简谐波

E
§16-2 平面简谐波
波动方程
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。 波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 化关系。
t T 的波形为
2 2 y A cos T x A cos x
t 5T / 4 波形向右平移了
5T T u 4 4
y
t 5T / 4
x
t T
§16-3 波的能量
波的强度
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
C 质点I、H 不仅已经过了自己的正 的最大位移，而且还经过了负的最大 B D E 位移，而进行着正方向的运动。质点 A G 则处于负的最大位移处。 F
I
H
G
波长和频率
经过T/4，波形曲线如下图所示，它表明原来位于C 和I 间的波形经过T/4 ，已经传播到A、G 之间来了。
A
B C
D
I G H F

向+y方向运动 0
A
y
t=0

y A
t > 0
较0点相位 落后 /2
x=0点初相位为－ /2
0 -A

x

例：一列平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播 ，波长为 。已知在 x0 4 处的质元的振动为 试写出波函数，并在 y 同一张坐标图中画出
A -T
0
t T和 t 5T / 4 的波
u

T

波长和频率
例16-1 频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波 线传播，经过波线上的 A点后，再经 13cm而传至 B点。求 (1) B 点的振动比A 点落后的时间。(2) 波在A、B两点振动时的相位 差是多少？ (3) 设波源作简谐振动，振幅为 1mm，求振动速度 的幅值，是否与波的传播速度相等？
某时刻所有质点的位移 位移与质点位置的关系图 该处质点向上运动 随着时间推移波形向右平移
平面简谐波的波动表式
沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式
y
u
o
P
x
沿x 轴负方向
x
O 点简谐运动方程：
y0 A cos t 0
P 点的运动方程为：
x y A cos t 0 A cos (t u ) 0
1 s 解 (1) 波的周期 T 3000
1
1.56 103 m s 1 波长 0.52 m 52 cm 1 3000s u
B点比A点落后的时间为
0.13 m 1 s 3 1 1.56 10 m s 12000
T 即 。 4
波长和频率
13 (2) A、B 两点相差 ， B点比A点落后的相差为 52 4
T t
形图 解：由图可知 x0 4振动表达式为
y x 0 A cost 2
设在x轴上P点处的坐标为x，则它的振动 要比x0处晚
x x0 / u x 4 / u
因此P点的振动表达式为
x 4 y A cos t 2 u 2 A cos t x 这就是所求的波函数
∴ 质元总能量 W Wp Wk 2Wp 2Wk x 2 2 2 A sin ( t )V
每个质元都与周围媒质交换能量。 波动质元：
质元从最大位移向平衡位置移动时，它从相邻质元获得能量， 总能量增加。
u
波的能量
振动系统： Ek Ep ，Ek Ep const. 系统与外界无能量交换。
2.波动方程 对y A cos t x u 0 求x 、t 的二阶偏导数,
得到
2 y x 2 A cos t 0 , 2 t u y x A cos t , 0 2 2 x u u

4
2

2
(3) 振幅 A=1mm，则振动速度的幅值为
vm A 0.1cm 3000s 1 2 1.88 103 cm/s 18.8 m/s
振动速度是交变的，其幅值为18.8m/s，远小于波速。
波长和频率
例16-2 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭 头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中 A、B、C、D、 E、F、G、H、I各质点的运动方向，并画出经过1/4周期后的波 形曲线。
2 2
2. 波的强度
能流 在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单位时 间内通过S 的能量。
d W wSu d t P wSu dt dt 2 2 2 uSA sin (t x u )
u
S
1 2 2 2 2 w A 2 平均能流： P w Su uSA W x 2 22 2 w A sin t V 平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 u
§16-1 机械波的产生和传播
波动是振动的传播过程。
机械波：机械振动在介质中的传播过程。
电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程。
1. 机械波产生的条件
波源
弹性介质
产生机械振动的振源 传播机械振动的介质
注：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中 的传播，介质的质点并不随波前进。
2.横波和纵波
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。 纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。
波谷 波峰 振动方向 传播方向
波密
波疏
注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。
横波和纵波
纵波和横波的传播过程：
纵波
横波
当波源作简谐振动 时，介质中各个质点也 作简谐振动，这时的波 动称为简谐波(正弦波 或余弦波)。
解 横波传播过程中各个质点在 其平衡位置附近振动，且振动方向 与传播方向垂直。
C
B
D E
I H
G
vC 0
A
F
根据图中的波动传播方向，可知在C 以后的质点 B 和A开始振动的时刻总是落后于C 点，而在C 以前 的质点 D、E、F、G、H、I 开始振动的时刻却都超 前于C 点。
波长和频率
在C 达到正的最大位移时，质点B 和A 都沿着正方向 运动，向着各自的正的最大位移行进,质点B 比A 更接近 于自己的目标。 质点F、E、D已经过各自的正的最大位移，而进行 向负方向的运动。
x y ( x, t ) A cos t u 1 2 2 x 2 Wk Wp A (V ) sin t 2 u
媒质质元的动能和势能在任何时刻都相同。同时增大减小。 当质元在平衡位置时动能和势能都是最大值。在最大位移处动 能和势能都最小。
yP (t ) A cos t t ' 0
平面简谐波的波动表式
x 因 t' u
y P (t ) A cos
t x 0 u
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。 利用关系式 2 T 2 和 uT ，得 t x y ( x, t ) A cos 2 0 T
在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和 放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波
动传播能量，振动系统并不传播能量。
波的能量密度 w ：介质中单位体积的波动能量。
W x 2 2 2 w A sin t V u
通常取能量密度在一个周期内的平均值
w
w A 2
平面简谐波
1.平面简谐波的波动表式
平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的 正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点。O点处质点的振动表式为
y0 (t ) A cos( t 0 )
y
P
O
u
x
x
平面简谐波的波动表式
y
O
u
P
x
x
考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。 若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点 的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说， P 点将落后于O点，其相位差为 t 。 P点处质点在时刻t 的位移为：
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
2 x y A cos t1 +0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线， 它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x

平面波
波 线 波 阵 面 波 线 波 阵 面
球面波
注：
1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。 2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份， 都可视为平面波。
波阵面和波射线
球面波、柱面波的形成过程：
4.波速、波长和频率
波速u：单位时间内一定的振动状态所传播的距离， 是描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量，大小 通常取决于介质的弹性和质量密度。 波长 ：在同一条波线上，相差为 2 的质点间的距离。 周期T：传播一个波长距离所用的时间。 频率 ：周期的倒数。 频率和周期只决定于波源，和介质种类无关。 波速、周期和波长之间存在如下关系：
2 2
y 1 y 2 2 2 x u t
2 2
平面波的波动 微分方程
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
【例】已知一个向右传播的波在 x = 0点的振动 试画出该波在 y 曲线如图所示。 A t = 0 时的波形曲线。 O点振动方程 解： -T 0 T t y A cos t 2 2 2 , yt 0 A cos x y A cos t x 2 2
3.波阵面和波射线
波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成 的面(简称波面)。 波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波 面即是波前。波前只有一个。 波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线 的指向表示波的传播方向。
平面波：波面为平面
球面波：波面为球面 柱面波：波面为柱面
波阵面和波射线
沿x 轴正方向
x y( x ,t ) A cos 2 t 0
y( x, t ) A cos( t k x 0 )
其中 k 2 波数
平面简谐波的波动表式
t x 波动表式 y ( x, t ) A cos 2 0 的意义： T x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。 2 x1 即 y A cos t +0 上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐运动。 y
平面简谐波的波动表式
波形曲线上沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动 相位差为：
2 1 2
x、t 都变化。
x2 x1

ຫໍສະໝຸດ Baidu 2
x

实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
x
x=u（t2-t1） 波的传播
y
u
t

波形曲线
y
x
T
t
振动曲线
某质点所有时刻的位移 质点位置与时间的关系图 某质点在向下运动 随时间推移曲线向右延展
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
可以证明
1 2 2 x 2 Wk Wp A (V ) sin t 2 u