数值计算方法第4章 非线性方程(组)的数值解法 参考答案
数值方法课后习题答案第4章
解线性方程组迭代法
第四章 解线性方程组迭代法
习题4-1
第四章
解线性方程组迭代法
Байду номын сангаас
第四章
解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
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解线性方程组迭代法
第四章
习题4
习题4
习题4
习题4
8.
设A为严格对角优势阵，证明：
习题4
9. A是n阶非奇异阵，B是n阶奇异阵，试求证：
习题4
习题4
P91
P91.
x0
p0 r0
Ap0
x1
r1
p1
Ap1
x2
r2
0
3
7
30/29=
17/29=
1360/841=
1530/841=
14/9=
0.3
P91
1.034482758 0 1 8 10/29= 0.344827586
0.570796875 0.493315839 0.500166165 0.499999398 1.001438281 0.998173633 1.000074653 1.000013383 -0.49943416 -
0.500558834 0.499923587 0.500003961
w=1.03
10 29 a0 =10/29=0.344827586
2890/841=3.436385254 260100/24389=10.66464388 a1 =8381/26010=0.322222222 -289/29= -9.965517218 b0 =289/841=0.343638524
数值计算方法第四章习题部分参考答案
3) 快速弦截法 相应的弦截迭代公式为：
f x k x x x x k 1 k k k 1 f x f x k k 1
x k e 4 c o s x k x x x k k k 1 x x k k 1 e 4 c o s x e 4 c o s x k k 1
2) 弦截法：取 x0
4
, x1
2
相应的弦截迭代公式为：
f xk xk1 xk xk x0 f xk f x0 xk e 4co sxk xk xk x0 exk 4co sxk (e4 4 2 ) 2
因此有 x 1 . 3 , 1 . 6
2 x3
x 又：
,易知 x 为单调递减函数，所以有
2 x 0 . 9 1 0 3 1 3 ( 1 . 3 )
由压缩影像定理知该迭代式收敛。
2） 对于该迭代式，相应的迭代函数为：
x 3 1x2
利用公式作迭代得：
x 1 e 4 c o s x 1 x x x x 0 . 8 7 7 0 0 3 2 1 1 0 x 1 4 e 4 c o s x ( e 4 2) 1 2
x2 e 4cosx2 x3 x2 x2 x0 0.906360 ex2 4cosx2 (e4 4 2 ) 2 x3 e 4cosx3 x4 x3 x3 x0 0.904701 ex3 4cosx3 (e4 4 2 ) 2
2 2 3 x 1 . 6 1 1 . 6 0 . 5 6 4 1 1 3
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
非线性方程组数值解法-非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法-非线性方程组数值解法非线性方程组数值解法-正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为(1)式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。
若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。
在R n中记ƒ＝则(1)简写为ƒ(尣)=0。
若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。
方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。
对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。
除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。
根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。
牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：(2)式中是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。
这个程序至少具有2阶收敛速度。
由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。
由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。
为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。
效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，牛顿法(2)的效率为。
牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即式中I是单位矩阵。
牛顿法是局部收敛方法,因而对初始近似尣0限制较严，为放宽对尣0的要求,扩大收敛范围,通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：(3)式中ωk的选择应使成立。
为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序(4)这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为 p =m+1，由尣k计算的工作量为W =n2+mn，于是该法的效率。
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
A 1 max aij
1 j n i 1
A max aij
1i m j 1
n
非线性方程组的数值解法
考虑如下方程组
f1 x1 , x2 ,, xn 0 f x , x , , x 0 2 1 2 n f n x1 , x2 ,, xn 0
式中 f1, f 2 ,, f n 均为 x1, x2 ,, xn 的多元函数，向量形式为
Fx 0
其中
f1 x x1 0 , x R n , 0 Fx f n x xn 0
非线性方程组的数值解法
k
0 1 2 3 4
x
k
1
, x2
2
max xik xik 1
1 i 2
(0,0) (0.2250,0) (0.2186919321,0.0546679688) (0.2325557961,0.0531784155) (0.2317490826,0.0556448880) 0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648
1 4 0
非线性方程组的数值解法
x10=0; x20=0; k=0; while 1 k=k+1; x1k=(1+x20-0.1*exp(x10))/4; x2k=(x10-x10^2/8)/4; %雅克比迭代法 %x2k=(x1k-x1k^2/8)/4; %高斯-赛德尔迭代法 err1=abs(x1k-x10); err2=abs(x2k-x20); err=max(err1,err2); if err<=0.00000000005 break; end x10=x1k; x20=x2k; end
非线性方程的数值解法
还可以建立更多 的迭代格式
3 2 xk 4 xk 10 g5 ( xk ) xk 2 3xk 8xk
取初始近似值 x0 1.5 ，迭代计算的结果分别为：
8 (1)迭代4次后 x4 1.0310 看来不收敛；
数值分析
(2)迭代3次后 x3 8.65
则称x* 为 f (x) = 0 的 m 重根，当m=1时称为单根， 此时有:
f ( x ) f ( x ) f ( m1) ( x ) 0,
f ( m) ( x ) 0.
§4.2 二分法和试位法 一、基本原理及做法
零点定理：若 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) f 上必有一根。
一、 Newton迭代公式(构造思想和几何意义)
数值分析
将 f (x)在 xk 做一阶Taylor展开: f () f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2 ， 在 xk 和 x 之间。 2! 将 (x xk)2 看成高阶小量，则有：
数值分析
收敛速度是用来衡量迭代方法好坏的重要标志，常用收敛 的阶来刻划．
定义 记某迭代格式的第k次迭代误差为 ek= xk-x*, 并假设迭代格式是收敛的，若存在实数 p 1, 使得
| ek 1 | lim C k | e | p k
则称该迭代格式是p阶收敛的，C称为渐近误差常数． 当 p =1，且 C <1 时，称迭代格式为线性收敛； 当 p =2时，称迭代格式为二阶收敛； 当 p>1时, 称迭代格式为超线性收敛．
数值分析
第四章 非线性方程的数值解法
定义 设f(x)为一元连续函数，称方程f(x)=0为函数方程。
2非线性方程(组)的数值解法
算法： （1）取初始点x0，最大迭代次数N和精度要求ε，置k 0;
（2）计算xk1 (xk );
（3）若|xk1 xk |ε,则停止计算； （4）若k N，则停止计算；否则，置k k 1,转（2）。
例2.用迭代法求方程x ex在[1/2，ln2]内的一个实根， 要求误差不超过103,并分析其收敛性。 解： 取迭代公式xk1 exk ,k 0,1,,其中迭代函数(x) ex, 首先分析迭公式的收敛性。
则任取
x0[a,
b]，由
xk+1
=
(xk)
得到的序列 xk
k 0
收
敛于 (x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：
1 | x * xk | 1 L | xk1 xk |
|
x * xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
( k = 1, 2, … )
注1 本定理的条件包括：封闭性，压缩性; 结论包括：不动点的存在唯一性、迭代法 的收敛性以及误差估计。
适用范围 求有根区间内的 单重实根 或 奇重实根，即 f(a) f用(b)二<0分法求根，通常先给出 f(x) 草图以确定有根6
二分法
算法 ：(二分法 )
(1) 计算 f(a)，f(b)，若 f(a) f(b) >0 ，则停止计算
(2) 对 k = 1, 2, ... , maxit
计算 f(x)，其中
等价变换为
f (x) 0
x (x)
f (x)的零点x *
(x) 的不动点 x *
由此也称为不动点迭代法，(x)称为迭代函数。
从一个初值 x0出发，计算
x1 (x0 )
x2 (x1)
第4章 非线性方程数值解法
这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。
例题
例4.2.2 证明函数 (x) 3 x 1 在区间[1， 2]上满足迭代收敛条件。
证明：
1 ' 因为 ( x ) ( x 1) 3 0 3 2
x [1,2]
所以 ( x)是区间 a, b]上严格单调增函数。 [
例题
{xk } 。这种方法算为简单迭代法。
例题
例4.2.1 用迭代格式xk 1 1 (k 0,1, 2,) 2 ( xk 1)
求解方程f ( x) x ( x 1) 2 1 0在区间[0,1]的一个 实根.初始值x0 0.4, 精确至4位有效数字.
解：输入bdd
0.52
二分法
设 所求的根为 x ， 则 x [an , bn ] n 1,2......
即
an x bn
n
n 1,2......
lim(bn a n ) lim
n
1 2
n 1
(b a ) 0
取
lim an lim bn x
n n
例题
例1 设方程 f ( x) x3 x 1,[a, b] [1,1.5]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
方程的有根区间为 .3,1.4]. [1
又 f ' ( x) 3x 2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f ( x) 0在 [1.3,1.4]有唯一根。
[a1 , b1 ] [a2 , b2 ]
非线性方程和方程组的数值解法
1. 使用二分法求3250x x --=在区间[2，3]上的根，要求误差不超过30.510-⨯.解：首先确定二分次数，根据误差估计式得，取k=10即可。
使用二分法计算10次，结果见下表2. 利用0)ln(=+x x 构造收敛的迭代格式，并求在0.5附近的根.解 首先考虑迭代格式1ln ,0,1,2,...k k x x k +=-=，相应的迭代函数()ln ,x x ϕ=-容易计算'1()x xϕ=-，在0.5附近有 ''()2,()21x x ϕϕ≈-≈>.迭代格式1ln ,0,1,2k k x x k +=-=不收敛，利用上题结论，函数()ln x x ϕ=-的反函数1()x x e ϕ--=，建立迭代格式1,0,1,2,...,k x k x e k -+==取初值00.5x =，计算结果见下表：最后*180.5671408x x≈=3.求方程310x x--=在]2,1[上的唯一正根，精度410-解考虑函数3()1, f x x x=--显然(1)10,(2)50f f=-<=>，故在[1,2]上方程有根存在；另外'2()312,[1,2],f x x x=-≥∈因此在[1,2]上方程有唯一的根。
建立迭代格式1nx+=迭代函数()xϕ=在[1,2]上满足23'131()(1)3x xϕ-=+<根据收敛性定理，迭代格式1nx+=[1,2]x∈均收敛。
例如，取初值x=1.5，并计算结果如下：方程31x x--=0在[]1,2上的精确解是* 1.324718x=4.利用简单加速方法，求方程xx e-=在x=0.5附近得一个根，精度510-。
解考虑'(),()0.6x xx e x e Lϕϕ--==-=≈-.利用简单加速方法()1111111n nnn nL Lx xx x xϕ+++--⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()1111 1.60.6nxnnn nx ex x x-+++⎧=⎪⎨=+⎪⎩取初值00.5x =，计算结果列表如下：5. 利用Newton 法解方程x=cosx ，取初值0x =1.解 考虑()cos f x x x =-，建立Newton 迭代格式：()()01'1,,0,1,2.....n n n n x f x x x n f x +=⎧⎪⎨=-=⎪⎩方程x=cosx 的精确解是*x =0.739 085 133……。
2010-第四章-非线性方程的数值解法
第四章非线性方程数值解法方程是在科学研究中不可缺少的工具方程求解是科学计算中一个重要的研究对象几百年前就已经找到了代数方程中二次至四次方程的求解公式但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法1110 ()0()0,1: ()sin 0n n n n x f x f f x n f x x a x a x a x a e −−==++++=>=+= 求解非线性方程其中，是非线性函数。
例：代数方程。
例超越方程问题描述方程的解亦称方程的根或函数的零点。
根可能是实数或复数。
若则称为单根；若而，则称为k 重根。
常见的求解问题有两种：(1) 要求定出在给定范围内的某个解。
(2) 要求定出在给定范围内的全部解。
()()*'*0,0,f x f x =≠*x ()()()()1*'**0k f x f x f x −==== *x ()()*0k f x ≠非线性问题，除少数情况外，一般不能直接利用公式求解。
而要采用某种迭代解法。
即构造出一近似值序列逼近真解。
几个关键问题：1.根的存在性。
2.根的隔离---找出隔根区间（只有一个根的区间），获得根的粗糙估值。
3.加工--根的精确化（按照指定精度要求）。
二分法的特点优点：是计算简便,对函数f(x)的要求不高,只要求连续即可,且误差估计容易。
缺点：是收敛速度很慢,每计算一步,误差减小一半。
4.2 迭代法一迭代法的设计思想迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。
迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根。
立。
迭代过程的局部收敛性********01|'()|1,(,),|'()|1,(),|()||'()()|||(),1,,().21:k k x x x x x L x x x x x x x L x x x x x x ϕδδϕϕϕϕξδϕϕ+<∴Δ=−+∈Δ≤<−−−−−−=∴∈Δ−=−≤−<∴∈Δ−−−−−−−−−−−−−−−−∈Δ=∵∵条件满足条件存在充分小邻域使得时又任给由定理任给足明满收敛证此时，|x 2-x 1|<0.0005x0 = 1.5x1 = 1.5350706x2 = 1.5321124x3 = 1.5320889x4 = 1.5320889迭代4次,得到满足精度的解532089.1=x 对迭代格式进行Altken 加速可见加速技术可能将不收敛的迭代法加速为收敛二Newton迭代法收敛定理---为保证牛顿法的非局部收敛"()f x []b a x ,0∈则Newton 迭代法产生的数列{}1+n x 收敛到f(x)=0的根。
非线性方程组的数值求解
第四章 非线性方程组的数值求解 习题4.1 1．考虑211212221212(,)0(,)0f x x x x f x x x x αα⎧=−+=⎪⎨=−++=⎪⎩，讨论1,1/4,0,1α=−的4种情况下的解各等于什么？ 2．用图解法研究方程组12221sin 0220x x x x π⎧−=⎪⎨⎪−=⎩的解大致等于什么？的解大致等于什么？ 3．先用图解法大致判断解的位置，再用消元法求解212221210(2)(0.5)10x x x x ⎧−−=⎪⎨−+−−=⎪⎩。
4．查阅数学手册，用卡丹方法分别求解331540;660x x x x −−=−+=。
5．解4次分圆方程43210x x x x ++++=。
6．证明实系数n 次代数方程的共轭根必定成对出现。
习题4.2 1．用Gerschgorin 圆盘定理作方程332243100x x x +−−=和776655443322621353521710x x x x x x x −+−+−+−=的实根的定位，求出根的隔离区间。
2．设()A ρ为矩阵A 的谱半径，用圆盘定理直接证明()||||A A ρ≤．3．若n 阶矩阵A 不可约，有一特征值λ在A 的一个圆盘的边界上，证明：A 的n 个圆盘的边界均通过λ。
4．用Gerschgorin 圆盘定理隔离矩阵20312102810A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠的特征值，再用实矩阵特征值的性质，再用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。
改进得出的结果。
5．用二分法求函数:f R R →的零点。
初始有根区间长度为1，问迭代6次后有根区间的长度为多少？需要用函数表达式吗？若在初始区间上函数有符号变化，问二分法的收敛速度与要求是单根还是重根有关系吗？ 6．应用二分法求方程sin02xxe π−=在区间[0， 1]上误差不超过52−的近似根，的近似根，应对分多少次，应对分多少次，应对分多少次，并求其根。
并求其根。
7．对3()310f x x x =−−=的根进行隔离，并用二分法计算所有的实根。
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
4非线性方程求解
§ 4.1 一元方程求根
1）问题的提出
满足函数方程
f(x)=0
(1)
的x称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点。如果 函数(x)可分解为 (x)=(xs)mg(x) 且g(s )0,则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根。 当m=1时，称s是(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程, 特 别地, 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程 或代数方程；若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。
(2) (3)
说明: 条件(2)可用更强更便于应用的条件代替:
| ( x ) | L 1 x ( a , b)
证: 1o
设g ( x ) x ( x ), 则
g( a ) a ( a ) 0 , g( b ) b ( b ) 0
故至少有一个根 x * [ a , b ], 使 g( x * ) 0, 若另有根 y : y ( y ), 则 | x * y | | ( x * ) ( y ) | L | x * y |, 所以 (1 L) | x * y | 0, 从而 | x * y | 0, 即 x ( x ) 在 a, b 内有唯一解 x * .
2)预备知识 定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)· f(b)<0, 则 至少存在一点x (a,b)使得f(x )=0. (并称区间(a,b)为有根区间) 定理2. 假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且 f(a)· f(b)<0, 则恰好只存在一点x (a,b)使得 f(x )=0 定理3. 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微， 则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是
非线性方程数值求解
,k
0,1,
2,......
迭代函数
（x）=
8 (
x
1
)3
.（' ）x =
1 8x (
2
)3
1.
x (1, 2) ，故迭代收敛。
2
32
取初值 x0 1.5; x1 1.481248, x2 1.482671, x3 1.482563
x3 x2
0.000108 1 103 2
故取x* x3 1.482563=1.483
4．判断方程（1） x 2 ex ；（2） x3 5x 3 0 各有几个实根，并确定定位区间。 解：（1）为了好作图像，改写原方程为 2 x ex 。
25
20
15Βιβλιοθήκη 1050-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
分别作 f1(x) 2 x ， f2 (x) ex 的图像在同一坐标系内。 易知有 2 个实根，一个在区间[1, 2] ，另一根要计算一下：
102
，解得
为 6 次。
（2） 具体计算结果如下表：
k 6 ，即最小二分次数
k
ak
bk
xk
| xk xk1 |
0
1
2
1.5
1
1.5
2
1.75
0.25
2
1.5
1.75
1.625
0.125
3
1.625
1.75
1.6875
0.0625
4
1.6875
1.75
1.71875
0.3125
5
1.71875
1.75
四 非线性方程(组)的数值解法2.
0.837567
0.837165 0.837353 0.837383 0. 837369 0.8373669
7
且
f ( x , x ) 3.909 10 f ( x , x ) 1.01 10
(8) (8) 1 1 2 (8) (8) 2 1 2
6
6
x x ) 1.05 10
令x
( x1 , x2 ,, xn )T
F ( x ) ( f1 ( x ), f 2 ( x ), , f n ( x ))T
方程组(*)可表示成向量形式
F ( x ) 0
其中F : D Rn Rn是定义在区域 D R n 上的n维实向量值函数
如果 x D 使 F ( x ) 0 则称 x 是方程组（*）的解。
2
7.5.1
解非线性方程组的迭代法
解非线性方程组的迭代法和解非线性方程式一 样，首先需要将 F ( x) 0 转化为等价的方程组
x g ( x , x ,, x ).(i 1,2,, n) （7.2）
i i 1 2 n
或者简记为
x g (x)
其中
g : R R, g : R R
22
例1 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。 步骤如下： (1) 建立函数文件funx.m function fx=funx(x) fx=x-10.^x+2; (2) 调用fzero函数求根。 z=fzero('funx',0.5) 结果为： z = 0.3758
23
7.6.2 非线性方程组的求解： fsolve 1、功能： 求非线性方程组F(X)=0的根 2、调用格式： [x,y,flag]= =fsolve('fun',X0) 其中x为返回的解，y是对应的函数值，flag 是求解成功标志；fun是用于定义需求解的 非线性方程组的函数文件名，X0是求根过 程的初值，
4非线性方程的数值解法
16 − ������ 2
16 ������ + 1
������ 2 + ������ − 16 ������ − 2������ + 1 ������
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
迭代法的收敛性 • 设迭代函数������ ������ 在 ������, ������ 上具有连续的一阶导数，且
������������ 2
•
•
− = 0，无穷个根 ∄ ������ = 1 0,1 ������ = 0
1+ 5 1− 5 0, −1, , 2 2 1 2
1 2
������ 4 + 2������������ 2 − ������ + ������2 + ������ =迭代过程������������+1 = ������ ������������
������ ∗ 附近连续，且 ������′ ������ ∗ = ������′′ ������ ∗ = ⋯ = ������ ������−1 ������ ∗ = 0, ������ ������ ������ ∗ ≠ 0，则该迭代过程在根������ ∗ 附近具有������阶收敛速度 由于������′ ������ ∗ = 0 < 1，迭代过程������������+1 = ������ ������������ 具有局部 收敛性 将������ ������������ 在所求根������ ∗ 附近展开成������ ������������ = ������ ������ ∗ +
第四章 非线性方程的数值解法
蔡宏珂 caihk@ 41386233 气象楼103
数值分析课件-非线性方程求解4.3-4.4
第四章 非线性方程数值求解§ 4.3 Newton迭代法2. Newton 迭代法的几何意义 )()(')(n n n x x x f x f y -+=与x 轴(y=0)的交点x，作为下一个迭代点x n+1 ,即)(')(1n n n n x f x f x x -=+用f(x)在 x n 处的切线Newton 迭代法又称切线法.Newton法在重根情形下的收敛阶'*1()1x mϕ=-或 有局部线性收敛性, 重数m 越高,越接近于1,收敛越慢。
'*()x ϕ牛顿迭代法的优缺点在单根附近, 牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。
优点缺点1.重根情形下为局部线性收敛;2. 牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值;3. 选定的初值要接近方程的解，否则有可能得 不到收敛的结果;牛顿迭代法的改进缺点克服:1.局部线性收敛------改进公式或加速2.每步都要计算微商值-----简化Newton迭代法或弦截法3. 初值近似问题-------二分法求初值或”下山算法”x 0= 0.5x 1= 0.3333333333x 2 = 0.3497942387x 3 = 0.3468683325x 4 = 0.3473702799x 5 = 0.3472836048x 6 = 0.3472985550x 7 = 0.3472959759x 8 = 0.3472964208x 9 = 0.3472963440x 10 = 0.3472963572x 11 = 0.3472963553x 0=0.5;x 1=0.4;x 2 = 0.3430962343x 3 = 0.3473897274x 4 = 0.3472965093x 5 = 0.3472963553x 6 = 0.3472963553简化Newton 法由弦截法要达到精度10-8简化Newton 法迭代11次弦截法迭代5次Newton 迭代法迭代4次x 0 =0.5;x 1 =0.3333333333x 2 =0.3472222222x 3 =0.3472963532x 4 =0.3472963553由Newton 迭代法无论哪种迭代法：Newton迭代法简化Newton法弦截法00===*x ,)x arctan()x (f 精确解用Newton迭代法求解:)1(arctan 21kk k k x x x x +⋅-=+x 0 = 2x 1 = -3.54x 2 = 13.95x 3 = -279.34x 4 = 122017是否收敛均与初值的位置有关.例:20=x 若取初值x 0 =1x 1 = -0.5708x 2 = 0.1169x 3 = -0.0011x 4 = 7.9631⨯10-10x 5 = 0收敛发散10=x 若取初值•迭代法的局部收敛性第四章 非线性方程数值求解§ 4.4 Aitken加速方案/Steffensen迭代法See you next time!《应用数值分析》：例题 7.3.2；习题 7.10、7.15、7.16、7.18。
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三、（12 分） 解：（1） 2 x − sin x − 2 = 0 ⇒ x = 1 +
1 1 sin x ，，迭代函数 ϕ ( x ) = 1 + sin x ，迭代格式 2 2
1 xk +1 = 1 + sin xk ; k = 0,1, 2,L ------------------------------------------------------------------（3 分） 2
4
所以斯蒂芬森迭代法收敛，收敛阶 p = 1 。--------------------------------------------------------（10 分）
2
lim
k →∞
a − xk +1
2
( a − xk )
n
五、（12 分） 解：(1) ϕ ′( x ) =
2 2 − − 6 (6 x + 8) 3 ， ϕ ′(3) = 2(18 + 8) 3 < 0.22788 < 1 ，迭代格式收敛。---（3 分） 3
1 1 − − 4 4 2 (2) ϕ ′( x ) = − 2 ( 6 x + 8) ， ϕ ′( 2) = (18 + 8) 2 < 0.087163 < 1 ， 迭代格式收敛。 （6 分） x 9
八、（10 分） 解：由于 ϕ ′( x ) = 1 + 3 x ，当 x ≠ 0 时， ϕ ′( x ) > 1 ，-----------------------------------------（2 分）
2
且有 xk +1 − 0 =
ϕ ( xk ) − 0 = ϕ ′(ξ )( xk − 0) ， ξ 介于 xk 与 0 之间，---------------------（5 分）
f (1) < 0, f ( 2) > 0 ，有根区间为 [1, 2] ，此时 ϕ ′( x ) = −2 x ln 2 > 2 ln 2 > 1 ，
故不能用该迭代法求解。-------------------------------------------------------------------------------（6 分） 将原方程改写为 x =
选择格式(1)计算
k
xk
六、（12 分） 解：（1） ∀x , ϕ ′( x ) =
− sin x + cos x 2 ≤ = L < 1 ，故方程（1）能用迭代法求根。-（3 分） 4 4
x x
（2）对于方程（2），若直接取迭代函数 ϕ ( x ) = 4 − 2 ，方程为 f ( x ) = x − 4 + 2 ，
(3)
ϕ ′( x ) = 3 x 2 − 5 ， ϕ ′( 2) = 22 > 1 ，迭代格式发散。-------------------------------------（9 分）
0 3 1 2.9625 2 2.9539 3 2.9520 ----------------------------------------------- xn ) + f ′( xn ) f ( xn ) + f ′′(ξ ) f 2 ( xn ) − f ( xn )⎥ ⎢ 2 ⎣ ⎦ = f ′( x ) + 1 f ′′(ξ ) f ( x ) ----------（4 分） 此时 Dn = n n f ( xn ) 2
第 2 章 非线性方程（组）的数值解法 参考答案
一、选择题（15 分，每小题 3 分) 1、(3) 2、(4) 3、(2) 4、(1) 5、(4) 二、填空题（15 分，每小题 3 分） 1、 p = q =
⎡ 3 −8 ⎤ x 5 1 1+ 5 5 ,r = ； 2、 2； 3、 1.618 或 ； 4、F ′(1, 2) = ⎢ ； 5、xk +1 = k + ⎥ 2 2 xk 9 9 2 ⎣6 4 ⎦
xk +1 = xk −
n
f ( x k ) xk xn = [( n + 1) − k ], k = 0,1, 2, ... ，-----------------------------------（9 分） f ′( x k ) n a
= 1 n +1 。---------------------------------------------------------------------（12 分） 2 na
而且 ϕ ′′( n a ) =
n −1
n
a
， lim
k →∞
( n a − xk +1 ) ( a − xk )
n 2
=−
1 n −1 ；--------------------------------------（6 分） 2 na
对于方程 f ( x ) = 1 −
a na , f ′( x ) = n+1 ，牛顿迭代法为 n x x
ln( 4 − x ) ln( 4 − x ) ，迭代函数 ϕ ( x ) = ，----------------------------（9 分） ln 2 ln 2
且有 ϕ ′( x ) = 七、（12 分）
−1 1 1 < = L < 1 ，故此时可以用迭代法求根。---------------（12 分） 4 − x ln 2 2 ln 2
证明：将 Dn 中 f ( xn + f ( xn )) 在 xn 处展开，得
f ( xn + f ( xn )) = f ( xn ) + f ′( xn ) f ( xn ) +
其中 ξ 介于 xn 和 xn + f ( xn ) 之间。
1 f ′′(ξ ) f 2 ( xn ) ，-----------------------------（2 分） 2
当 x ∈ [0.5,
π
2
] 时， ϕ ′( x ) =
1 1 cos x ≤ = L < 1 ，故该迭代格式收敛。------------（6 分） 2 2
(ϕ ( xk ) − xk )2 相应的 Steffenson 迭代格式：xk +1 = xk − ; k = 0,1, 2,L -（9 分） (ϕ (ϕ ( xk )) − 2ϕ ( xk ) + xk ) 1 (1 + sin xk − xk )2 2 xk +1 = xk − ; k = 0,1, 2,L 1 1 1 [1 + sin(1 + sin xk ) − 2(1 + sin xk ) + xk ] 2 2 2 1 (1 + sin 1.5 − 1.5)2 2 x1 = 1.5 − = 1.4987 。 --------------------（12 分） 1 1 1 [1 + sin(1 + sin 1.5) − 2(1 + sin 1.5) + 1.5] 2 2 2
又由于 x 是 f ( x ) = 0 的单根，故 f ( x ) 可表示为 f ( x ) = 所以
∗
( x − x∗ ) , h( x ∗ ) ≠ 0 ，---（6 分） h( x )
f ′( xn ) = h( xn ) + ( xn − x ∗ )h′( xn ) 1 ⎡ ⎤ xn+1 − x ∗ = xn − x ∗ − f ( xn ) / Dn = xn − x ∗ − ( xn − x ∗ )h( xn ) / ⎢ f ′( xn ) + f ′′(ξ ) f ( xn ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎧ 1 ⎡ ⎤⎫ = ( xn − x ∗ ) ⎨1 − h( xn ) / ⎢ h( xn ) + ( xn − x ∗ )h′( xn ) + f ′′(ξ ) f ( xn ) ⎥ ⎬ -（9 分） 2 ⎣ ⎦⎭ ⎩ 1 ⎡ ⎤ ( xn − x ∗ )2 ⎢ h′( xn ) + h( xn ) f ′′(ξ ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ = 1 ⎡ ⎤ h( xn ) + ( xn − x ∗ ) ⎢ h′( xn ) + h( xn ) f ′′(ξ ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ 1 h′( x ∗ ) + h( x ∗ ) f ′′( x ∗ ) xn+1 − x ∗ 2 = ，即迭代格式至少是二阶收敛的。---（12 分） 故 lim n →∞ ( x − x ∗ )2 h( x ∗ ) n
若 x0 ≠ 0, L > 1 ，迭代不收敛；----------------------------------------------------------------------（7 分） 若改用斯蒂芬森迭代，可得 xk +1 = ψ ( xk ),ψ ( x ) = x −
x 2 ,ψ ′(0) = = L < 1 ，（9 分） 2 x + 3x + 3 3
四、（12 分） 解：对于 f ( x ) = x − a , f ′( x ) = nx
n n −1
, 因此牛顿迭代法为
xk +1 = xk −
n xk −a 1 a = [( n − 1) xk + n−1 ], k = 0,1, 2, ... ------------------------------------（3 分） n −1 nxk n xk