随机过程——随机过程不随机
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
随机过程名词解释
随机过程名词解释
随机过程是一种统计学，它研究与时间无关的概率模型。
一、定义：随机过程是随机事件的序列，该序列取自某一个随机变量。
由于这些变量都可以用来描述随机过程，所以又把随机过程称为过程。
对于同一个随机过程，其“出现”的可能性总是相等的，故我们也说“可能性是相等的”。
有序的随机变量的集合称为概率空间，即具有某种特定形式的函数空间。
对于任何一个随机过程，它可以定义在这个空间内的每一点上，并且这个过程的概率与函数的局部值无关。
二、内容：①在随机过程中，系统的状态转移的结果(结果的概率)是随机变量(状态)的取值，而这些随机变量的取值是独立的; ②在随机过程中，系统状态转移的过程不是事先确定的，它们都是随机发生的; ③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
①在随机过程中，任意两个系统的状态转移必然是相互独立的，因为随机过程中状态的转移是按照一定的概率规律进行的。
但是，这种状态的独立性不是绝对的，只要存在着某种随机干扰，则系统的状态就会从独立变成不独立。
所以，在随机过程中，状态的转移不一定是相互独立的。
②在随机过程中，系统的状态转移是随机变量序列，是一个取自随机变量集合的概率分布。
这些随机变量的取值是不相同的，或者说这些随机变量是以不同的概率出现的。
③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
如在某随机过程X0=x+y的结果集中，
已知某两个结果Y=-0.6和Y=-0.08，那么无论对哪个结果Y，人们都知道它对应着概率P=0.08。
随机过程的基本概念
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随机过程在数据挖掘中的应用
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随机过程在数据可视化中的应用
随机过程在机器学习中的重要性 随机过程在机器学习中的具体应用 随机过程在机器学习中的发展趋势 随机过程在机器学习中的研究方向
强化学习：随机过程在强化学习中的应用如Q-lerning、SRS等 动态规划：随机过程在动态规划中的应用如马尔可夫决策过程、动态规划算法等 概率图模型：随机过程在概率图模型中的应用如贝叶斯网络、马尔可夫随机场等 深度学习：随机过程在深度学习中的应用如随机梯度下降、随机优化算法等
应用：在信号处理、控制系统 等领域有广泛应用
例子：布朗运动、白噪声等随 机过程具有平稳性
定义：随机过程在无限长的时间内每个状态出现的概率都趋于一个常数 性质：遍历性是随机过程的基本性质之一它描述了随机过程在长时间内的行为 应用：遍历性在随机过程理论、统计物理、金融等领域都有广泛的应用 例子：布朗运动、随机游走等都是遍历性的例子
性能评估：随机过程用于评估 通信系统的性能指标如误码率、
传输速率等
风险管理：利用随机过程模型 评估金融风险制定风险管理策 略
股票价格预测：利用随机过 程模型预测股票价格走势
投资组合优化：利用随机过程 模型优化投资组合实现收益最
大化
利率预测：利用随机过程模型 预测利率走势为金融机构提供
决策支持
随机过程在物理学 中的应用：如布朗 运动、量子力学等
随机过程的描述：随机过程可以用概率分布、概率密度函数、期望、方差等统计量 来描述
随机过程的分类：根据不同的特性随机过程可以分为平稳过程、非平稳过程、马尔 可夫过程等
随机过程的应用：随机过程在金融、经济、工程等领域有广泛的应用如股票价格、 汇率、信号处理等
第二章随机过程的概念与基本讲解
例 6、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且有 相同的两点分布
X i -1 1
pi 1/2 1/2
n
令Y (0) 0,Y (n) X i 。 i 1
试求：随机过程 {Y (n),n 0,1,2,} 的均值函数和相关 函数。
§ 2.3 复随机过程
定义 2.5 设 { X t , t T } ，{Yt , t T } 是取实数值的两
例 2 设随机过程
X (t) Y Zt, t 0
其中，Y,Z 是相互独立的 N(0,1)随机变量，求此随机过 程的一、二维概率密度族。
注:二维正态分布的密度函数:
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
第二章 随机过程的概念与基本类型
随机过程---随机信号 随机过程是与确定性过程相对立的一个概念.从信 息论的观点 ,对接收者来讲只有信号表现出某种不可预 测性才可能蕴涵信息.因为如果在信号收到以前接收者 已准确地预测它的一切,则这种信号是毫无用处的.类似 地,若接收者能从信号的过去正确地预测它的将来,将来 的部分信号即成多余。
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
例 3 设 X(t)是实随机过程，x 为任意实数，令
Y
(t)
1, 0,
X (t) X (t)
x, x,
证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别为 X(t)的 一维和二维分布函数。
随机过程课件
。每个可能取的值称为一个状态。
对随机过程 {X (t) , t T} 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测) , 其结果是 t 的函数, 记为
x(t) , t T , 称它为随机过程的一个 样 本 函 数 或 样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程 总体
样本函数 个体
（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。
离散参数的随机过程亦称为随机序列。
四、随机过程的分布函数族
给定随机过程 {X (t),t T}.
对固定的 t T, 随机变量 X (t) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX (x,t) P{X (t) x}, x R.
1 0.5
-4
-2
-0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变量。
另一方面，对随机变量 做一φ次试验得一个试验值 ，
就是一条样本曲线。X (t) a cos(0t )
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, )上的一个子集，且包含无限多
个数。随机过程是一族随机变量，可用 {X (t),t T} 来表示。T称为 随机过程的参数集。
在次概数率是论一中个曾随指机出变，量在，单记位X时(t间)为内[0一,t]电内话的站呼接叫到次的数呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X() k} k e , k 0, 1,2, ,( 0)
k! 在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
P{X(t) k} (t)k et , k 0, 1,2, ,( 0)
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
随机过程名词解释
随机过程名词解释
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。
随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。
例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。
随机过程的理论产生于20世纪初期，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。
目前，在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。
发展概况：
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程至今仍是重要的研究对象。
虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。
1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。
这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。
稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
随机过程新版
2 0
sin(0t
)
1
2
d
0
自有关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
0
1
2
d
1 2
cos 0
第3章 随机过程
可见，自有关函数与时间t无关，仅与τ有关。
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程经过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程旳基本概念
• 随机信号
信号旳某个或某几种参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性旳信号称为随机信号。
• 随机噪声
不能预测旳噪声统称为随机噪声。 从统计学旳观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
第3章 随机过程
原则正态分布 a＝0，σ＝1 其分布函数为φ(x)
f (x)
1
2
exp
x2 2
正态分布函数：
x
F(x)
1
2
exp[
(x a)2
2 2
]dx
(
x
Байду номын сангаас
a)
误差函数：
erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数：erfc(x)=1-erf(x)=
2 ez2 dz
x
当x≤a时，erfc(x)＝2－2φ( 2 x)
1
(2 )n / 21 2 n
B 1/2
随机过程
又设任意t1 , t2 T RXX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] (自)相关函数 C XX (t1 , t2 ) Cov[ X (t1 ), X (t2 )] E [ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
T 为参数集，对固定的e和t , X (e, t )称为过程的状态； X (e, t )所有可能的值的全体称为状态空间；
4
今后将X (e, t )简记为X (t )
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
则 X (t ), t , 是一随机过程。
cos t 当出现H X (t ) 当出现T t
FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn )
ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
一般地，FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T 称为随机过程 X (t ), t T 的有限维分布函数族 它完全确定了随机过程的统计特性
2 X t RX t , t
各数字特征之间的关系如下：
C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2
2 X
t C X t , t RX t , t t
2 X
15
e ( X (e, t ) t (, )),
即( X (t ), t (, ))பைடு நூலகம்—随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
随机过程的概念
随机过程的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊随机过程这个有意思的玩意儿。
你说啥是随机过程呀？就好比天气，那可是变化无常，今天大晴天，明天可能就下起雨来了，后天说不定又是大太阳，这天气的变化不就是一种随机过程嘛！再想想抽奖，你永远不知道下一次会抽到啥，这也是一种随机过程呀。
咱生活中到处都是随机过程的影子呢！就说等公交车吧，你不知道它啥时候来，有时候等半天不来，有时候一下子来好几辆，这多像随机过程呀！还有股票的涨跌，那更是让人捉摸不透，一会儿涨得高高的，一会儿又跌得惨惨的，可不就是随机过程在捣乱嘛！随机过程就像个调皮的小孩子，一会儿这样，一会儿那样。
它可不会按照你的计划来，总会给你带来些意想不到的情况。
就像你计划好了周末去爬山，结果到了那天却下起了大雨，这就是随机过程在和你开玩笑呢！咱学习随机过程有啥用呢？用处可大啦！比如在通信领域，信号的传输就受到各种随机因素的影响，要是不研究随机过程，那通信质量可就没法保证啦。
还有在金融领域，不了解随机过程，怎么能做好投资决策呢？而且，研究随机过程能让咱变得更聪明呢！为啥这么说？因为你得不断地去思考、去分析那些看似毫无规律的现象，慢慢地你就会发现一些隐藏的规律。
就好像玩拼图游戏，一开始乱七八糟的，但是你耐心地去拼，总能拼出一幅完整的画面。
你想想，要是生活中没有了随机过程，那多无聊呀！一切都按部就班，那还有啥惊喜和意外呢？虽然有时候随机过程会给咱带来些小麻烦，但也正是因为有了它，生活才变得丰富多彩呀！随机过程就像是生活的调味剂，给我们的日子增添了各种滋味。
有时候是甜的，有时候是酸的，有时候是苦的，有时候是辣的。
我们不能控制它，但我们可以试着去理解它、适应它。
所以呀，别害怕随机过程，要勇敢地去面对它，和它一起玩耍，从它身上发现那些有趣的东西。
相信我，当你真正了解了随机过程，你会发现这个世界变得更加奇妙啦！总之，随机过程是个很神奇很有趣的东西，它就在我们身边，影响着我们的生活。
随机过程 通俗易懂
随机过程通俗易懂随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了一类随机现象的演化规律。
通俗地说，随机过程可以理解为随机事件在时间上的演变。
在我们的日常生活中，有很多随机现象，比如天气变化、股票价格波动、人的行走轨迹等等，这些都可以用随机过程来描述。
随机过程的特点是不确定性和随机性。
在随机过程中，未来的状态是不确定的，只能根据过去的观察结果来推测。
而且，随机过程是随机变量的集合，这些随机变量表示在不同的时间点上的随机事件。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型，离散时间随机过程是指在离散时间点上进行观察和计算，连续时间随机过程是指在连续时间上进行观察和计算。
随机过程的演化规律可以用概率分布来描述。
在离散时间随机过程中，我们可以用概率质量函数来描述随机变量在不同时间点上的取值概率。
而在连续时间随机过程中，我们可以用概率密度函数来描述随机变量在不同时间点上的取值概率密度。
随机过程有很多重要的应用，比如在金融领域中，随机过程可以用来描述股票价格的变化规律，从而帮助投资者做出决策。
在通信领域中，随机过程可以用来描述信号的传输和接收过程，从而帮助设计和优化通信系统。
在生物学领域中，随机过程可以用来描述生物体的遗传变异和进化过程。
在工程领域中，随机过程可以用来描述材料的疲劳和损伤过程，从而帮助设计和改进工程结构。
随机过程的研究不仅需要数学理论的支持，还需要大量的实验数据和观察结果。
通过对随机过程的研究，我们可以更好地理解和预测随机现象的演变规律，从而为决策和规划提供科学依据。
随机过程是概率论中一个重要的概念，它描述了随机现象在时间上的演变规律。
通过对随机过程的研究，我们可以更好地理解和预测随机现象的演化规律，为各个领域的决策和规划提供科学依据。
随机过程的应用前景广阔，将在各个领域发挥重要的作用。
希望本文能够帮助读者更好地理解随机过程的概念和应用。
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程
随机过程的简单定义
随机过程被认为是概率论的“动力学”部分， 即它的研究对象是随时间演变的随机现象， 它是从多维随机变量向一族 (无限多个)随机 变量的推广。 给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将 样本空间中的每一元作如下对应，便得到一 系列结果：
e X (e),
即X —— 一维随机变量
g ( x)dF ( x)
对于多维随机变量
X1 X X 2 X n
Y g ( X)
随机向量函数的数学期望
E (Y)
g ( X) f X ( x)dx
X1,X2, …,Xn为随机变量，求随机变量函数 Y=a1X1+a2X2+…+anXn的数学期望。
16
分布函数（一个描述随机变量取值的概 率分布情况的统一方法）
F ( x) P(e : X (e) x), x
性质： 1.F(x)是非降函数； 2. 0≤F(x) ≤1；
3.P{x1<X ≤ x2}=F(x2)-F(x1)
4.F(x)是右连续。
17
离散型随机变量的概率分布用分布列描述
F ( x) F ( x1 ,, xn ) P(e : X 1 (e) x1 ,, X n (e) xn )
为 X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数 若 n=2，则称为二维联合分布函数
27
边际分布(marginal distribution)
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便是一维 分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边际分布。 对于任意两个随机变量 X,Y，其联合分布函数为FXY(x,y)，则
第二章 随机过程
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
随机过程 通俗易懂
随机过程通俗易懂随机过程，作为概率论和数理统计中的重要概念，是描述随机现象演化规律的数学模型。
它在实际生活中有着广泛的应用，比如天气预报、股市走势等等。
今天，我们就来通俗易懂地解释什么是随机过程，以及它的一些基本特征。
随机过程可以简单地理解为一种随机现象随时间的演化规律。
我们可以将其比喻成一个不断变化的系统，其中的状态在不同的时间点上呈现出不同的特征。
这些特征可以是数值、状态或事件等。
随机过程通常用X(t)来表示，其中的t表示时间。
我们可以把X(t)理解为在时间t上的随机变量，它的取值可以是任意的。
通过观察X(t)在不同时间点上的取值，我们可以揭示出这个随机过程的一些规律和特征。
随机过程有一个重要的特性就是它的状态是随机的。
也就是说，在同一个时间点上，随机过程的状态是不确定的，只有在我们观察到具体的取值之后，才能得到确定的结果。
这种不确定性是随机过程的核心特征之一。
随机过程还具有一种平稳性的特征。
所谓平稳性，是指随机过程在不同时间段上的统计特性是相同的。
换句话说，无论我们选择在哪个时间段上观察随机过程，它的统计规律都是一样的。
这种平稳性使得我们可以通过对随机过程的观察和分析，推断出它在未来的演化趋势。
随机过程的另一个重要特征是马尔可夫性。
所谓马尔可夫性，是指随机过程的未来状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
换句话说，在给定当前状态的情况下，过去的状态对预测未来状态没有任何帮助。
这种特性使得我们可以简化对随机过程的建模和预测，提高计算效率。
除了上述特征之外，随机过程还可以分为离散时间和连续时间两种。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上观察随机过程的变化，比如抛硬币的结果。
而连续时间随机过程则是指在连续的时间段上观察随机过程的变化，比如股市的涨跌。
总结起来，随机过程是描述随机现象演化规律的数学模型，它具有状态的随机性、平稳性和马尔可夫性等特征。
通过对随机过程的观察和分析，我们可以揭示出随机现象背后的规律和趋势。
第三章随机过程
随机过程－ －第三章 随机过程－
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数字期望
数字期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统 数字期望（简称均值）是用来描述随机变量 的统 计平均值， 反映随机变量取值的集中位置。 计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。 对于离散随机变量X， 是其取值x 对于离散随机变量 ，设 P( xi )(i = 1, 2,L , k )是其取值 i 的 概率， 概率，则其数字期望定义为
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随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数， 前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较 全面地描述随机变量的统计特性。然而， 全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实 际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布， 际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布， 而只想了解随机变量的某些特征， 而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的 统计平均值， 统计平均值，以及随机变量的取值相对于这个平均 值的偏离程度等。 值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数 值就称为随机变量的数字特征。 值就称为随机变量的数字特征。
随机过程－ －第三章 随机过程－
12
对于离散随机变量， 对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为
D[ X ] = [ x i − E ( X )] 2 Pi ∑
i
式中， 是随机变量X取值为 的概率。 取值为x 式中，Pi是随机变量 取值为 i 的概率。 对于连续随机变量， 对于连续随机变量，方差的定义可表示为
+∞ +∞
{
}
−∞ −∞
∫ ∫ x
1
− a ( t1 ) x2 − a ( t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1dx2
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随机过程——随机过程不随机
随机过程与概率论是相互依存的，前文介绍了概率论在通信中的应用，这里简要介绍一下通信中随机过程的应用。
通信过程中的随机过程极为常见，比如通信中经常用到的高斯白噪声就可以理解成一个随机对象。
通常人们研究的都是平稳随机过程，而在通信中的大部分随机过程也都是宽平稳随机过程。
在移动通信过程中，无线信道衰落的建模、噪声的建模、掉话的建模都用到了随机过程。
简单地说，随机过程可以理解为随机发生的过程。
注意：随机过程可以用一定的数学模型来描述，随机过程不随机。
马尔科夫链也属于随机过程的学科范畴，通过到达概率、状态概率与转移概率来分析的一种随机过程。
下面举几个通信过程中随机过程的例子。
1．泊松分布
泊松分布是一种离散的概率分布，其概率密度函数为：
e ()!
k
p x k k λλ−==（其中k =0,1,2,3….） 在通信，特别是移动通信中，很多过程都可以看作是泊松过程，比如呼叫接入请求的到达概率和离开概率都可视为服从泊松分布。
注意：两个泊松过程的发生间隔是符合独立同分布指数的随机变量的。
2．指数分布
指数分布的分布函数：
1e ,0()0,0
x x F x x −⎧−≥⎪=⎨<⎪⎩ 用户在移动通信中的某小区的驻留时间可以看作服从指数分布。
除了这里重点介绍的泊松分布和指数分布外，还有很多随机过程在通信中都有应用，由于篇幅关系，这里不再赘述。
概率论与通信的结缘是历史的必然，为何要这么说呢，概率在通信中的应用其实很广泛，下面来看几个概率理论在通信中应用的经典场景。
1）模糊理论
模糊理论最近在通信中的应用越来越多，特别是用于智能识别、判断
第1章移动通信的前世今生
·3
·
中。
2）马尔科夫链
马尔科夫链是通信中用得比较多的，转移概率的应用是马尔科夫过程的典型，后面将会对马尔科夫过程进行详述。
3）排队论
通信中排队论的应用很广泛，众所周知，通信中的资源具有稀缺性，无论是码资源、频率资源等都很稀缺，而多个用户如果都要接入系统的时候，资源的分配显得尤为重要，排队论这里就会发挥其作用了。
4）博弈论
和排队论在通信中的应用理由类似，博弈论之所以能在通信中应用也是由于无线资源的稀缺性所致。
以移动通信中的功率分配为例，接入系统的用户都希望分配到更多的功率，更多的资源意味着更好的服务和更高的通信质量。
以每个用户作为博弈的主体，通过每个主体之间的博弈得到一个均衡的局面，让每个用户既能获得较好的服务又不至于因获得资源过多而干扰到其他用户，博弈论的应用显得尤为重要。
在博弈论中，含有占优战略均衡的一个著名例子是由塔克给出的“囚徒困境”（prisoners’ dilemma）博弈模型。
该模型用一种特别的方式讲述了一个警察与小偷的故事。
假设有两个小偷A和B联合犯事，私入民宅被警察抓住。
警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪，各被判刑8年；如果只有一个犯罪嫌疑人坦白，另一个人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。
如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
表2.1给出了这个博弈的支付矩阵。
表2.1 囚徒困境博弈[Prisoner's dilemma]
A\B 坦白抵赖
坦白 –8，–8 0，–10
抵赖 –10，0 –1，–1
5）蚁群算法
蚁群算法也叫做蚂蚁算法，是在图中寻求最优路径的算法，据说此算法当初源于蚂蚁找食物的过程中最短路径的启发。
6）模拟退火
模拟退火（Simulated Annealing，简称SA）是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。
“模拟退火”的原理也和金属退火的原理近似：将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是
第1篇 大话移动通信基础知识
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·它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
算法先以搜寻空间内一个任意点作为起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
在移动通信中，很多数据和性能的计算都离不开概率论的应用，比如移动通信网中用户的移动导致的越区概率的计算、在移动通信中用户掉话率的计算、阻塞率的计算等都需要用到概率的知识。
在17世纪的中期，路易十五世统治下的法国宫廷赌博之风盛行，正所谓小赌怡情，大赌伤身。
当时流行一种掷骰子的赌博游戏，赌局的规则是这样的：玩家需要连续掷四次骰子，如果出现一次6点，则庄家赢；如果一次六点都没有出现，则玩家赢。
这种赌局长期的赢家一直是庄家，玩家久赌必输，但是人们对此并没有很好的解释，人们只是觉得，庄家是不会让自己赔本的，因此其中肯定有奥秘存在。
掷骰子的赌博发展到后来又衍生了很多个版本，包括用两个骰子来玩，连续掷骰子24次，玩家如果同时掷出了两个6点，则庄家胜，否则玩家胜出，当时的一个经常参与赌博的贵族德·梅耳发现：
同时将两个骰子连续掷24次，至少出现一次双6点的机会很少，而将一个骰子连掷4次至少出现一次6点的几率却比较大。
于是当时迷惑不解的人们去找法国著名的数学家帕斯卡，帕斯卡找到了当时的另外一名数学家费马，在他们用理论分析和实际试验的双保险下，将研究成果写成了一本概率论的书。
从此，诞生了一门重要的科学——概率论。