路电路作为未知量的求解方法。
分析电路时，对于n 个结点,b 条支路的电路根据KCL ，列出（n-1）个结点电流方程，同时根据KVL 列出m=b-(n-1)个独立回路电压方程，于是，总共得到以支路电流为未知量（即变量）的b 独立方程。
必须指出：如果电路的某一个支路含有恒流源,则此支路电流即为该恒流源的电流，在列含有恒流源回路的电压方程时，可设恒流源的端电压U 为未知量。
2、网孔电流法：是以“假想网孔电流”作为独立变量求解电路的方法，称为网孔电流法。
它仅使用于平面电路。
对具有m 个网孔的平面电路，网孔电路的一般形式有：R 11i m1+R 12i m2+R 13i m3+..+R 1m i mm =u S11 R 21i m1+R 22i m2+R 23i m3+..+R 2m i mm =u S22……………………………………………………………R m1i m1+R m2i m2+R m3i m3+...+R mm i mm =u Smm 3. 回路电流法是以“假想回路电流”作为独立变量的求解电路的方法称为回路电流法。
网孔电流法仅适用于平面电路,回路电流法, 则无此限制,它适用于平面或非平面电。
对于b 条支路，n 个结点的电路，回路数（l=b-n+1）与网孔电流法方程（3-1）相似，可以写出回路电流方程的一般形式，有R 11i l1+R 12i l2+R 13i l3+……+R 1l i ll =u S11R 21i l1+R 22i l2+R 23i l3+……+R 2l i ll =u S22……………………………………………… R l1i l1+R l2i L2+R l3i l3+……+R ll i ll =u Sll(3－1) (3－2)(1)式（3-1）和（3-2）中有相同下标的电阻R 11，R 22,R 33等是各网孔和各回路的自阻,有不同下标的电阻R 12，R 23,R 31等是各网孔和回路的互阻。
第3章 电阻电路的一般分析方法
(2) 列KCL方程： iR出= iS入
结点 1 i1+i6=iS3 代入支路特性（用结点电压表示）：
结点 2
un 2 un 2 un3 un 2 un3 un1 un 2 is 2 (2) R2 R3 R4 R6
i2 + i3 + i4 – i6= -iS2
电路物理量的关系 （电流、电压）
本课程主要研究电路分析，其基本方法： 确定变量 根据约束关系列方程 求解
特点：不改变电路结构，由根据约束关系建立方程求解。
回路电流法（网孔法）和结点电压法。
根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、
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3.1 支路电流法
一、支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路， 方程分析电路的方法，称为支路电流法。 步骤：
方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属 于一个回路, 该回路电流即IS 。
R3 _ Ui + US1_ R1 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
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+
I3
R4 I2 R5
IS R2 I1 _ US2 +
u2＝R2（iL1－iL2）
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回路电流法的一般步骤： (1) 选定独立回路，并在图中标出。 (2) 对独立回路，以回路电流为未知量，列写其 KVL方程。
注意自电阻总是正，互电阻可正可负； 沿着回路绕行方向，电源压升为正，压降 为负； (3)当电路中有受控源或无伴电流源时需另行处理； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)；
第三章--电阻电路的一般分析
i1 R1 ① R3 i3
i2
us+1
-
imu1sR2+2
im2
+ us3
-
-
(1)标出网孔电流的参考方向；
②
(2)以各自的网孔电流方向为绕行方向，
列KVL方程； 注意：im1和im2都流过R2！
孔1： R1 im1+R2 im1-R2im2 = us1 -us2 孔2：-R2 im1+R2 im2 +R3 im2 = us2-us3
3
③
4
5
④6
4个方程相加结果为0，不是相互独立的。
把任意3个方程相加起来，必得另一个方程。
相差一个符号，原因是各电流在结点① ② ③若
是流入(出)，则在结点④就是流出(入) 。
2019年9月13日星期
9
五
上述4个方程中，任意3个是独立的。
对具有n个结点的电路，独立的KCL方程为任意 的(n-1)个 。 与独立方程对应的结点叫做独立结点。
现在介绍有关 “图论”的初步知识， 目的是研究电路的连 接性质，并讨论电路 方程的独立性问题。
因为KCL和KVL与元件的性质无关， 所以讨论电路方程的独立性问题时，可以用一
个简单的线段来表示电路元件。
2019年9月13日星期
3
五
用线段代替元件，称支路。 线段的端点称结点 。
这样得到的几何结构图称为 图形，或“图(Graph)”。
二、 KVL的独立方程数 与KVL的独立方程对应的回路称独立回路。
因此，要列出KVL的独立方程组，首先要找出与之 对应的独立回路组。
有时，寻找独立回路组不是一件容易的事。利用 “树”的概念会有助于寻找一个图的独立回路组。
电路原理邱关源第3章 电阻电路的一般分析PPT课件
I3
+
6A 1
7
70V
–
b 由于I2已知，故只列写两个方程
结点a： –I1+I3=6
避开电流源支路取回路： 7I1＋7I3=70
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*例5 列写支路电流方程.(电路中含有受控源）
7 +
70V –
a
I1
1
I2 +
5U_
11 + U
2_
I3 解 7
结点a：
–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U
当不需求a、c和b、d 间的电流时，(a、c)( b、 d)可分别看成一个结点。
(1) 应用KCL列结点电流方程
对结点 a： I1 + I2 –I3 = – 7
因所选回路不包含
(2) 应用KVL列回路电压方程 恒流源支路，所以，
对回路1：12I1 – 6I2 = 42 3个网孔列2个KVL方
对回路2：6I2 + 3I3 = 0
解1 (1) n–1=1个KCL方程：
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
设电流 源电压
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+
70V –
1 6A
+ U
2
_
I3 7
b
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a
解2
I1 7 I2 11
2、如何以最少的方程以及最简化的方法求解电 路的未知变量。
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3.3 支路电流法
第三章电阻电路的一般分析方法
列写方程
回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：
b (n 1)
与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。
2. 方程的列写
i1 R1
+ uS1
–
a
i2
il1
R2 +
il2
uS2
–
b
回路1： R1i1 R2i2 uS2 uS1 0 回路2： R2i2 R3i3 uS2 0
增补方程：I2=6A
I3
由于I2已知，故只列写两个方程
7
I1 6 I3 0
避开电流源支路取回路：
7I1 7I3 70 0
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例3 列写支路电流方程 (电路中含有受控源）。
I1 7
+ 70V
–
a
I2
1
11
+
5U
7 2
－
解
I3 + U _
节点a： I1 I2 I3 0 7I1 11I2 5U 70 0 11I2 7I3 5U 0
I1 7
+ 70V
–
解2
I1 7
+ 70V
–
a
I2
1
11 ＋
6A
U2 －
b
a I2
11 1
6A
b
解1
I3
7
(1) n–1=1个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCL方程：
I1 I2 I3 0
(2) b– ( n–1) =2个KVL方程：
7I1 11I2 U 70 0
11I2 7I3 U 0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
第三章电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析本章内容：1．电路的图及KCL和KVL独立方程数 2．支路分析法3．网孔分析法4．回路电流法5．结点分析法本章重点：主要学习电阻电路的方程建立及一般分析方法（支路分析法、网孔分析法、节点分析法、回路分析法。
其中，支路分析法是最基本的方法）。
本章难点：独立回路数的确定, 回路分析法及节点分析法.§3-1 电路的图本节介绍有关图论的初步知识，学习应用图的方法选择电路方程的独立变量一、电路的图（G）数学上的图：是边（支路）和顶点（结点）的集合，每一条边都连到相应的顶点上，边是抽象的线段，当移去边时，顶点保留，当移去顶点时，应将顶点所连的支路移走。
1．电路的图（连通图G）：是将支路画成的抽象线段形成的节点和支路的集合，结点相对于数学图的顶点，支路相当于数学图中的边。
支路是实体。
KVL和KCL 与元件的性质无关，故可用图讨论其方程。
2．无向图：画出的没有方向的图为无向图3．有向图：画出的有方向的图为有向图4．连通图：任意两个结点之间至少有一条支路或路径时的图为连通图。
二、电路的图的画法（有几种，其中简便的画法）1．一般将电阻和电压源串联的组合，电阻和电流源并联的组合看成一条支路, 将流过同一个电流的每一个分支看成一条支路。
如（b）2．指定电流和电压的参考方向，一般选关联参考方向。
如图（c）(a) (b) (c)§3-2 KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数（n个结点电路，KCL的独立方程是n-1个）将电路的有向图，结点和支路加以编号，如下图，对结点①②③④列写KCL 方程有由于每条支路与两个结点相联，其电流从一个节点流出，从另一个结点流入，一正，一负（从表达式可见），将上面4个方程相加，等式两边为0，说明4个方程不是独立的；将上面3个方程相加，等式两边不为0，说明3个方程是独立的。
可见，n个结点电路，n-1个结点的KCL方程是独立的一、KVL的独立方程数（b条支路，n个结点，KVL为b-(n-1)个）KVL的独立方程数等于独立回路数独立回路数等于基本回路数，回路与支路的方向无关，以无向图讨论。
第三章 电阻电路的一般分析
例
I1
＋ US1
①
＋
－
(
U S1 U S 2 1 1 1 U n1 IS3 R1 R2 R3 R1 R2 U S1 U S 2 IS3 R1 R2 U n1 1 1 1 R1 R2 R3
)
－
R1
R2
R3
IS3
对n=2的电路有
U n1
GU I G
I1 I l 1 I 2 I l1 I l 2 I3 Il2
据KVL得
R1 I1 R2 I 2 U S1 U S 2 R I R I U 3 3 S2 2 2
(不可解)
回路电流法比支路电流法求解的方程数少（n1）即只有(b-n+1)个。
由于有受控源，100=R12 ≠R21 = –1350 ！
例2．求uA 、iB
a iB 4Ω
6A
b + 20V
-
6Ω
iC
+ u A-
c
3Ω
2 uA
d
－ 2Ω 6iB ＋
a
b
c
o
解：回路取lbodb(2uA) 、 labdoa(iB) 、 lbcdb (iC)， lacdoa(6A) labdoa 7iB +3×6＝6iB -20 lbcdb 8iC+2×6 = 20
其系数规律为：
R11 ─自电阻,回路l1的所有电阻之和(恒正)(R22…Rmm 同)；
R12 、R21 ─互电阻,回路1、2的公有电阻“代数和”，Il1 、 Il2在互电阻上同方向时取正；反之取负。无受控源时相 等.
US11 ─ 回 路 l1 沿 Il1 方 向 上 电 压 源 电 位 升 的 代 数 和 (US22…USmm 同)。
3 第 三 章 电阻电路的一般分析
重点掌握
1. 图论有关概念、独立结点、独立回路。 图论有关概念、独立结点、独立回路。 2. 电路三大分析法： 电路三大分析法： 支路电流法 结点电压法 回路电流法（含网孔电流法） 回路电流法（含网孔电流法）
★§3.1 ★§
一、概念 i1 R1 R2 + uS – ② i2
支路与结点的移去： 支路与结点的移去：支路必须 终止在结点上， 终止在结点上，移去支路不意 味着移去结点，但移去结点必 味着移去结点， 须移去与之相连的所有支路， 须移去与之相连的所有支路， 因此可以存在孤立结点 孤立结点。 因此可以存在孤立结点。
6. 回路(loop)： 回路 ： 由支路所构成的一条闭合路径。 由支路所构成的一条闭合路径。 该闭合路径中与每个结点相关联 的支路数为2。 的支路数为 。 7. 网孔（mesh)：平面 网孔（ ： 图中的自然孔。 图中的自然孔。孔内区 域中不再含有任何支路 和结点。 和结点。 1 ②
i −i −i = 0
− i 2 + i 3 + i4 = 0 − i4 + i 5 − i 6 = 0 u1 + u2 + u3 = 0 − u3 + u4 + u5 = 0 − u2 − u4 + u6 = 0 u1 = R1 i1 − uS 1 u2 = R2 i2 u3 = R3 i3 u4 = R4 i4 u5 = R5 i5 + R5 i S 5 u6 = R6 i6
② ① ③
树支
④
连支
9.单连支回路（基本回路):只有一个连支 单连支回路（基本回路 只有一个连支 单连支回路 的回路。 个单连支回路. 的回路。有(b-n+1)个单连支回路 个单连支回路
电路第四版答案解析(第三章)
第三章电阻电路的一般分析电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓扑约束特性(KCL,KVL)为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。
方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。
3-1 在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数(1)每个元件作为一条支路处理；(2)电压源(独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。
解:(1)每个元件作为一条支路处理时，图(a)和(b)所示电路的图分别为题解3-1图(a1)和(b1)。
图(a1)中节点数6b==n，支路数11图(b1)中节点数7b==n，支路数12(2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图(a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。
图(a2)中节点数4b=n，支路数8=图(b2)中节点数15n，支路数9=b=3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？解：题3－1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为(1)51=-4-n1==61=-1-n(2)3独立的KVL方程数分别为(1)641=8-b1-n+=+1=111b(2)5+6+--n=图(b)电路在两种情况下，独立的KCL方程数为(1)651=-=1-n7-n(2)41=1-=独立的KVL方程数分别为(1)6+1=95b1-n+=-=12711=+-nb(2)5+-3-3对题图(a)和(b)所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？解：一个连通图G的树T是这样定义的：(1) T包含G的全部结点和部分支路；(2) T本身是连通的且又不包含回路。
3第三章电阻电路的一般分析
b 1 a 2 3 5
树支
7 8 e
选树 连支
6 9 d
图G
2 3 4
5
8
4
2 8 5 4
独立回路 l=5 3
例题：
该图可写出多少个独立的KCL、 KVL方程；该图具有多少个独立 的电流变量和电压变量。 答:该图共有5个结点，10条支路。 独立结点数为5-1=4个；独立回路数为10-4=6个。 所以可写出4个独立KCL方程，6个独立KVL方程。 该图中数支数为4个，连支数为6个。
US2=6V
－
根据回路电流和支路电流的关系
I1=IⅠ=6A ；I2=IⅡ=－2A ； I3=IⅠ+IⅡ=4A
2.电路如图所示，应用网孔分析法求网孔电流 及支路电流I。 0.5I _
6Ω +
解：（1） 选定网孔电流I1、
I I1 I2 2Ω 5Ω
I2的参考方向如图所示。
（2） 列网孔方程:
49
+ _
三、支路电流法解题步骤: (1)确定支路(电流)数b和节点数n b=6，n=4 (2)列出独立的KCL方程(n-1)=3个 R1 a : I 1 + I5 = I2 b: I2 = I3+ I4 I1 c: I3 + I6 = I1 + U 1 (3)列出独立的KVL方程 b-(n-1)=3=（网孔数） R2 b R3 a
(6 2) I1 2I 2 49
（3） 解方程组, 得
补充方程
2I1 (2 5) I 2 0.5I
I I1 I 2
I1 6.5 A, I 2 1.5 A, I 5 A
3.E1=1V，E3=6V，IS=6A，R1=3，R2=2， R3=1，R4=4，求网孔电流。
电路分析第03章线性电阻电路一般分析方法汇总
支路法的特点： 直接法。要同时列写 KCL和KVL方程， 方程数
较多，且规律性不强(相对于后面的方法)。
例1. US1=130V, US2=117V, R1=1, R2=0.6, R3=24.
a
I1
I2
I3
R1
R2
+ 1 + 2 R3
KCL自动满足。回路电流法只需对独立回路列写KVL方程。
回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路 的方法。
回路电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流法 相比，方程数可减少n-1个。
i1 R1
+ uS1
–
a
i2 R2 il1 + il2 uS2
–
b
回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 i3 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 R3
R1 i1
R5 i5 4
3
i6
R6 + uS –
回路3： u1 + u5 + u6 = 0
可以检验，式(3)的3个方程是独 立的，即所选的回路是独立的。
独立回路：独立方程所对应的回路。
综 合 式 (1) 、 (2) 和 (3) ， 便 得 到 所 需 的
6+3+3=6=2b个独立方程。将式(1)的6个 i2 支路方程代入式(3)，消去6个支路电压，1 便得到关于支路电流的方程如下：
其中 Rkk:自电阻(为正) ，k=1,2,…,l ( ∵绕行方向取参考方向)。
+ : 流过互阻两个回路电流方向相同 Rjk:互电阻 - : 流过互阻两个回路电流方向相反
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u1=-us1+R1i1 u2=R2i2 u3=R3i3 （1）i1…i6表示）
u4=R4i4 u5=R5i5+R5is5 u6=R6i6
选网孔作为 I：u1+u2+u3=0
独立结点1、2、-i1+i2+i6=0
独立回路
II：-u3+u4+u5=0 （3）
3列出KCL方 程，有
-i2+i3+i4=0 （2）
Rkik是K支路上RK电压降，usk是K
支路上电压源,若ik方向与回路方向一致取+，反之取-，USK 方向与
回路一致取-，反取+，若是电流源和电阻并联，把它等效成电压源
①•
2 I
6•②III 4 3 II
•③
1
5
•
用支路电流法列电路方程步骤：
1、选各支路电流参考方向
2、对独立结点列出n-1个电流方程
独立回路：图中1、5、8和2、5、6列出两个
②•
KVL方程，而1268也可列出一个KVL方程， 但可由上述两方程相减得到，所以三个回路
1
方程两个独立，所以三个回路两个独立回路 ①• 8
5
•
7
2 6
•③
怎样找独立回路？利用树的概念
4
3
•
树：一个连通图G的树T:⑴包含G的全部结
④
点和部分支路，⑵而树本身是连通的，⑶而且不包含回路。对于上
述图，符合树概念的树很多：如a、b、c
②•
152
①• 8 4
7•⑤6 • ③ 3
•
④
a
②
•
1 ①• 8
52 7•⑤6
③
•
4
3
④•
b
②•
15 2
①• 8 4
•⑤6 7
•
③
3
•
④
c
②
②•
•
1
2
1
2
①• 8 7•⑤6 • ③
①• 8
4
•④ 3
4
不是树，因为有回路
•⑤6 • ③ 7
3 不是树，因为非连通， • ④ 第四个结点没有包进去
例：
②• 2
1
选1、4、5为树， ①• 3
•③
则基本回路：135、 5 1245、456
4 ④•
列出KVL方程：
②•
1
2
①• 1 3 2 • ③
5
43
•
④
回路1：u1+u3+u5=0 回路2：u1-u2+u4+u5=0
6
6
这是3个独立方程，独立方程=基本回
路数
回路3：-u4-u5+u6=0
3-3支路电流法
•
• •
（a）
•
•
•·
•
•
②• 2
1
•③
3
①•
5
4
6
•④
（c）
•
（b）
3-2 KCL和KVL独立方程数
ห้องสมุดไป่ตู้
上图（c）中4个结点，6支路的电路的图，结点和支路的编号已在 图中标出，
支路的方向：关联方向，i和u关联
对结点1、2、3、4分别列出KCL方程式：1、i1-i4-i6=0
上式4个相加，0=0，即只有三个独立， 2、-i1-i2+i3=0
3 i3
对于结点1列方程：i2=i1-i3 即i2不是独立的，由i1和i3决定，设想有 两个电流im1、im2分别沿网孔1、2流动----称网孔电流，显然：i1=im1， i3=im2，但i2=im1-im2，以网孔电流作为未知量，对全部网孔列KVL方 程（因独立回路），这种方法称为网孔电流法。
图论可以证明：结点数为n，则树支数为n-1
基本回路：（单连支回路）：因为树连接所有结点，又不构成回 路，加一个连支则构成一个回路------称为基本回路
例：4个结点6条支路，选取1、4、5为树
②•
1
2
1
③
①•
3
•
①•
•② ③
•
②
•
1
1
3•
2
•
5
4
•
④
5
4
•④
5
5
4
•
三个基本回路
6
6
54
每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并6不出现在其它连支
3、选b-n+1个独立回路，指定回路方向按 Rkik= usk
若有支
路仅有电流源，无并联电阻，称无伴电流源要另作处理，再利用
此法
3-4网孔电流法
以网孔电流作为未知量，仅适用于平面电路
例：（以例说明）
＋
•
R1 i1
us1－
① i3
•
R2 i2 R3 ＋ us2
－•
•
＋
us3
－
1 i1
①
• 2 i2 im2 im1
III：-u2+-u4+u6=0
-i4+i5-i6=0
（1）代入（3）式得：R1i1+R2i2+R3i3=us1
-R3i3+R4i4+R5i5=-R5is5 （4）
-R2i2-R4i4+R6i6=0 （2）和（4）----支路电流方程，方程个数6个，比12个减少一半
（4）方程写成：Rkik= usk
例：（以实例说明）
＋ ＋
＋
① • i2
R1 i1 R2 us1
－
－
u1 R1 ＋ us1－
R6
②
•
i4
R4
i3
R3
④•
a
•③
R5
is1
i5
R5
us5－
＋
u5
－
6
①• 2 •② 4 • ③
3
1
5
•
④
b
把R1、us1作为一条支路， 把R5、is5并联作为一支路， 4个节点，6条支路，对每 个元件列出支路电压（以
第三章 电阻电路的一般分析方法
3-1电路的图 1、图：是结点和支路的集合 支路：抽象的线段（直线或曲线） 结点：支路的交点 电路的图：每一个元件用线段表示，US1和R1两支路，所以5个结 点（b） 有时：将i相同的归一个支路，则（b）变成4个结点，7支路（C） 有时：将两个并联支路作为一个支路，四个结点，6支路 有向图：支路给了方向的图；反之，无向图 *电路的图不同情况得到不同的结点数和支路数 *基尔霍夫KCL、KVL与元件性质无关，所以可利用图讨论如何 列出电路方程
中，全部基本回路构成基本回路组，基本回路组每一个回路是独 立的，所以由基本回路组列出的KVL方程数是独立的，对于支 路数为b，结点数为n则树支数为n-1，总支路数b-（树支数n-1） =连支数，而每一连支应对应一个基本回路，所以基本回路数 =b-（n-1）=b-n+1
•
平面图：除连接的结点外，每条支路无交叉
树支：树包含的支路，上图T1的树支有（5、6、7、8），相应的 连支为（1、2、3、4），对b所示树T2，其树支为（1、3、5、 6），相应的连支为（2、4、7、8）
*：树支和连支一起构成图G的全部的支路
上述a、b、c所示G的每一个树有4条支路，d有5条，不是树，e 只有3条，也不是树，5个结点，树支数为4，
因为一个节点流出，另一个节点流入， 出现2次，可以证明：n个结点，只有n1个方程独立，n个结点，只有n-1个独 立的结点。
3、i2+i5+i6=0 4、-i3+i4-i5=0
路径：从一个结点出发，到另一个任意结点
连通图：图G中任两个结点间至少存在一条路径，这种图称为连通 图
回路：起结点=终结点（1、5、8）回路
•
•
非平面图：有交叉
例：上面的例子为平面图
•
•
网孔：平面图的一个网孔就是一个自然孔 （1、3、5）、（2、3、7）、（456） （478）（689）是网孔 （1268）不是网孔，因为内部有支路
②•
132
①• 5 •④7 •③
4 6
8
•
⑤
网孔数=独立回路数，每一个网孔就是独立回路
9
右边网孔数为5，独立回路数b-n+1=9-5+1=5