2020中考数学复习微专题：最值

突破与提升策略

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家

【模型建立】

如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1

AC BC

V V +

的值最小．

【问题分析】

121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛

⎫++ ⎪⎝⎭

，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．

【问题解决】

构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．

将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．

1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动

点，则CD+的最小值是_______．

【分析】”，考虑tan A=2，△ABE三边之比为1:2

sin∠，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH=．

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD DH CH BE

+===．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，

则PB的最小值等于________．

【分析】”，已知∠A=60°，且sin，故延长AD，

作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH=，将问题转化为：求PB+PH最小值．

当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．

3.如图，已知抛物线()()248

k y x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次

交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．

（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M

从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少

【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （-2,0），

B

（4,0），直线解析式为y =+

，D 点坐标为(-，故抛物线解析式

为)()24y x x =

+-，化简为：2y x =-处略去了该题的第二小问．

点M 运动的时间为1

2AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭

，即求1

2

AF DF ⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

的最小值．

接下来问题便是如何构造

2

DF

，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2

DF

． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．

4.抛物线2y =与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边）

，与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC

交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12

PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）

【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC 的解析式

为：y x AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2

EC

取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H

点，则∠CEH =30°，故CH =

2

EC

，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．

考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设

2,P m ⎛

-

⎝，

则E m ⎛

⎝

，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，

2

2=PE CH m +=+sin ABE ∠=

当P 点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．