柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用

马玉莲

（西北师大学数学与信息科学学院，，，730070）

摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.

关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言

微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 都可导;

(3) '()f x 和'()g x 不同时为零;

(4)

()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得

()()()

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.

2.柯西中值定理的证明

2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理

罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且

()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得

因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

2.2利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理

讨论 显然，当'()g x x =时， (1)式即为拉格朗日公式， 所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.

但若换一个角度，将()f t 和()g t 看成xy 平面上某条曲线()y F x =的参数方程，即()y F x =可以表示为：

(),

(),x g t y f t =⎧⎨

=⎩

[,],t a b ∈ 易知()y F x =在[(),()]g a g b （或[(),()]g b g a ）

上连续, 在((),())g a g b （或((),())g b g a ）上可导，

由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点

(,())F ηη过该点的斜率,

()F η等于曲线两端连线的 斜率

()()

()()

f b f a

g b g a --（如图1所示）. 设x η=对应于 图1

(,)t a b ξ=∈， 则由参数形式函数的求导公式，有

'

()()()

()()()()

f f b f a F

g g b g a ξηξ''-==-.

所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.

证明 由闭区间上连续函数的性质，以及()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且导数恒不为零，且不难证明，()g x 在[,]a b 上严格单调，不妨设()g x 严格单调增加.下证()g x 严格单调，只证()g x 在[,]a b 上严格单调递增.

())f b

x

取1x ，2x ∈[,]a b 规定21x x <由g 的连续性知21()()g x g x <那么

1212

()()

0g x g x x x ->-,

对上式求极限

12

1212

()()

lim

0x x g x g x x x →->-,

又

12

'1212

()()

()lim

x x g x g x g x x x →-=-,

得到'2()0g x >，由2x 的任意性知'()0g x >故()g x 在[,]a b 上严格单调递增. 同理可得()g x 在[,]a b 上严格单调递减, 故单调性得证.

记()g a α=，()g b β=，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在[,]αβ上存在()g x 的反函数1()g y -，1()g y -在[,]αβ上连续，在(,)αβ可导，其导数

1'1

[()]'()

g y g x -=

， 并且1()g y -在[,]αβ上也是严格单调增加的.

考虑[,]αβ上的复合函数1()(())F y f g y -=，由定理条件和以上讨论，即知

()F y 在[,]αβ上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在(,)ηαβ∈，使得

11'

()()(())(())()()

()()()

F F f g f g f b f a F g b g a βαβαηβαβα-----===---.

由()g x 和1()g y -的关系，在(,)a b 中一定存在一点ξ，满足()g ξη'=，于是

{}

{}

1''

1

'

1

1

'

'()1()

()(())(())[()]()'()()y y x g f F f g y f g y g y f x g x g η

η

ηξξηξ-'---'====⎧⎫==⋅=⋅=⎨⎬

⎩

⎭代入上式就得到了定理结论.

2.3利用闭区间套定理证明柯西中值定理