全国名校高中数学题库--圆锥曲线2

圆锥曲线综合训练题

一、求轨迹方程：

1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73

，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．

（1）解：1C

的焦点坐标为(0,

27e =由1273e e =

得13e =设双曲线的方程为22

221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00

622

x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩． 代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．

2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=

5

3sinA,求点A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．

解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=5

3·2RsinA ∴BC AC AB 53=

- 即6=-AC AB （*）

∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10

∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为116

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2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b

y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.

解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422

22=-k

y k x . 由题设条件得：1

14)2(120x x k ----=--+， ① 2

24)2(120x x k ----=--+， ② x 2-x 1=5

6， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=5

11-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，

1tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程． （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．

解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.

（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为2

1，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，

即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为2

34⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. 6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v ？若存在，求出直线l 的方

程；若不存在，说明理由.

解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨

迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42= （2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，

由2(1)4x k y y x

=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k =->，11k k <->或

设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =

由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，

即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，

2224(1)

40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）

， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-= 7、设双曲线y a x 222

31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且O P O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

解：（I ） e c a =∴=2422，

c a a c 22312

=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分

（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()

Mx y ，