(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件(1)
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(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件课件
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
高二数学 人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
探究点 4 空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴ (a) b (a b).
rr rr ⑵ a b b a (交换律).
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律).
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
是
r b
在
r a
方向上
的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
rr 显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
r r rr ①a b ab 0;
r2 r r
r
r2
② a a a ，也就是说 a a .
注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据.
面的充要条件知,存在惟一的有序实数对
r rr
(x,y),使g = xm + yn,
l
将上式两边与向量l作数量积，得
rr rr rr l×g = xl×m + yl×n.
rr rr 因为l×m = 0,l×n = 0,
rr
rr
所以l×g = 0,即l⊥g.所以l⊥g,
r
gl
m
ur
n
r n
ur m g
即l垂直于平面α内任一直线.所以l⊥α.
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
rr rr ⑵ a, b＝b, a.
r
a
rA
a
r
O
r
B
b
b
rr ⑶如果 a, b
,那么向量 ar
r ,b
r 互相垂直,记作 a
高中数学人教课标版选修2-1《空间向量的数量积运算》课件
．零向量与任何向量数量积为0．特别地， ．空间向量的数量积满足的运算律有：
①数乘结合律： ③分配率：
，②交换律：
，
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（3）空间向量的数量积的性质有：
①若 为单位向量，则 ②若 ， 为非零向量，则 ； ；
③
；
；
④若 ， 为非零向量，则 ⑤
（当且仅当 ， 共线时等号成立）．
数量积的定义知，②正确； ， 不一定共线，向量不一定相等，所
以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动③ 巩固基础、检查反馈 例2 已知空间四边形OABC中，OB=OC，且 的值为（ A ） A． B． C． D． ，则
【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长． 【解题过程】设 由已知得 ， ， ，且 ， ．
（inner product），记作
特别地，
．零向量与任何向量数量积为0．
．
●活动③ 深入探究，发现规律 和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？
①数乘结合律：
②交换律： ③分配率： ，
，
．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：探究空间向量数量积的性质★▲
●活动① 类比探究，研究性质
和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？
∵
∵ 又∵
，∴
且
．
，∴ ，∴ ， ．
∴
．
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点O，作 则 叫做向量 ， 的夹角，记作 ．如果
空间向量数量积运算 ppt课件
PPT课件
5
PPT课件
6
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空 间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，
则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:
〈a，b〉
a
A
a
b
Ob
B
PPT课件
7
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
用于计算向量的模;
（3）cosθ = a b 用于计算向量的夹角.
a b
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4
3.平面向量数量积满足的运算律
（1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律: (λa)·b = λ( a·b ) = a·(λb ) （3）分配律:( a + b )·c = a·c + b·c
数量积不满足结合律,即: ( a·b )·c a·( b·c )
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___.
A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5
D. P1P2·P1P6
PPT课件
19
解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6， 设边长 | P1 P2 |= a 则 ∠P2P1P3=π/6,
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
b
B
b
a
bO a
PPT课B件
A
2
复习：
4．平面向量的夹角：
b
B
a
OA
PPT课件
3
最新-2018高中数学 第3章313空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1 精品
例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD 的 交 点 ， G 为 CC1 的 中 点 ， 求 证 ： A1O ⊥ 平 面 GBD.
【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的 两相交直线垂直．
【证明】 设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c， 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O ＝A→1A＋12(A→B＋A→D)＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1
向量 a，b 的_夹__角___，记作〈__a_，__b_〉__．
2．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量
_|a_|_|b_|_c_o_s_〈__a__，__b_〉_叫做 a 与 b 的_数___量__积___(或内积)，
记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，它满足的运算律
有：(1)交换律：_a_·b__＝__b_·a__；(2)分配律：_a_·_(b__＋__c_) _ _＝__a_·_b_＋__a_·c__；(3)(λa)·b＝λ_(_a_·b_)__＝a_·_(_λ_b_)_．
解：因为B→C＝O→C－O→B， 所以O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B) ＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|A→O||O→C|cosπ3－|O→A||O→B|cosπ3 ＝1×1×12－1×1×12＝0， 所以O→A⊥B→C，即 OA 与 BC 所成的角为直角．
用数量积解决两点间的距离问题
例2 已知空间四边形OABC各边及对角线长都 相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直 线OE与BF所成角的余弦值． 【思路点拨】
寻求O→E、B→F与O→A、O→B、O→C的关系
高中数学《空间向量的数量积运算》公开课优秀课件
二.教学片断展示
谢谢聆听！
数学 运算
选择 运算 方法
掌握 运算 法则 探究 运算 方向
一.教学设计简述
教学内容解析
教学目标设置
教学策略分析
师生课堂互动模型“学习金字塔”模型两个“模型”引领，以学定教
教学主线 教学过程
• 问题引入，提出概念 • 合作探究，辨析概念
• 应用概念，感悟“运算”
• 归纳总结，作业巩固
做 抓 悟 会 “类比” “本质” “方法” “应用”
人教社A版 数学《选修2-1》
3.1.3 空间向量的数量积运算
数学 抽象 数据 分析 逻辑 推理
高中 数学
数学 运算 直观 想象 数学 建模
逻辑推理素养
• 类比 合情 • 特殊到一般 • 归纳 推理
逻辑 推理
演绎 • 一般到特殊 推理
数学运算素养
理解 运算 对象
求得 运算 结果 设计 运算 程序
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
人教版高中数学选修2-1课件-空间向量的数量积运算
3．在实数运算中，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0，如果 a，b 换为向量 a，b，这一性质不成立，解题时要格外注 意，以防出现错误.
[变式训练] 如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1. (1)求O→A·O→B； (2)求(O→A＋O→B)·(C→A＋C→B)．
解：(1)O→A·O→B＝|O→A|·|O→B|·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝12.
(2)(O→A＋O→B)·(C→A＋C→B)＝(O→A＋O→B)·(O→A－O→C＋O→B－O→C) ＝(O→A＋O→B)·(O→A＋O→B－2O→C)＝1＋1×1×cos 60°－2×1×1× cos 60°＋1×1×cos 60°＋1－2×1×1×cos 60°＝1.
所
以
|
→ CD
|2
＝
→ CD
2
＝
(
→ CA
＋
→ AB
＋
→ BD
)2
＝
C→A2
＋
A→B2
＋
B→D2＋2C→A·A→B＋2C→A·B→D＋2B→D·A12.
答案：12
归纳升华 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求 向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的 向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出 这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用 公式|a|＝ a·a求解即可．
＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，
因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝90°，
所以|a＋3b|2＝10，所以|a＋3b|＝ 10.
答案：B
2．设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，则有
()
A.A→B·C→1A＝a2
高中数学选修2-1精品课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
【训练2】 如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分 别 是 AB ， CD 的 中 点 ， 求 证 ：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故 〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向 量 A→B 与 A→C 的 夹 角 和 向 量 B→A 与 C→A 的 夹 角 互 为 对 顶 角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14， 所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.
高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
������1 ������ + ������1 ������1 + 1 ������������ · ������������ + 1 ������������1 2 2 |������1 ������|· |������������|
������1 ������· ������������ |������1 ������|· |������������|
ห้องสมุดไป่ตู้
因为������������ = (a+b), ������������ = ������ −b,|������������ | = |������������ | =
所以异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值是 .
2 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思根据空间两个向量数量积的定义:a· b=|a||b|cos<a,b>,得空间两 个向量 a,b 的夹角的余弦值 cos<a,b>=
2 2
(2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������) = (������������ + ������������) ·(������������ − ������������ + ������������ − ������������ ) =(������������ + ������������) ·(������������ + ������������ − 2������������ ) = (������������ + ������������) ·(������������ + ������������) − (������������ + ������������) ·2������������ =|������������|2 + 2������������ ·������������ + |������������|2 − 2������������ ·������������ − 2������������ ·������������ 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
lm gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
lm gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
空间向量的数量积运算课件
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
a·b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝__|_a_||_b_| __
④|a·b|≤|a|·|b|
探究点一 空间向量的数量积运算
问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规 定？
答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π.
a·(b＋c)＝_____a_·b_＋__a_·_c _____
(3)数量积的性质
①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__a_·_b_＝__0____ 两个
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝___|a_|_·|_b_| _； 向量
若反向，则 a·b＝_－__|_a_|·_|b_|_. 数量
特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝ a·a 积的
∴|a＋b＋c|＝10.
小结 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点 间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3π， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
a·b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝__|_a_||_b_| __
④|a·b|≤|a|·|b|
探究点一 空间向量的数量积运算
问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规 定？
答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π.
a·(b＋c)＝_____a_·b_＋__a_·_c _____
(3)数量积的性质
①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__a_·_b_＝__0____ 两个
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝___|a_|_·|_b_| _； 向量
若反向，则 a·b＝_－__|_a_|·_|b_|_. 数量
特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝ a·a 积的
∴|a＋b＋c|＝10.
小结 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点 间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3π， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 课件 (共22张PPT)
2.由已知三棱柱为正三棱柱 ，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时 相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)． 叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个 实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。 解： 设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用， 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答） 思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.
313空间向量的数量积运算-数学选修2-1-PPT精选文档
所以l g
将上式两边与向l作量数量 即l g 这就证明了直
积，得l g xl m yl n. 线l垂直于平面 内的任
因l为 m0,ln0
意一条直线，所以 l
因P 为 O ,且 l,所l以 P,O
因a此 PO 0
又a 因 P A a 为 (P O O ) A aP O aO 0 A 所 l 以 P.A
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直
三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直
O
Al
影，l ,且 l O,求 A:l 证 P.A α
已知：如图，PO,PA分别是平面α的
垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射
影，l ,且 l O,求 A:l 证 P.A
证明：如图，在 l上直取线向a量 ,
P A
O
l
同时取向P量 O,OA.
a α
因l为 O,所 A a以 O A0.
注意：数量积不满足结合律即 （ ab)ca(bc)
另外 a b a c ¿ b c 及ab 0¿ a 0或b 0
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
P
已知：如图，PO,PA分别是平面α的
垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是 用来求两个向量的夹角．
(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．
四、空间向量数量积的运算律
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a· b＝0. 两个 向量 数量 积的 性质 (2)若 a 与 b 同向，则 a· b＝|a|· |b|； 若反向，则 a· b＝－|a|· |b|. 特别地：a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a. a· b (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|a|· |b|. (4)|a· b|≤|a|· |b|. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 应用 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫做
义 运
算 律
a，b的数量积，记作a· b.
数乘向量与向量 (λa)· b＝ λ(a·b) . .
数量积的结合律
交换律 分配律
a· b＝ b·a
a· (b＋c)＝ a·b＋a·c .
答案： D
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
3． 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→ E· A→ F 等于________．
1 → 1→ → → → 解析： A E · A F ＝2(A B ＋A C )· 2AD 1 → → ＝4(A B · A D ＋A→ C· A→ D) 1 ＝4(a×acos 60° ＋a×acos 60° ) 1 2 ＝2a
(2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a· c＋b· c.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向 量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a· b＝2，则 a 与 b π 的夹角为 3 .
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60° ，其模都为 1，则|a－ b＋2c|＝( A. 5 C．6 ) B．5 D. 6
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：
因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60° ， 1 所以 a· b＝b· c＝a· c＝2， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a· b＋4a· c－4b· c ＝ 1 1 1 1＋1＋4－2× ＋4× －4× 2 2 2
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.空间向量的数量积运算．(重点)
2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)
3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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1. 为了帮助四川地震灾区重建家 园， 某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件， 已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60° . 问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．空间向量的夹角
定义 已知两非零向量 a、b，在空 → ＝a， 间中任取一点 O， 作OA → ＝b，则 ∠AOB 叫做向 OB 量 a，b 的夹角 π 如果〈a，b〉＝ ，那么向量 a，b 互相垂直 ，记作 a⊥b . 2 图示 记法 范围
〈a，b〉 [0，π]
3．1.3
空间向量的数量积运算
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律． 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何
中一些简单的问题.
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第三章 空间向量与立体几何
1 2 答案： 2a
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60° ，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析：
∵P→ C ＝P→ A ＋A→ D ＋D→ C.
∴|P→ C |2＝(P→ A ＋A→ D ＋D→ C )2 → |2＋|DC → |2＋2P→ ＝|P→ A |2＋|AD A· A→ D ＋2A→ D· D→ C ＋2D→ C· P→ A ＝62＋42＋32＋2|A→ D ||D→ C |cos 120° ＝61－12＝49. → |＝7，即 PC＝7. ∴|PC
＝ 6－1＋2－2＝ 5.
答案： A
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
π 2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3， → ，B→ 则 cos〈OA C 〉的值为( 1 A. 2 1 C．－ 2 ) 2 B. 2 D．0
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
→ ＝O→ 解析： 因为 O→ A· BC A· (O→ C －O→ B) ＝O→ A· O→ C －O→ A· O→ B → ，O→ →〉 ＝|O→ A ||O→ C |cos〈OA C 〉－|O→ A ||O→ B |cos〈O→ A ，OB π → → → → 又因为〈O A ，O C 〉＝〈O A ，O B 〉＝ ， 3 |O→ B ＝|O→ C |，所以 O→ A· B→ C ＝0， → ⊥BC → ，所以 cos〈O→ 所以OA A ，B→ C 〉＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．在△ABC 中， 〈A → B ，B→ C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向 量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3． 已知两个非零向量 a 与 b， 我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫 做a与b的
数量积 (或内积)，记作 a· b，
即 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ；