数学分析重积分的变量替换变量替换公式

8.重积分变量代换

~ ≤ f 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得其中 e ≤ u
47
mT ( R) =
∂y ~ ~ ∂y ~ ~ ⎛ ∂ ( x, y ) ⎞ (u , v )(h − g )( f − e) = (u , v )mR = ⎜ mR ， ⎟ ∂v ∂v ~, v ~) ⎝ ∂ (u , v) ⎠ (u
2．二重积分变量代换公式设 U 为 uv 平面上的开集， V 是 xy 平面上开集，映射
46
T: x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) 是 U 到 V 的一个一一对应。进一步假设 x = x (u, v ) , y = y (u, v ) 具有连续偏导数， ∂ ( x, y ) ≠ 0，在这样的假设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。且有 ∂(u, v) 定理(二重积分变量代换公式) 映射 T 和区域 D ⊂ V 如上假设。如果二元函数 f ( x, y ) 在 T (D) 上连续，则
j 2
j
1,2, " , M ）上成立 T = T2 D T1 （为简便起见去掉了标记 i ，注意对不同的 D i ，可
能有不同 T1 和 T2 ），这里 T1 和 T2 是本原映射。设 ⎧ξ = ξ (u , v), ⎧ x = x(ξ ,η ), T1 : ⎨ 和 T2 : ⎨ ⎩η = η (u , v), ⎩ y = y (ξ ,η ). 那么 ∂( x, y ) ∂( x, y ) ∂(ξ ,η ) 。 = ⋅ ∂(u , v) ∂(ξ ,η ) ∂(u , v) 由引理 2 得 ∂ ( x, y ) f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) dξ dη ∫∫ ∂(ξ ,η ) T (D ) T1 ( D )

数学分析重积分的变量替换仿射变换

数学分析(二): 多元微积分
梅加强副教授南京大学数学系
内容提要:
3.5.1 仿射变换
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式;
因此下面不妨设 b = 0, 考虑线性变换.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO.
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
这称为伸缩变换.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),

数学分析(下)21-9重积分变量变换公式的证明

本节将给出在具有一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量变换公式(定理21.13)的一般证明.==(,),(,)x x u v y y u v §9 重积分变量变换公式的证明*返回证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.那么成立关系式ìü1A ¢D ¢C ¢P ¢O ¢2x ¢2A ¢2)(x T Q =2145-图C ¢¢P2A ¢¢1A 1A ¢¢CD2A D ¢¢G ¢其中(,,,)(,,,),P A C A T P A C A ¢¢¢¢=的边界¢D微分中值定理, 存在点使得(,),x x D ¢¢¢Î¶¢¢其中从而由的定义可得()h wm其中k 是与h 及在中的位置无关的常数(这是因¢D ¢D 界,因此和在上也上也有界有界).¢D =(1,2)i a i ()h w 现在来证明引理的结论, 即(1)式成立. 为此为此先证明先证明下面的包含关系:.(6)W D D ¢¢Ì 事实上, 设Z 为中的任意一点. 我们从平行四边形D 在有界闭域上具有一阶连¢¢=12(,)(1,2)i x x i j ¢D 为续偏导数,于是它们与它们的一阶于是它们与它们的一阶偏导数在偏导数在¢D 上有的中心出发,作一射线经过且延伸到无穷. 由¢¢D ¢¢Y Z 于函数与在上有界, 所以是¢¢112(,)x x j ¢¢212(,)x x j ¢D D 一有界区域, 并且它的边界是按段光滑的封闭曲G 线. 因此所作的射线必与相交于某一点.又由G 0Z (4) 式知道从而,W G Ì0.Z W W D ¢¢ÎÌ 因此包含整个线段所以¢¢ W D 0,Y Z ¢¢.Z W D ¢¢Î 这就证明了包含关系(6) 成立.设表示平行四边形中垂直于边的高.下i H ¢¢D ¢¢i PA面分两种情形证明(1)式成立.((),)((),()).T Y Y T Y T Y r r l *¢¢¢¢¢=£¢¢(,)x x h h 其中常数C不依赖于点与的选取, 即与£+=+28()48()()a h W a h h W l m w m() m D所有的¢¢¢Î(,)x x D 一致地成立.¢¢12(,)J x x ¢¢12(,)x x 表示在变换T 之下,面积微元在点的局部伸缩率.下面给出在¢¢==12(,)(1,2)i i x x x i j 具有一阶连续偏导数的一般条件下, 二重积分变量变换公式的证明. 证由于T 是一对一变换, 因而在所设条件下¢D 的按段光滑的边界曲线变换到D 时,其边界曲线也是按段光滑的. 在¢¢12x x 平面上作平行于坐标轴的方格¢D 12x x 网,它是的一个分割. 由变换T ,相应地得到平由(10)式看到, 与一元函数的导数相仿, 函数行列式内的方格D i在上的一个上界. 将它们按下标逐项相加, 得到1122121212((,),(,)|(,)|d d .D f x x x x J x x x x j j ¢¢¢¢¢¢¢¢¢=òò由(11)式中e 的任意性, 上面两式右边部分相等上面两式右边部分相等，，即得如下变换式成立:注值得注意的是,本节中所有的证明在n 维空间中112212120lim ((,),(,))|(,)|()i i i i i i i h if x x x x J x x j j m D ®¢¢¢¢¢¢¢å1122121212((,),(,)|(,)|d d .D f x x x x J x x x x j j ¢¢¢¢¢¢¢¢¢=òò1212(,)d d Df x x x x òò维立方体、、平行多面体来代替这里的正方只要用n维立方体。

重积分中的变量代换

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华北水利水电学院毕业论文
重积分中的变量代换
摘要
大学数学和高中数学相比最主要的不同就是多了微积分，而微积分中最主要的难点就是重积分的计算。对本科生而言，经常遇到的是二重积分和三重积分的计算，我们首先学习和熟练掌握了不定积分和定积分的计算，为重积分的学习打下了基础。在重积分的学习中，我们知道重积分的计算是化为累次积分来计算的，然而被积函数的形式和积分区域的复杂性并不是所有的重积分都能在直角坐标系中化为累次积分顺利求解，有的甚至根本不能求解。而解决这些困难的方法主要是引入新的变量，采用合适的变量代换去简化被积函数或者积分区域来达到求解重积分的目的。本文主要针对我个人以及大家在学习中的疑难点，从二重积分到三重积分再到 n 重积分进行详细的论述。第二章和第三章中，主要介绍平面坐标变换和空间坐标变换的一般式以及几种常见的变量代换，从变量代换的可行性和有效性出发，根据被积函数的形式和积分区域的类型，如何合理地选取相应的坐标变换来简化重积分的计算。最后很自然地类推到 n 重积分的变量代换，将变量代换一般化。针对各种不同的类型，我们讨论了不同变量代换的本质以及几何意义，并通过实际应用，从根本上对变量代换有了更深入的认识。关键字：重积分，累次积分，变量代换，测度，雅克比行列式
[6] [6] [1] [3] [1]
n 维空间坐标变换........................................................................................ - 36 引言........................................................................................................ - 36 一般 n 维空间坐标变换定理

数学分析重积分的变量替换变量替换公式

数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。

三重积分的变量代换 PPT

使用对称性时应注意:
１、积分区域关于坐标面的对称性; ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性、
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
y 1 x2 z2 , x2 z2 1 , y 1 所围成、
分析:若用“先二后一”, 则有
z
0
I ydy
1 x2 d xd z
1
Dy
1
ydy
1
1 x2 d xd z
o
0
Dy
计算较繁! 采纳“先一后二”较好、
x1
1y
解: 由y 1 x2 z , x2 z2 1, y 1 所围, 故可
三重积分的变量代换
一、三重积分的换元法
定理设 f ( x, y, z) 在 R3中的有界闭区域上连续，变换 T : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w)将 uvw 空间中的闭区域变为 xyz 空间中的，且满足 (1) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) 在上具有一阶连续偏导数； (2) 在上雅可比式 J (u, v, w) ( x, y, z) 0;
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
且关于zox 面对称, 的奇函数,
且关于yoz 面对称, xzdv 0,
由对称性知 x2dv y2dv ,
则I ( x y z)2dxdydz

数学分析(下)21-4二重积分的变量变换

§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。

13.3重积分的变量代换

m
i
y
→ ∫∫ f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D'
∆σ ij = 1 (2r + ∆r )∆r ∆θ j j j i
0
1 2 = rj ∆rj ∆θ i + ∆rj ∆θ i 2
2
x
D= ( x, y ) | x + y ≤ a
2 2
{
2
}
用曲线网格代替直线网格
I =
∫∫ e
∴∫∫
D
x y 2 1 − 2 − 2 dxdy = ∫∫ 1 − r abrdrdθ a b D′
2
2
2 = πab. 3
变量代换公式的证明
∫∫
T (D)
f ( x, y )dxdy = ∫∫
D
∂ ( x, y ) f ( x(u, v), y (u, v)) | | dudv ∂ (u, v)
Di 分为两种：正方形及正方形与D的边界相交分为两种：正方形及正方形与的边界相交
正方形与D的边界相交部分因其面积和正方形与的边界相交部分因其面积和的边界相交趋于零，则其上积分也收敛与零。趋于零，则其上积分也收敛与零。
下面考虑正方形的情形：下面考虑正方形的情形：正方形的情形
v
v+k v
在可求面积区域 D 上连续
− ( x2 + y2 )
I = ∫ dx ∫
=
a2 − x2
− a2 − x
e 2
dy
∫
a
−a
e
−x
2
dx ∫
a2 − x2
2 2
− a −x
e
− y2

变量置换法

则证明
∫
f ( x ) ⋅ dx =
∫
f [ϕ ( t )] ⋅ ϕ ′( t ) ⋅ d t = F [ϕ −1 ( x )] + C
∫ f ( x ) ⋅ dx
令 x = ϕ (t )
∫ f [ϕ (t )]⋅ dϕ (t ) = ∫ f [ϕ (t )]⋅ ϕ ′(t ) ⋅ d t
= F (t ) + C
∫
∫
1 1 t −1 1 = −2 1 + 2 +C − dt = − 2 + dt = −2t − ln t − 1 t + 1 t +1 t − 1
∫
∫
1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
2
例 10
令 t = ϕ −1 ( x ) = F [ϕ −1 ( x )] + C
1. 三角代换
例1
∫
a − x ⋅ dx
2
2
(a > 0) 令 x = a sin t ( −
2
π
2
<t<
π
2
)Leabharlann 1 + cos 2t = ∫ a cos t ⋅ a cos t ⋅ d t = a ∫ ⋅dt 2
sin t = a
1 = ( u 6 − 2 u 3 ) du 3
∫
1 u7 1 4 = [ − u ]+ C 3 7 2
1 = (2 + 21
7 3 x)3
1 − (2 + 6
4 3 x)3
+C

二第二换元法(变量代换法)

二.第二换元法（变量代换法）第一换元法是用凑微分的办法，把一个比较复杂的积分dx x x f )()]([ϕϕ'⋅⎰化成)()]([x d x f ϕϕ⎰再积分，第二换元法则是将积分dx x f ⎰)((看似简单，但是很难积分)用一个适当的变量代换)(t x ϕ=使dt t t f dx x f )()]([)(ϕϕ'⋅=⎰⎰却容易积分。

再将结果中的t 变回))((1x t -=ϕx .例3.20求dx x x ⎰sin .解令t x =，2t x =，tdt dx 2=，则dx x x ⎰sin c x c t dt t tdt t t +-=+-==⋅=⎰⎰cos 2cos 2sin 22sin .例3.21计算dx a x ⎰-221,(0>a ).解令t a x sec =，20π<<t .dt t ta t ad dx )sin (cos 1)cos 1(2-⋅-⋅==∴原式⎰⋅=dt tt a t a 2cos sin tan 11|tan sec |ln cos 1c t t dt t++==⎰c a x x c aa x a x +-+=+-+=||ln ||ln 22122.类似可算出dx ax ⎰+221,(0>a ).令t a x tan =，tdta dx 2sec =原式⎰⎰++==⋅=12|tan sec |ln cos 1sec cos c t t dt ttdt a a t c a x x c a x a a x +++=+++=22122ln ||ln ()c a x x +++=22ln .（为何不要绝对值？）例3.22求.)(12322dx x a ⎰+解令ax t tdt a dx t a x =⇒=⇒=tan ,sec ,tan 2.)(1csc ..sin 1cos 1sec sec 1)]tan 1([sec )(122223222222322232222322c x a a x dx x a x x a t xa ctgt c t a tdt a dt t t a dx t a t a dx x a ++=+⇒+=∴=+===+=+⎰⎰⎰⎰⎰例2.23求⎰-xx dx 2.解⎰-x x dx 2⎰---=41)21()21(2x x d （利用例3.20的结果）c x x +--+-=41)21()21(ln 2c x x x +-+-=2)21(ln .例3.24计算.922dx x x ⎰-.99ln 9393ln sin tan sec ln cos cos 1cos cos 1cos sin )(cos sin 3sec 9tan 39221222222sec 322c xx x x c x x x x c t t t dt t dt tdt t t dt t t dt t t t t dx x x t x +---+=+---+=+-+=-=-==⋅⋅-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰=画三角形例3.25求⎰-dx x a 22，（)0>a .解∵222)(1a x a x a -=-∴可令例3．29dxxe x x x ⎰++)1(1令,)1(,1dx e x dt t xe x x +==+则c xexe c t t dt t t tt dt xe xe dx e x dx xe x x x xx x x x ++=+-=--=-=++=++∴⎰⎰⎰⎰1ln 1ln 111()1()1()1()1(1例3．30⎰-+221)1(x x xdx 令,sin t x =则tdt dx cos =c xx c t t t d tt t t d dt t t t t tdt t xx xdx +---+-=+--+-=-++-=--=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰22222221212ln 42)]cos 2ln()cos 2[ln(42cos )cos 21cos 21(221cos 2cos sin 1sin cos )sin 1(cos sin 1)1(例3．31计算.922dx xx ⎰-.99ln 9393ln sin tan sec ln cos cos 1cos cos 1cos sin )(cos sin 3sec 9tan 39221222222sec 322c x x x x c x x x x c t t t dt t dt tdt t t dt t t dt t t t t dx x x t x +---+=+---+=+-+=-=-==⋅⋅-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰=画三角形例3．32⎰+dxx x )1(1tdtdx t x t x 2,,2=∴==则令.22112)1(2)1(122c x tg arc c tgt arc dt t dt t t t dx x x +=+=+=+=+⎰⎰⎰例3．33⎰+dx x x )1(1.2,11,,,022tdt dx t x t x t x x =+=+∴==>则令当.1ln 21ln 2)1(2)1(2)1(1222c x x c t t dt t dt t t t dx x x +++=+++=+=+=+⎰⎰⎰.2,11,,,122tdt dx t x t x t x x -=-=+-==--<则令当c x x dx x x +--+--=+⎰1ln 2)1(1§5.4分部积分法∵)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '⋅+⋅'='⋅∴)()(])()([)()(x u x v x v x u x v x u '⋅-'⋅='⋅.两边积分[]dx x u x v dx x v x u dx x v x u ⎰⎰⎰'⋅-'⋅='⋅)()()()()()(dx x u x v dx dxx v x u d ⎰⎰'⋅-⋅=)()()]()([.即)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ⎰⎰-⋅=此积分公式叫分部积分公式.例4.1⎰⎰⎰-==dx x x x x d x dx x x sin sin sin cos c x x x ++=cos sin ,其中x x u =)(,x x v sin )(=.例4.2求⎰xdx x ln .解⎰⎰⎰-⋅==↑↑)(ln 22)(ln )2(ln ln 222x d x x x x d x xdx x vu ⎰⋅-=dx x x x x 121ln 222c x x x +-=2241ln 2c x x +-=)21(ln 22.例4.3⎰+-dx e x x x )23(2⎰↑↑+-=vu x e d x x )23(2⎰+--+-=)23()23(22x x d e e x x x x ⎰↵--+-=dx e x e x x x x )32()23(2 =c e x x x ++-=)75(2.*例4.4vdx x u ↑⎰ arctan ⎰-⋅=)(arctan arctan x xd x x ⎰++-⋅=)1(1121arctan 22x d x x x c x x x ++-⋅=)1ln(21arctan 2.*例4.5x x x x de x x e x d e dx x e ⎰⎰⎰+-=-=cos cos cos sin )(sin cos x d e x e xx ⎰+-=xdx e x e x e x x x sin sin cos ⎰-+-=∴x e x e dx x e x x x cos sin sin 2-=⎰.∴c x x e dx x e x x +-=⎰)cos (sin 21sin .例4.6试求积分⎰dx x )ln (sin .c x x x I I x x x dx x x x dx xx x x x I +-=∴--=-=-=⎰⎰)]cos(ln )[sin(ln 2)]cos(ln )[sin(ln )cos(ln )sin(ln 1)ln (cos )sin(ln 原式例4.7求dx x e x ⎰+22)1(tan .解原式⎰++=dx x x e x )1tan 2(tan 22⎰⎰+=dxx e xdx e x x tan 2sec 222⎰⎰+=dx x e x d e x x tan 2tan 22⎰⎰+-=dx x e xde x e xx x tan 2tan tan 222⎰⎰+-=dx x e xdx e x e x x x tan 2tan 2tan 222c x e x +=tan 2.*例4.8⎰⎰⎰--=-dx xx xd dx x x 221)1(ln 1ln ⎰⎰-⋅+-=dx x dx x x x x 2111ln 1c x x+-=ln 1.*例4.9⎰dx x x 2sin sin ln ⎰-=)cot (sin ln x d x ⎰+⋅-=)sin (ln cot sin ln cot x xd x x⎰+⋅-=xdx x x x x cos sin cot sin ln cot ⎰+⋅-=dx x x x x 22sin cos sin ln cot ⎰-+⋅-=dx xx x x 22sin sin 1sin ln cot c x x x x +--⋅-=cot sin ln cot .例4.10.tgxdx arc x x ⎰+221.)1ln(21)(21)(211)(211)111(2222222c x arctgx xarctgx arctgx dx x x xarctgx arctgx d xdarctgx arctgx x dx xarctgx arctgxdx dx tgx arc x ++---+-=--⋅=+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4．11.dxe ectg arc x x ⎰c e x e e tg arc c t t t t tg arc dt t t t t t tg arc dt t t t t tg arc t d t tg arc dt tt tg arx dx e e ctg arc dt t dx t e x x x x x x +++--=+++--=+---=+-+-=-=====⎰⎰⎰⎰⎰)1ln(21)1ln(21ln )1(1[)1(11,1,22222原式则令例4．12.dx x x x ⎰--2)ln (ln 1.ln ln 11)ln )(1()ln 1()1()1(1)ln )(1()ln 1(ln 1)1(ln )ln )(1()ln 1(ln 1)ln 1(122c x x x c x x x x x x x d x x x x x x dx xx x x x x x x x x x x d x x x +-=+-----=--+---=-⋅------=---=⎰⎰⎰作业P.2382(1,4,6,8,15,16);3(3,5,9);4(3,7,9,11,15,19).§5.5简单有理函数的积分法例5.1⎰⎰+--=--=-c ax a x a x d dx a x 1)()()(122.例5.2⎰⎰---=+-dx x x dx x x )1121(2312c x x c x x +--=+---=|12|ln |1|ln |2|ln .例5.3dx x x x dx x x x ⎰⎰-+-+=-++545)42(23541322⎰⎰-+--+-+=54554)54(23222x x dx x x x x d ⎰-+--+=545|54|ln 2322x x dx x x ⎰--++-+=dx x x x x )1151(65|54|ln 232c x x x x +--++-+=|1|ln 65|5|ln 65|)1)(5(|ln 23.例5.4c x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 21)11(112223例5.5⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435⎰-+-++=dx x C x B x A ))2(21(2⎰⎰⎰---++-=dx x dx x dx x 2)2(121321132c x x x +-+-++-=21|2|ln 32|1|ln 32c x x x +-+--=21|12|ln 32.*例5.6⎰⎰⎰+-+++=+-+=+dx x x C Bx x A dx x x x x dx )422()42)(2(18223⎰⎰+---+=dx x x x x dx 42412121212⎰⎰+-++-+--+=424142)42(241|2|ln 121222x x dx x x x x d x ⎰+-++--+=4241|42|ln 241|2|ln 12122x x dx x x x ⎰+--++--+=222)3()1()1(41|42|ln 241|2|ln 121x x d x x x ⎰+-++--+=])3(1[3]3/)1[(41|42|ln 241|2|ln 12122x d x x xc x x x x +-++--+=31arctan 341|42|ln 241|2|ln 1212*例5.7⎰⎰⎰++-++++=++-dx x x x x x x d dx x x x 194117194)194(3194562222⎰+++-++=222)15()2()2(17|194|ln 3x x d x x ⎰+++-++=]152(1[15]15/)2[(17|194|ln 322x x d x x c x x x ++-++=152arctan 1517|194|ln 32.例5.8⎰+---+dxx x x x x )1)(1(1222先利用部分分式原式⎰⎰+----=dxx x x dx x 13122⎰⎰+-++-+---=43)21(251)1(21|1|ln 2222x dxx x x x d x ⎰-+-++---=])2321(1[23]23)21[(25|1|ln 21|1|ln 222x x d x x x cx x x x +-++---=2321arctan 35|1|ln 21|1|ln 22cx x x x +-++---=312arctan 35|1|ln 21|1|ln 22综合题举例例1．dxx x x⎰+cos sin sin 解法一.cos sin sin cos sin )cos (sin (cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin dx xx x dx x x x x d x dx xx x dx dx xx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-++-=+-=+-+=+导数）在分子上造一个分母的=+∴⎰dx x x x cos sin sin )cos sin )cos (sin (21dx x x x x d x ⎰++-c x x x ++-=)cos sin ln (21解法二dx x x dx x x x ⎰⎰+=+)4sin(sin 21cos sin sin πc x x x c t t dt t t t dt t t ++-=+-=-=-=⎰⎰)cos sin ln (21)sin ln (21sin cos sin 21sin )4sin(211π解法三dx xx x ⎰+cos sin sin=+-+++=+-++=+⋅+=+⋅+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dctgx x ctg ctgx dctgx x ctg dctgx ctgx dctgx x ctg ctgx ctgx dctgx xctg ctgx dx x ctg x ctgx dx ctgx 22222212111211121)1111(2111111csc 1111例2求dx xx ⎰sin cos 3c x x c u u du u u x d x x dx x x u x +-=+-=-=⋅=⎰⎰⎰=2sin sin ln 2ln 1sin sin cos sin cos 222sin 23解例3求dx x x⎰+2sin 12sin ..)sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1sin sin 2sin 1cos sin 2sin 12sin 222222c x x d xxx xd dx x x x dx x x ++=++=+=+=+⎰⎰⎰⎰解法一.)22123ln()2cos 2123(2cos 2123122cos 112sin sin 12sin 2c x x d x dx x x dx x x +-=--=-+=+⎰⎰⎰解法二例4求dx x x e x 22)11(⎰+-.1)1(2)]11(1[)1(21)1(21)1(21)11(2222222222222222C xe dx x xe x d e x e dx x xe x de dx x xe dx x e dx x x x e dx x x e xxx x x x x x x x ++=+-+⋅-+=+-+=+-+=++⋅=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-解例5求dx x x arctgx ⎰+)1(22解arctgxdx xx dx x x arctgx )111()1(2222+-=+⎰⎰c arctgx x x x arxtgx arctgx dx xx x x arxtgx arctgx x x dx x arxtgx arctgx arctgxd x arxtgxd dx x arctgx dx x arctgx +-+-+-=-+-+-=-++-=--=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222222)(211ln 21ln )(21)11()(21])1([)()1(1例6求.),1max(2dx x ⎰解).,(.1,;1,1),1max()(22+∞-∞∈⎩⎨⎧>≤==C x x x x x f 设其原函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+-<+=>≤-<=⎰⎰⎰.1,311,1,31.1,1,1,)(3321322x c x x c x x c x x dx x x dx x dx x x F.32,320,32,32311131),(lim )(lim );(lim )(lim 1),,()(132212312,231111-===-=+=+-=+-+=+==±=∴+∞-∞∈-+-+-→-→→→c c c c c c c c c c c x F x F x F x F x C x F x x x x 得取即即处有在故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-<-=1,32311,1,3231)(33x x x x x x x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+-<+-=+=∴⎰.1,32311,1,3231)(),1max(332x c x x c x x c x c x F dx x 例7求dx x b x a ⎰++)sin()sin(1..])sin()cos()sin()cos([)sin(1)sin()sin()sin()cos()cos()sin()sin(1)sin()sin()]()sin[()sin(1)sin()sin(1dx a x a x b x b x b a dx b x a x b x a x b x a x b a dx x b x a b x a x b a dx x b x a ++-++⋅-=++++-++⋅-=+++-+⋅-=++⎰⎰⎰⎰解例8⎰-+221)1(x x xdx 令,sin t x =则tdtdx cos =c x x c t t tt d t t d t d tt t t d dt t t t t tdt t xx xdx+---+-=+--+-=---++-=-++-=--=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222221212ln 42)]cos 2ln()cos 2[ln(42]cos 2)cos 2(cos 2)cos 2([221cos )cos 21cos 21(221cos 2cos sin 1sin cos )sin 1(cos sin 1)1(。

重积分的积分方法和积分公式

重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。

重积分包括二重积分和三重积分两种形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。

1.二重积分的积分方法在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出，公式如下：$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。

不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。

2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。

$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。

$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中，$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下，相对于$\theta$的极径取值范围。

积分的变量替换法

说明： (1)不定积分换元后需回代，定积分换元不需要回代.
(2)当
,即区间换为时，结论仍然成立.
(3)换元公式也可以反过来用：
ఉ ఈ
௕ ௔
(令
或配元(或凑微分)
ఉ
ᇱ
ఉ.
第33讲泰勒公式的应用——定积分的换元法
ଽ
例10求定积分
ସ
例11设函数在 గଶ
b a
f
(x)d x
f
(t)(t) d t.
定积分变量替换形式上可以看作为三个变化.依次是：
(1)积分区间即积分上、下限要对应变化，即“换元先换限”;
(2)在变换
下，被积函数变化为
.
(3)积分元素变化为
ᇱ
.
第33讲泰勒公式的应用——定积分的换元法
b a
f
(x)d x
f
(t)(t) d t.
定理2设
是单调的、可导的函数，并且 ᇱ
，
又设
ᇱ 具有原函数，则有换元公式
ᇱ ௧ୀఝషభሺ௫൯
不定积分的第二类换元积分公式
例6求不定积分
第33讲泰勒公式的应用——不定积分的第二类换元法
例7求不定积分例8求不定积分例9求不定积分
ଶଶ ଶଶ ଶଶ
（
）
（
）
（
）
ܽ ‫ݔ‬
‫ݐ‬
ܽଶ െ ‫ݔ‬ଶ
ܽଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ݔ‬
‫ݐ‬ ܽ
‫ݔ‬
‫ݐ‬ ܽ
第33讲泰勒公式的应用——不定积分的第二类换元法
‫ݔ‬ଶ െ ܽଶ
定理3设函数在区间上连续，函数
满足：
(1)
；
(2) 在
(或 )上具有连续的导函数，

21_9 重积分变量变换公式的证明

下面来估计点 Q
T ( Q )
与点 Q T ( Q ) 之间的距
离. 由 (2) 及 (3) 式有
2 x i x i i ( i1 , i2 ) i ( x1 , x ) ( x1 x1 ) x1 x1 2 i ( i1 , i2 ) i ( x1 , x ) ( x x ) 2 2 x 2 x 2 ( i 1, 2 ).
行四边形 P A1C A 2 , 其中 A1 , C , A 2 分别为 A1 , C , A 2
在映照 T 下的象(图21-45).记这平行四边形为它 , 的边界为 . 由(3)式知
的两条边 P A i ( i 1, 2 ) 的长分别为
上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域
D
一对一
地变换成 x 1 x 2 平面上的闭域 D . 又设 i ( x 1 , x 2 )
( i 1, 2 )
在 D 上具有一阶连续偏导数,并且
( 1 , 2 ) ( x 1 , x 2 ) 0 , ( x 1 , x 2 ) D .
前页后页返回
从而由 ( h ) 的定义可得
| x i x i | ( 2 h ) h ( 2 h ) h 4 ( 2 h ) h .
因此 Q 与 Q 之间的距离
( Q , Q )
( x 1 x 1 ) ( x 2 x 2 ) 6 ( h ) h .

从而 Y 在映射 T 下的象
Y T ( Y ) U (Y , ) \ W .
又因 W ，所以与 \ W 不相交. 若存在点 Z

[理学]重积分的变量代换

⎡ ⎛ x 2 + y 2 ⎞⎤ 2 2 ⎢ 2a − x + y − ⎜ ∫∫ ⎜ a ⎟ ⎟⎥ d x d y = ∫∫ ⎝ ⎠⎦ D ⎣ 0≤ r ≤ a
0 ≤θ ≤ 2π
⎛ r2 ⎜ ⎜ 2a − r − a ⎝
⎞ ⎟ ⎟r d r d θ ⎠
= ∫0
2π
⎛ r2 dθ ∫ ⎜ 2a − r − 0 ⎜ a ⎝
因此所求的面积为
2 ∫∫ dxdy = 2∫∫ abrdrdθ =2∫ dθ
D D1 2 0
π
∫
ab sin θ cosθ c2
0
abrdr
a 2b 2 = 2 c
2 2 a b 2 。 sin θ cos θ d θ = 2 ∫0 2c矩形，由于区域 D 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 D 边界相交的小矩形的面积之和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。定义 13.3.1 或
x = r cos θ , y = r sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r < +∞
是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时
∂( x, y ) cosθ = ∂(r ,θ ) sin θ − r sin θ =r。 r cosθ
例 13.3.3 计算 ∫∫ sin(π x 2 + y 2 )dxdy ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} 。
T ( D)
∫∫
f ( x, y ) d x d y = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))
D
∂ ( x, y ) dudv 。 ∂(u, v)
显然，当 f ( x, y ) ≡ 1 时，由以上定理得

二重积分的变量替换公式课件

二重积分的变量替换公式课件
目录
• 二重积分的基本概念 • 变量替换在二重积分中的应用 • 二重积分的变量替换公式 • 二重积分变量替换公式的注意事项 • 习题与解答
contents
01
二重积分的基本概念
二重积分的定义
定义
符号表示
二重积分的几何意义
几何解释
计算方法
通过将曲面分割成若干小片，再求各小片的近似体积，最后求和得到总体积。
积分区域的可加性
如果D1和D2是两个不重叠的区域，则∫∫D1∪D2 f(x,y) dA
= ∫∫D1 f(x,y) dA + ∫∫D2 f(x,y) dA。
02
变量替换在二重积分中的应用
变量替换的引入
简化积分计算解决特定问题扩展积分范围
变量替换的步骤
01
选择替换变量
根据问题的具体情况，选择适当的变量进行替换。
二重积分的性质
可加性
对于不同的区域D1和D2，如果它们的并集等于D，则有 ∫∫D f(x,y) dA = ∫∫D1 f(x,y)
dA + ∫∫D2 f(x,y) dA。
线性性质
对于常数a和b，有∫∫D (a+b)f(x,y) dA = a∫∫D f(x,y)
dA + b∫∫D f(x,y) dA。
习题三
总结词
应用二重积分的变量替换公式解决问题是解题的核心。
VS
详细描述
二重积分的变量替换公式是解决二重积分问题的关键工具。通过应用这些公式，可以快速计算出积分的值。常见的二重积分变量替换公式包括极坐标替换、球面坐标替换等。在解题过程中，需要根据具体问题选择合适的替换公式，并正确应用它们来解决问题。

多重积分的变量替换

23
闭方块测度不等式(续3)
因此，T Q 1γ m n N J (T ) xk Qk k 1
1γ m n Q J (T )x dx
N
1γ m n
k 1
J (T ) xk J (T )x dx
Qk
令m就得到
T Q Q J (T )x dx
24
开集的测度不等式
• 对于开集G,成立测度不等式
T G G J (T )x dx
• 证明: 取可数多个不重叠的闭方块QKG,满
足 G Qk, 因此
k 1
T G Qk
k 1
k 1
J (T )x dx
Qk
G J (T )x dx 25
有界可测集的测度不等式
• 对于有界可测集E,成立测度不等式
T E E J (T )x dx
• 证明:由E可测,取单调递减有界开集列Gk和
20
闭方块测度不等式
通过把Q的各边m等分将等分Q为N=mn个不重叠的小方块{Qk},记Qk的中心为xk, Lk=T(xk), k=1,…,N. 由可微性
x Qk , T (x) T xk Lk x xk αk (x)
由微分中值定理, 得到不等式,
x Qk , αk (x) T xk θ x xk T xk x xk
n
y x yixi 2 i1
6
记号复习：差分矩阵表示
• 上页的式子的矩阵形式：
T 1
(
y
)
T 1
(
x
)
T 1Leabharlann x 1T n(
y
)
T n
(
x
)
T n
x 1
T 1

数学分析 重积分的变量替换变量替换公式

8.重积分变量代换

数学分析 重积分的变量替换仿射变换

数学分析(下)21-9重积分变量变换公式的证明

重积分中的变量代换

数学分析 重积分的变量替换变量替换公式

三重积分的变量代换 PPT

数学分析(下)21-4二重积分的变量变换

13.3重积分的变量代换

变量置换法

二第二换元法(变量代换法)

重积分的积分方法和积分公式

积分的变量替换法

21_9 重积分变量变换公式的证明

[理学]重积分的变量代换

二重积分的变量替换公式课件

多重积分的变量替换

数学分析重积分的变量替换变量替换公式

数学分析重积分的变量替换仿射变换

数学分析重积分的变量替换变量替换公式