2020中考数学复习微专题：最值
2020年浙江数学中考复习第六单元圆之微专题 圆中最值问题
微专题 圆中最值问题
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d-r(如图③)，点P到直线l的最大距离是 d+r(如图④)．
图③
图④
微专题 圆中最值问题
针对训练 4. 如图，直线y＝－ 3 x＋6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(－1，0)为圆
微专题 圆中最值问题
微专题 圆中最值问题
模型一 点圆最值
(杭州：2019.23(1)②)
模型分析
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和 最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： 1.若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最 值，DE的最大值为 d+r，DE的最小值为d-r；
微专题 圆中最值问题
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点P是以点C (－ 2， 7)为圆心，1为半径的⊙C上的
一个动点，已知A(－1，0)，B(1，0)，连接PA，PB，则PA2＋PB2的最小值是( C )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
第1题图
微专题 圆中最值问题
2. 已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝ 3，则OB长的最大值为___8___，OB长的最小值为____2____，AC长的最大值为 ___9___，AC长的最小值为___1___，AB长的最大值为___1_2____，AB长的最小值为 ____0____．
4
心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值为___3_2____．
2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型(解析版)
2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKINGPLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。
【典例精析】例题1．（2020·全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】 ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +====故答案为：【针对训练】1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A．4 B．2 C ．1 D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2BC=2 ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C，2．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【答案】【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故答案为：3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
2020年中考数学专题复习-几何最值问题
2020年中考数学专题复习-几何最值问题一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀5.(2016·武汉)如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边O A,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是?.?【解析】如图,作点M关于ON的对称点M‘,点N关于OA的对称点N’,连接M‘N’分别交ON,OA于点P,Q,此时MP+PQ+QN的值最小.由对称性质知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.连接ON‘,OM’,则∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M''N''=第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀1、【翻折变换类】2、【平移变换类】3、【旋转变换类】OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕点旋转过程中的，会出现的最大值与最小值，如图：秘籍2：，，第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀秘籍3：单轨迹圆模型：如图，点B在圆E上，求BD的最值1.过圆内一点的所有弦中，直径最长，垂直与直径的弦最短。
2 .“隐圆”中的最值。
如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E.F分别是AC、BC的中点，直线EF与O 交于G、H两点。
若O的半径为5，则GE+FH的最大值为___.第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀例1.如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E.F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点。
若O的半径为5，则GE+FH的最大值为___.如图,AB是O 的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E.F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点。
2020中考数学复习微专题：最值问题(将军饮马)突破与提升策略
2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
2020中考数学专题汇编 几何最值 含解析
几何最值一、选择题1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ． 2 ＋1B ． 2 ＋12C ．2 2 ＋1D ．2 2 —12{答案} B{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋12，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝12，有下列结论：①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似；③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋372. 其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③{答案} D{解析}设AQ ＝x ，则BP ＝52—x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝534，∴DE ＝34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而332≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝32，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝34×32－12⋅x ⋅34－12×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为31316；③正确； ④如图，将D 沿AB 方向平移12个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝32－14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋392，④错误.（第12题）3．(2020·荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动，A (0，2)，B (0，4)，连接AC 、BD ，则AC ＋BD 的最小值为( )A ．2B ．2C ．6D ．3{答案}B{解析}如图#，过点B 作BB′∥x 轴(点B′在点B 的左侧)，且使BB′＝2，则B′(－2，4)；作A 关于x 轴的对称点A′，则A′(0，－2)；连结A′B′交x 轴于点C ；在x 轴上向右截取CD ＝2，则此时AC ＋BD 的值最小，且最小值＝A′B′＝＝2．故选B ．4．（2020·南通）△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 为BC 的中点，直线l 经过点D ，过B 作BF ⊥l 于F ，过A 作AE ⊥l 于E ．求AE ＋BF 的最大值为A ．B ．2C ．2D ．3{答案}A{解析}过点A 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △AHB 中，∠ABC ＝60°，得BH ＝1，AH ＝，在Rt △AHC 中，∠ACB ＝45°，得AC ＝．当直线l 与AB 相交时，延长BF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，可得AE ＋BF ＝AE ＋FM ＝BM ，在Rt △AMB 中，BM ＜AB ，当直线l ⊥AB 时，最大值为2；当直线l 与AC 相交时，过点C 作CH ⊥l 于点H ，由点D 为BC 中点可证明△BFD ≌△CHD ，BF ＝CH ，延长AE ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，可得AE ＋BF ＝AE ＋CK ＝AE ＋EN ＝AN ，在Rt △ACN 中，AN ＜AC, 当直线l ⊥AC 时最大值为；所以AE ＋BF 的最大值为．5．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）．A. 5B. 6C. 7D. 8{答案}B{解析}连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，∵四边形ABCD 是正方形，图# 图6∵点B与点D关于AC对称，∵BF=DF，△的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，∵BFE∵正方形ABCD的边长为4，∵AD=AB=4，∵DAB=90°，∵点在上且，∵AE=3，∵DE5=，△的周长=5+1=6，∵BFE故选：B.6.（2020·永州）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D. 2【答案】B【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故选：B.二、填空题7．（2020·绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．{答案}3－2{解析}延长AD、BC交于点P，作MH⊥PB 于H.∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°，可知点M在以AD为直径的⊙E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，∴MH 的最小值＝EH －EM ＝3－2.8．（2020·扬州）如图，在▱ABCD 中，∠B =60° ，AB =10，BC =8，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得DF =DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 .（第18题图）{答案} {解析}本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A 作AM ⊥BC 于M ，设EG 、DC 交于H ．∵在Rt △AMB 中，∠B =60° ，AB =10，s i n ∠B =，∴AM =，▱EFGC 中，∵DF =DE ，∴ED =，又EF =GC ，∴，∵EF ∥CG ，∴△EHD △GHC ，∴，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E 在AB 上如何运动，H 始终是定点，H 又在EG 上，它到AB 的最短距离就是HN ，S ▱ABCD =，∴，当动点E 运动到与N 重合（见答图2），EG 最短，此时，HG ==，∴EG 的最小值= HG +NH =．因此本题答案为．（第18题答图1） （第18题答图2）9．（2020·鄂州）如图，已知直线与x 、y 轴交于A 、B 两点，的半径为1，P 为上一动点，切于Q 点．当线段长取最小值时，直线交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为______________．{答案}{解析}本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．先找到长取最小值时P 的位置即为OP ⊥AB 时，然后画出图形，由于PM 即为P 到直线a 的距离的最大值，求出PM 长即可． 解：如图，在直线上，x ＝0时，y ＝4，y ＝0时，x ＝，∴OB ＝4，OA ＝，∴tan OA OBA OB==∠， ∴∠OBA ＝30°，由切于Q 点，可知OQ ⊥PQ ， ∴PQ由于OQ ＝1，因此当OP 最小时长取最小值，此时OP ⊥AB ，∴，此时PQ ，BP∴，即∠OPQ ＝30°，若使P 到直线a 的距离最大，则最大值为PM ，且M 位于x 轴下方，过P 作PE ⊥y轴于E ，，，∴431OE =-=，∵，∴∠OPE ＝30°，∴∠EPM ＝30°＋30°＝60°，即∠EMP ＝30°，∴2PM EP ==故答案为：．10．（2020·宜宾）如图，四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，AD ＝3，AB ＝5，BC ＝2，P 是边AB 上的动点，则PC +PD 的最小值是 5 ．【解答】解：延长CB 到C ′，使C ′B ＝CB ＝2，连接DC ′交AB 于P ．则DC ′就是PC +PD 的和的最小值．∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠PBC ′，∠ADP ＝∠C ′，∴△ADP ∽△BC ′P ，∴AP ：BP ＝AD ：BC ′＝3：2，′∴PB ＝AP ，∵AP +BP ＝AB ＝5，∴AP ＝5，BP ＝2，∴PD ＝＝＝3，PC ′＝＝＝2，∴DC ′＝PD +PC ′＝3+2＝5，∴PC +PD 的最小值是5，故答案为5．11．（2020·东营）如图，在Rt △AOB 中，OB=，∠A=30°，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （其中点Q 为切点），则线段PQ 长度的最小值为 ．{答案}{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．连接OP 、OQ ，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知,∴当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短.∵在Rt △AOB 中，OB=，∠A=30°，∴，，∴OA ×OB=OP ×AB ，即，∴223122PQ ．12．（2020·毕节）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP＋PE的最小值是_________．{答案}2，{解析}本题考查正方形的性质，线段最短问题．解：∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BE＝2．∵点P是对角线BD上的动点，连接PC，则PC＝PA．连接EC交BD于点P，此时AP＋PE＝AC＋PE＝EC有最小值，最小值EC2．故答案为213.（2020·永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接,,PM PN MN，则PMN周长的最小值是_________．【答案】【详解】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为PMN周长的最小值．由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：12PP==即PMN周长的最小值．故答案为．三、解答题14．（2020·扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.（1）求证：OC∥AD；（2）如图2，若DE=DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.（第27题图1）（第27题图2）{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1）利用角平分线性质与外角知识证明∠BOC =∠OAD=∠BOD即可；（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB＝90°，再利用互余关系得出∠AOF＝90°，从而求得AD的长，最后由△ADE∽△AOF求得的值；（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q. 先证△ACB≌△ACH得AB=AH=4，BC=HC，于是DC=CB=CH，再由△HCD∽△HAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.{答案}解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BOD是△AOD的外角，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴∠OAD=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC=∠OAD，∴OC ∥AD；（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，又∠DFE=∠AFO，∴∠OAC+∠AFO=90°，∴∠AOF＝90°，AD==AOF＝∠ADB＝90°，∠DAC=∠OAC，∴△ADE∽△AOF，∴；（第27题答图1）（第27题答图2）（第27题答图3）（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB 和△ACH中，∠ACB＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB= AH=4，BC=HC，又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴，即，∴HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），==，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴AD=CD=BC，∴AD CD BCDQ=CD=1，在Rt△DQE中，=COS∠CDE，=，∴DE=.15.（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是∠NAB＝∠MAC，NB与MC的数量关系是NB＝CM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．16.（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【解答】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．17.（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的大小为60°．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，∴MN≤2，∴△MNP的面积＝＝，∴△MNP的面积的最大值为．18.（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵点F是DE的中点，∴CF＝DE＝AD；（2）AG＝BC，理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝＝a，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴＝2，∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG＝BH∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝2a，∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BD＝PD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴PD＝PD+AP，∴PD＝m，∴BD＝PD＝m，由（1）可知：CE＝BD＝m．19.（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．【解答】解：（1）如图①，∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，∴∠ACE+∠FBC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；（2）如图②，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BFC+α+β＝180°，∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，∴MN＝NK，∠MNK＝60°，∴△MNK是等边三角形，∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，∴OK＝NQ，MO＝MQ，∴△MOQ是等边三角形，∴∠QOM＝60°，∵OK＝NQ，∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，∴NQ＝OQ＝，∴线段OK长度的最小值为．.。
2020年数学中考最值问题试题总汇【含答案】
⎭⎝⎝44⎭初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求－4答案：32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c= 252b , 求a 的最小值？答案：42.a 的值？b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。
252b=6×6×7b ，×即b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛-1 ⎫第一个数： - 1+⎪2 ⎝ 2 ⎭1 ⎛－1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫第二个数： - 1+⎪ 1+⎪1+⎪3 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭1 ⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫⎛(-1)4 ⎫⎛(-1)5 ⎫第三个数： - 1+ 1+1+1+4 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎪⎪⎭⎝⎭……第 n 个数：1⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3⎫⎛(-1)2n -1 ⎫- 1+⎪ 1+⎪1+⎪…… 1+⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪⎪ ⎭⎝⎭⎝2n ⎪；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？答案：第 10 个。
解析：第n 个数是1- n 2(n +1), 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。
4、已知： 20n 是整数，求满足条件的 最小整正数n 的值？答案：5解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为54、当（m+n ）²+1 取最小值时，求m 2 - n 2 + 2 m - 2 n 的值？答案：0解析：（m+n ）²+1 取最小值，m+n=0 时最小。
再用特值法求出答案。
5、设a = 350 , b = 440 , c = 530 , 求a , b , c 中最大和最小的是？答案：最大是b ，最小时c 。
2020年中考数学复习微专题最值问题(费马点问题)
2020年中考数学复习专题最值问题（费马点问题）突破与提升策略问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！若点P满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，则P A+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．接下来讨论3个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？（3）费马点怎么考？一.如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A =120°．EB ACAB CDE在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ． 有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二.为什么是这个点为什么P点满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．E更巧的是，其长度便是我们要求的P A+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化P A=PQ，PC=QE，故P A+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！三.费马点怎么考？问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．NG图2图1ABCD EP【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）HGNM过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH==464QHGNM【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求P A+PB+PC的最小值．C【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为P A+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！AB CD如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．HDCB A【练习】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．ABCDME【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD ≌△AGF ，∴MD =GF ∴ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH ⊥BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．HFGE MDCBA。
2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型【含答案】
2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKING PLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。
【典例精析】例题1．（全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【详解】ABCD为矩形，∴=AB DCS S又=PAB PCD∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，+的值最小，连接AC，交MN与点P，此时PC PD+====且PC PD AC故【针对训练】1．（湖北中考真题试卷）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C 时，点M所经过的路线长为（）A B C．1D．2C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ，QF=2BQ， ∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12，即点M到AB的距离为1 2，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C，2．（2017·江苏中考真题试卷）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB 方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
2020中考数学复习微专题：最值(阿氏圆问题)突破与提升策略
2020中考数学复习微专题：最值（阿氏圆问题）突破与提升策略所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
2020年中考数学必考考点专题33最值问题含解析
专题33 最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442；②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。
y ac b amax =-442。
2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．【答案】﹣4．【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为PE•OB＝×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋QC＝211(3)2t t++-，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由 AQ＝QC，解关于t的方程即可）．【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．∵该抛物线过点C(0，3)，∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠MBA＝45°．∵D(2，－1)，A(3，0)，∴∠DBA＝45°．∴∠DBM＝90°．同理，∠DAM＝90°．又∵AM⊥BC，∴四边形ADBM为矩形．又∵DA＝DB，∴四边形ADBM为正方形．（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE ＝PE•BF ＋PE•OF ＝PE•OB ＝×3×(－m2＋3m) ＝－ (m －)2＋，∴当m ＝时，S△PBC 有最大值为，此时P点的坐标为(，－)．（4）如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ ＋QC＝211(3)2t t++-，取CQ的中点G，以点Q 为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ ＋QC＝⊙Q的直径最小，此时，，解得t＝－1，于是AQ＋QC的最小值为3－t＝3－(－1)＝4－．1.（2018河南）要使代数式有意义，则x的（）A.最大值为B.最小值为C.最大值为D.最大值为【答案】A.【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x≥0，即x≤，所以x的最大值为。
2020年中考数学复习 动点最值专题
动点最值专题动点最值专题近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。
通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1）去伪存真。
刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。
（2）科学选择。
捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。
（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。
2020年重庆中考复习数学最值专题训练(含答案)
2021重庆中考复习最值问题专题练习类型一、利用将军饮马求最值ABCD的边长为3, E在BC上,且BE=2, P在BD上,那么PE+PC的最小值为〔1、如图,正方形C. V142、如图,在菱形ABCD 中,AB=6,点E 在BC 上,BE=3, / BAD=120° , P 点在BD 上,贝U PE+PC的最小值为类型二、利用垂线段最短求最值1、如图,在Rt^ABC中,/ C=90°, AC =8, BC=6,点P是AB上的任意一点,作PDLAC于点D,PEXCB于点E,连接DE,那么DE的最小值为2、在边长为2菱形ABCD中,/ ABC=60 °, M、N分别为线段BC和BD上两个动点,那么MN+CN的最小值是O类型三、利用平行线间的距离求最值1 .如图,菱形 ABCD 的边长为5,面积为20, P 为CD 边上一动点〔异于 C 、D 〕,点M 、N 分别在BD 、 BC 上运动,那么PM + MN 的最小值为2 .如上左图,菱形 ABCD 中,AB = 4, /A=120°,点M 、N 、P 分别为线段 AB 、AD 、BD 上的任意一点, 那么PM + PN 的最小值为类型四、利用三角形三边关系、三点共线求最值1、如图,/ MON = 90° ,矩形 ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM , ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随2、如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 2, AD=3,点E 是AB 的中点,点F 是AD 边上的一个动点,将^AEF 沿EF 所在直线翻折,得到△ A' EF,那么A' C 的长的最小值是〔〕A , V10- 1 B.弼 C," ’45D, 2/3 - 13、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6, AD= 2/2, ZA=45° , M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一动点,将4AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A' MN,连接A' C,那么A' C 长度的最小值是D之在边OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中AB=2, BC=1,运动过程中,点 D 到点.的最大距离为〔B 、娓.、等口、55、如图,矩形ABCD 中,AB=6, BC=8,Et *5 c P是边CD上一点,Q是以AD为直径的半圆上一点, 那么BP+PQ4、如图,在矩形ABCD中, AB=2, BC=4,点O、P分别是边AB、AD的中点,点H是边CD上的一个动点,连接OH,将四边形OBCH沿OH折叠,得到四边形OFEH ,连接PE,那么PE长度的最小值是 .的最小值为〔〕A. 10B. 2'/12+46、〔2021?怀柔区一模〕如图,在Rt^ABC中,/D是A'B'的中点,连接BD,假设BC=2, / AB〔C. |\/73+1 D.诉-4H ACB=90°,将△ ABC绕顶点C顺时针旋转得到^ A'B'C,C=60°,那么线段BD的最大值为______ .类型五、利用中位线+三点共线求最值如图,△ ABC中,/ACB = 90° ,转至AD' , F为BD'的中点,线段A rBC=6, AC=12,点D在AC上,且AD = 8,将线段AD绕点A旋CF的最大值为__________________A %类型六、利用胡不归问题求最值/DAB =60° , AB= 6, BC=2, P 为边 CD 上的一动点,贝 U PB+i3 PD2AB = AC=10, tanA=2, BE^AC 于点E, D 是线段BE 上的一个动点,AB 为一边作正方形 ABCD,使P 、D 两点落在直线 AB 的两侧,当 P作业练习BC=8, P 是边AD 上一动点,将^ ABP 沿BP 折叠后得^ BPM ,当线的最小值等于D那么CD+ 增BD 的最小值是〔A. 2V5B. 4诉C. 5/3D. 10与D 的距离最大时,正方形 ABCD 的面积为2、如图,在Rt ABC 中, ACB 90 ,将 ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到^ ABC, M 是AC 的中点,N 是AB 的中点,连接MN , AC 4 , ABC 301、〔2021?南通〕如图,？ABCD 中,2、〔2021?长沙〕如图,△ ABC 中,类型六、利用旋转+三点共线求最值1、如图,PA =/&, PB= 3J1,以 1、如图,矩形 ABCD 中,AB=6,段DM 的长最短时,AP =2、如图,/ MON = 90° ,正方形 ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上运动,当正方形边长为 2时,OD 的最大值为,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM, ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=8, BC = 3,运动过程中,点 D 到点.的 最大距离为4、〔2021秋？梁子湖区期中〕如图,在^ ABC 中,/ACB=90° , BC= 2, AC = 6, D 为AC 上一点,AD=4,将AD 绕点A 旋转至AD',连接 BD' , F 为BD '6、如图,PA=2,PB = 4,将线段PA 绕P 点旋转一周,以AB 为边作正方形 ABCD ,那么PD 的最大值为3、如图,/ MON = 90的中点,那么CF 的最大值为5、如图,菱形 ABCD 中,/A = 60° , AB = 6, OA> OB的半径分别为4和2, P 、E 、F 分别是边CD 、 .A 和.B 上的动点,那么 PE+PF 的最大值是〔4+12 B . 6<总+16 C. 18 D. 62T7、：AD=2, BD = 4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当/ ADB = 60°时,求AB及CD的长；(2)当/ ADB变化,且其它条件不变时,求CD的最大值,及相应/ ADB的大小.2021重庆中考复习最值问题专题练习类型一、将军饮马解：如图,在菱形 ABCD 中,点A 、C 关于BD 对称,连接AE,与BD 的交点即为所求作的点 P,•. Z BAD = 120° , . ABC=180° —120°AE -L BC ,…AE=2-3 2 = 3/3 , 即PE+PC 的最小值为3\f3. 类型二、点到直线距离垂线段最短2、如图,在 Rt^ABC 中,/ C=90°, AC =8, BC=6,点P 是AB 上的任意一点,作 PDLAC 于点D, PEXCB 于点E,连接DE,那么DE 的最小值为解：••• Rt^ABC 中,/ C=90° , AC = 8, BC=6, •.AB = 10,连接CP, ••• PD^AC 于点D, PE^CB 于点E, ••・四边形 DPEC 是矩形,,DE = CP, 当DE 最小时,那么CP 最小,根据垂线段最短可知当CPLAB 时,那么CP 最小,DE = CP=° r=4.82、在边长为2菱形ABCD 中,/ ABC=60 °, M 、N 分别为线段 BC 和BD 上两个动点,那么 MN+CN 的最小 值是 O•••正方形ABCD 的边长为 3, BE=2, AE = J22./=打交,PE+PC 的最小值是.应选：B.2、如图,在菱形ABCD 中,AB=6,点 E 在 BC 上,BE=3, / BAD= 120° , P 点在 BD 上,那么 PE+PC= 60° ,「.△ABC 是等边三角形,AB=6, BE=3, .••点 E 是 BC 的中点,, 1、如图,正方形 ABCD 的边长为3, E 在BC 上,且BE=2, P 在BD 上,那么PE+PC 的最小值为〔根据两点之间线段最短可得AE 就是AP+PE 的最小值,PE+PC = PE+AP,的最小值为 3 ::2.如上左图,菱形 ABCD 中,AB = 4, /A=120°,点M 、N 、P 分别为线段 AB 、AD 、BD 上的任意一点, 那么PM + PN 的最小值为类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值1、如图,/ MON = 90° ,矩形 ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM , ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2, BC=1,运动过程中,点 D 到点.的■「ODWOE + DE, .•・当0、D 、E 三点共线时,点 D 到点O 的距离最大, 此时AB=2, BC= 1, •1- 0E = AE=-^-AB= 1 , DE = J q 2 十&岳 2 = J ] - 十]2 =,・••OD 的最大值为：J 叵+1.应选：A.2、如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 2, AD=3,点E 是AB 的中点,点F 是AD 边上的一个动点,将^类型三、平行线间的距离为最值1.如图,菱形 ABCD 的边长为5,面积为20, P 为CD 边上一动点〔异于 BC 上运动,那么 PM + MN 的最小值为 .C 、D 〕,点M 、N 分别在BD 、最大距离为〔C 、.1455D 、解：如图,取 AB 的中点E,连接OE 、DE 、OD,1 • CE =江②十BC 2= J ] 2 ,3 Z= J 10,「. A' C 的最小值=CE — A' E= 'J— 1 .应选：A.3、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6, AD =2'/^, ZA=45° , M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一动点,W △ AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A' MN,连接A' C,那么A' C 长度的最小值是4«j .2 •.四边形 ABCD 为平行四边形,,AD//BC, AD = BC = 2/2, CD = AB = 6,,•点 M 为 AD 的中点,/ A=45° ,,DM = MA =&, / MDE = / A= 45° , . . ME= DE DM = 1 , 3 .CE=CD+DE=6+1=7,由勾股定理得： CM2= ME2+CE2,,CM =412+7,=5K ;由翻折变换的性质得： MA' = MA =E,显然,当折线 MA' C 与线段MC 重合时,线段 A' C 的长度 最短,此时 A' C = MC —MA' =5浜一五=啦.4、如图,在矩形 ABCD 中, AB=2, BC=4,点O 、P 分别是边 AB 、AD 的中点,点 H 是边CD 上的 一个动点,连接 OH,将四边形OBCH 沿OH 折叠,得到四边形 OFEH ,连接PE,那么PE 长度的最小值)AEF 沿EF 所在直线翻折,得到△ A' EF,那么A' C 的长的最小值是〔解：以点E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE,当点A'在线段CE 上时,A' C 的长取最小值, 如下图.根据折叠可知： A' E=AE = -1AB = 1,在 Rt^BCE 中,BE 」AB=1, BC=3, / B= 90° ,解：如图,连接 MC;过点M 作MEXCD,交CD 的延长线于点 E.解：如图,连接是—叵二亚_EO、PO、OC. ..四边形ABCD 是矩形,B=/OAP = 90° ,在Rt^OBC 中,BC = 4, OB=1, • . OC=打、十理=百吊在Rt^AOP 中,OA=1, PA= 2, OP = q +22=,后-. OE=OC = -/Yf, PE>OE-OP,,PE 的最小值为4!^一5、〔2021?江岸区校级模拟〕如图,矩形ABCD中,AB=6, BC= 8, P是边CD上一点,Q是以AD为直径的半圆上一点,那么BP+PQ的最小值为〔〕D AP7 BA. 10B. 2713+4C. |VT3+1 D, 6/5 - 4解：设半圆的圆心为O,作O关于CD的对称点O',连接BO '交CD于点P,连接PO交半圆.于点Q,此时BP+PQ 取最小值,如下图.; AB=CD=6, BC=AD=8,,DO ' =_i_AD = 4,过.‘作O' E^BC交BC的延长线于E,那么四边形CDO' E是矩形,,CE=DO' =4, EO' = CD = 6,当BP+PQ取最小值时, BP+PQ= BO' "y OD=^62 + (8<4) 2=6^ -4-应选: D.6、〔2021?怀柔区一模〕如图,在Rt^ABC中,ZACB=90°,将△ ABC绕顶点C顺时针旋转得到^ A'B'C,D是A'B'的中点,连接BD,假设BC=2, Z ABC =60°,那么线段BD的最大值为 4解：连接CD,在RtAABC 中,・. / ACB=90° , BC = 2, / ABC =60° , / A= 30° ,.•.AB = A,B' =2BC = 4,「DB,= DA,,「. CD=^A,B' =2, BD<CD + CB=4,2・••BD的最大值为4,类型五、中位线+三点共线求最值如图,△ ABC中,/ACB = 90° , BC=6, AC=12,点D在AC上,且AD = 8,将线段AD绕点A旋转至AD' , F为BD'的中点,线段CF的最大值为解：如图,取 AB 的中点M,连接MF 和CM,二•将线段 AD 绕点A 旋转至AD' ,,AD' =AD = 8,・・•/ACB = 90° , • AC=12, BC = 6, . • M 为 AB 中点.. CM =3、后,.AD' = 8. 「M 为 AB 中点,F 为 BD '中点,FM如图：.,・当且仅当 M 、F 、C 三点共线且 M 在线段CF 上日CF 最大,此时 CF=CM + FM = 4+3店.类型六、胡不归问题求最值1、〔2021?南通〕如图,？ABCD 中,/DAB =60° , AB= 6, BC=2, P 为边 CD 上的一动点,贝 U PB+iJ! PD,当点B,点P,点E 三点共线且 BELAD 时,PB+PE 有最小值,即最小值为 BE,2、〔2021?长沙〕如图,△ ABC 中,AB = AC=10, tanA=2, BE^AC 于点E, D 是线段BE 上的一个动点,A . 2Ml B. 4我 C, 573 D. 10类型六、旋转+三点共线求最值1、如图,FA =JE, PB= 3\/1,以AB 为一边作正方形 ABCD,使P 、D 两点落在直线 AB 的两侧,当 P••• AB // CD Z EDP = Z DAB = 60° , sin/EDP =EP 二在 DP ^2" . EP —北 EP 2 PD PB+^PD = PB + PE 2. sin/ A = AEBE = 3、值*=67s -=4. D C解：如图,过点 P 作PEXAD,交AD 的延长线于点 E,的最小值等于B )与D51解：如图,将^ PAD绕点A顺时针旋转90°得到△ P'AB, PD的最大值即为P'B的最大值,.・旋转,AP=AP', Z PAP'=90° .・./APP' = 45°.. PP =&AP= 2j~^根据三角形的三边关系可得：PP'+PB>P'B .♦・当点P',点P,点B三点共线时,P'B取得最大值,即PD取得最大值.如图,过点A作AE^P'B△ APP'是等腰直角三角形AE= EP= V3 BE = 4/3 AB2=AE2+BE2= 51,正方形ABCD的面积=AB2=512、如图,在RtABC中, ACB 90,将ABC绕顶点C顺时针旋转得到^ ABC, M 是AC的中点,N是AB的中点,连接MN ,假设AC 4, ABC 30 ,那么线段MN的最小值为2 .解：如图,连接CN .在Rt ABC中,Q AC 4,AB 2AC 8, BC V3AC 4芯,「1-Q CM MA -AC 2 , AN NB , 2 (1)CN -AB 4, 2QMN- CN CM ,MN -4 2,即MN…2, MN的最小值为2.作业练习1、〔2021春？茅箭区校级月考〕如图,矩形ABCD 中,AB = 6, BC = 8, P是边AD上一动点,将^ ABP沿BP折叠后得^ BPM,当线段DM的长最短时,AP= 3解：如图,连接BD, AB=6, BC=8,BD= 10,二,将△ ABP 沿BP 折叠后得^ BPM,.•.AB=BM=6, AP=PM, /A=/PMB=90°,在4 8“口中,MD > BD — BM , •・当点M 在BD 上时,DM 的长最短,,DM =BD — BM= 4, PD2= DM2+PM2, •. ( 8-AP) 2=16+AP2, •.AP=32、如图,/ MON = 90 °,正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动,当正方形边长为2时,OD 的最大值为1+遮.解：如图,取AB的中点E,二,正方形边长为2,.-.OE = AE= BE=A-AB=A X 2= 1, 2 2由勾股定理得,口£ =血2十］2=店由两点之间线段最短可得D、E、.三点共线时OD的值最大,最大值为1+\疗.3、如图,/ MON = 90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM , ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=8, BC = 3,运动过程中,点D到点.的最大距离为9解：如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,. ODWOE + DE,・•・当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,此时,: AB=8, BC=3,OE = AE = —AB= 4, DE =4h口窑 +AE +4：= 5,「. OD 的最大值为：5+4 = 9;■L.i4、〔2021秋？梁子湖区期中〕如图,在^ ABC中,/ACB=90° , BC= 2, AC = 6, D为AC上一点,AD=4,将AD绕点A旋转至AD',连接BD' , F为BD'的中点,那么CF的最大值为.•.将线段AD绕点A旋转至AD' , AD' = AD=4,・・•/ACB = 90° , AC=6, BC=2, AB 川2= 2\/]^.. M 为AB 中点,. . CM=M!ii . . AD' = 4. .. M 为AB 中点,F 为BD'中点,FM==_AD' =2. CM+FM > CF , 2・•・当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时,CF最大,此时CF = CM + FM =55+2.5、如图,菱形ABCD中,/ A=60° , AB=6, OA> OB的半径分别为4和2, P、E、F分别是边CD、.A和.B上的动点,那么PE+ PF的最大值是〔〕A . 6Ml+12 B, 6,73+16 C, 18解：如图,连接PB,延长PB交.B于F,连接PA交.A于E,要求PE+PF的最大值,可以转化为求PA+PB的最大值. D. 6解：如图,取AB的中点M,连接MF和CM,,①当点P 与点C 重合时,PA 最大,〔由于/ ACDV/ADC,所以,点C 是“小角〞点〕；②当点P 与点C 或者点D 重合时,PB 最大.〔由于/ ACD = / ADC,所以,点C 、D 均是“小角〞点〕.所 以,根据 ①、②可知,当点P 与点C 重合时,PA 、PB 同时取得最大值,此时 PA+PB 的值最大, 在4ACD 中,・. / ADC=120° , AD = DC = 6,・•. AC=2X6X 率=6y/^, ・ . PE+PF 的最大值=AC+AE+BC+BF= 6仆+12.应选：A.6、如图,PA=2,PB = 4,将线段PA 绕P 点旋转一周,以AB 为边作正方形将^ PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△ P'AB, PD 的最大值即为P'B 的最大值,FA=PA', Z PAP'=90° PP'=V2FA = 2/^••・△P'PB 中,P'BVPP'+PB, PP' = V2PA = 2-/2, PB=4,且 P 、D 两点落在直线 AB 的两侧, ABCD ,那么PD 的最大值为 •・•点P 在线段CD 上,解：如下图,・•.当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值〔如图〕此时P'B=PP'+PB = 2/^+4,即P'B的最大值为254.7、：AD=2, BD = 4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.当/ ADB变化,且其它条件不变时,那么CD的最大值 .解：把^ ADC绕点A顺时针旋转60°得到△ AEB,那么AE=AD, BE=DC, /EAD = 60° ,・.△ADE 为等边三角形,DE = DA=2, / ADE = 60° ,当E点在直线BD上时,BE最大,最大值为2+4=6,・••CD的最大值为6,此时/ ADB = 120° .。
2020中考数学复习专题最值问题解析版
专题33最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x ba =-2时，y 有最小值。
y acb a min =-442；②若a <0当x ba=-2时，y 有最大值。
y ac b a max =-442。
2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．【答案】﹣4．【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN 最大=．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值；（4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋12QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 、c 的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD 为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，交BC 于点E ，令P (m ，m 2－4m ＋3)，易知直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，则E (m ，－m ＋3)，PE ＝(－m ＋3)－(m 2－4m ＋3)＝－m 2＋3m ．再由S △PBC ＝S △PBE ＋S△CPE，转化为12PE •OB ＝12×3×(－m 2＋3m )，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S △PBC 的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ ＝t ，则CQ ＝3－t ，AQ ＋12QC1(3)2t -，取CQ 的中点G ，以点Q 为圆心，QG 的长为半径作⊙Q ，则当⊙Q 过点A 时，AQ ＋12QC ＝⊙Q 的直径最小）、二求（由 AQ ＝12QC ，解关于t 的方程即可）．【解题过程】（1）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点， ∴令抛物线解析为y ＝a (x －1)(x －3)． ∵该抛物线过点C (0，3)，∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠MBA＝45°．∵D(2，－1)，A(3，0)，∴∠DBA＝45°．∴∠DBM＝90°．同理，∠DAM＝90°．又∵AM⊥BC，∴四边形ADBM为矩形．又∵DA＝DB，∴四边形ADBM为正方形．图1（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．∵S △PBC ＝S △PBE ＋S △CPE ＝12PE •BF ＋12PE •OF ＝12PE •OB ＝12×3×(－m 2＋3m ) ＝－32(m －32)2＋278，∴当m ＝32时，S △PBC 有最大值为278，此时P 点的坐标为(32，－34)．（4）如答图3，设OQ ＝t ，则CQ ＝3－t ，AQ ＋12QC1(3)2t -， 取CQ 的中点G ，以点Q 为圆心，QG 的长为半径作⊙Q ，则当⊙Q 过点A 时，AQ ＋12QC ＝⊙Q 的直径最小，此时，√t 2+1=12(3−t)，解得t ＝2√63－1， 于是AQ ＋12QC 的最小值为3－t ＝3－(2√63－1)＝4－2√63．1.（2018河南）要使代数式√2−3x 有意义，则x 的（ ） A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32D.最大值为32【答案】A.【解析】要使代数式√2−3x 有意义，必须使2-3x ≥0，即x ≤23，所以x 的最大值为23。
【精品】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题33 最值问题(学生版)
专题33 最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。
y ac b amin =-442； ②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。
y ac b amax =-442。
2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为 ．【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值；（4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋21QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题典型训练题1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ）A.最大值为32 B.最小值为32 C.最大值为23 D.最大值为23 2.（2018四川绵阳）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一.从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．Alll构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．3.如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，ABCEFPABCEFPBPB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．4.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．Q ABC DEFP连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．二.定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．D'PFE DCBAQAB【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．1.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，EFA BCDPFDHGAB CDEF所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．2.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°，αααHGABCDE FPABC∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【寻找定边】1.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．CCBB【寻找定边与直角】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．B连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．GF EDCB A∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．【辅助圆+将军饮马】1.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三.定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．1.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°2.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．3.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．ABCP4ABC 60°4.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．ABAAE 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
2020年中考数学专题复习(四)函数与最值(39张PPT)
∴直线BC的解析式为：
yBC=2x-6. ∴yD=2xD -6=-5.
D(1 ,5). 2
(3)过点E作直线EG⊥x轴于G，
交直线BC于点F，
设点E的坐标为(x,x²-x-6), 则，F(x,2x-6).
∴EF=yF-yE=(2x-6)-(x²-x-6)=-x²+3x.
∴S△BCE=S△CEF+S△BEF
2、平行于y轴的线段最值 ①首先表示出线段两个端点的坐标。 ②用上面端点的纵坐标减去下面端点的 纵坐标。 ③得到一个线段长关于自变量的二次函数 解析式。 ④将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量 的取值范围判断最值。
3.既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值
①以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE，求△BCE面积
的最大值及此时点E的坐标．
(4)若点M是y轴上的动点，
在坐标平面内是否存在点N，
使以点A，C，M，N为顶点的
四边形是菱形？若存在，
请直接写出点的坐标；
若不存在，请说明理由．
备用图
解: (1)如图，∵OA=2，OC=6， ∴A(-2,0),C(0,-6)
2
得，y 21. 4
所以，此时点E的坐标为：E(3 , 21).
24
(4)存在，N点的坐标为：
(2,2 10),(2,2 10),(2,0),(2, 10).
附（详解）：
3
∵A(-2,0),C(0,-6)，
AC (2 0)2 0 (6)2 2 10.
设直线AC的解析式为：yAC=k1x+m1,
三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴。
②根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标。 ③根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长。 ④根据勾股定理表示出斜边的平方。 ⑤得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数解析式。
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突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家
【模型建立】
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21
AC BC
V V +
的值最小．
【问题分析】
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．
【问题解决】
构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．
将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．
1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动
点，则CD+的最小值是_______．
【分析】”，考虑tan A=2，△ABE三边之比为1:2
sin∠，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH=．
问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD DH CH BE
+===．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，
则PB的最小值等于________．
【分析】”，已知∠A=60°，且sin，故延长AD，
作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH=，将问题转化为：求PB+PH最小值．
当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．
3.如图，已知抛物线()()248
k y x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次
交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．
（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M
从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少
【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （-2,0），
B
（4,0），直线解析式为y =+
，D 点坐标为(-，故抛物线解析式
为)()24y x x =
+-，化简为：2y x =-处略去了该题的第二小问．
点M 运动的时间为1
2AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
，即求1
2
AF DF ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的最小值．
接下来问题便是如何构造
2
DF
，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2
DF
． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．
4.抛物线2y =与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边）
，与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC
交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12
PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC 的解析式
为：y x AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2
EC
取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H
点，则∠CEH =30°，故CH =
2
EC
，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．
考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设
2,P m ⎛
-
⎝，
则E m ⎛
⎝
，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，
2
2=PE CH m +=+sin ABE ∠=
当P 点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。