(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件(1)

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第三章 空间向量与立体几何
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1．空间向量的夹角
定义 已知两非零向量 a、b，在空 → ＝a， 间中任取一点 O， 作OA → ＝b，则 ∠AOB 叫做向 OB 量 a，b 的夹角 π 如果〈a，b〉＝ ，那么向量 a，b 互相垂直 ，记作 a⊥b . 2 图示 记法 范围
〈a，b〉 [0，π]
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第三章 空间向量与立体几何
＝ 6－1＋2－2＝ 5.
答案： A
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π 2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3， → ，B→ 则 cos〈OA C 〉的值为( 1 A. 2 1 C．－ 2 ) 2 B. 2 D．0
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→ ＝O→ 解析： 因为 O→ A· BC A· (O→ C －O→ B) ＝O→ A· O→ C －O→ A· O→ B → ，O→ →〉 ＝|O→ A ||O→ C |cos〈OA C 〉－|O→ A ||O→ B |cos〈O→ A ，OB π → → → → 又因为〈O A ，O C 〉＝〈O A ，O B 〉＝ ， 3 |O→ B ＝|O→ C |，所以 O→ A· B→ C ＝0， → ⊥BC → ，所以 cos〈O→ 所以OA A ，B→ C 〉＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
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2．在△ABC 中， 〈A → B ，B→ C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向 量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3． 已知两个非零向量 a 与 b， 我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫 做a与b的
数量积 (或内积)，记作 a· b，
即 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ；
答案： D
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3． 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→ E· A→ F 等于________．
1 → 1→ → → → 解析： A E · A F ＝2(A B ＋A C )· 2AD 1 → → ＝4(A B · A D ＋A→ C· A→ D) 1 ＝4(a×acos 60° ＋a×acos 60° ) 1 2 ＝2a
3．1.3
空间向量的数量积运算
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第三章 空间向量与立体几何
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律． 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何
中一些简单的问题.
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第三章 空间向量与立体几何
1 2 答案： 2a
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第三章 空间向量与立体几何
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4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60° ，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析：
∵P→ C ＝P→ A ＋A→ D ＋D→ C.
∴|P→ C |2＝(P→ A ＋A→ D ＋D→ C )2 → |2＋|DC → |2＋2P→ ＝|P→ A |2＋|AD A· A→ D ＋2A→ D· D→ C ＋2D→ C· P→ A ＝62＋42＋32＋2|A→ D ||D→ C |cos 120° ＝61－12＝49. → |＝7，即 PC＝7. ∴|PC
(2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a· c＋b· c.
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4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向 量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a· b＝2，则 a 与 b π 的夹角为 3 .
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1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60° ，其模都为 1，则|a－ b＋2c|＝( A. 5 C．6 ) B．5 D. 6
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解析：
因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60° ， 1 所以 a· b＝b· c＝a· c＝2， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a· b＋4a· c－4b· c ＝ 1 1 1 1＋1＋4－2× ＋4× －4× 2 2 2
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(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a· b＝0. 两个 向量 数量 积的 性质 (2)若 a 与 b 同向，则 a· b＝|a|· |b|； 若反向，则 a· b＝－|a|· |b|. 特别地：a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a. a· b (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|a|· |b|. (4)|a· b|≤|a|· |b|. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 应用 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.
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第三章 空间向量与立体几何
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2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫做
义 运
算 律
a，b的数量积，记作a· b.
数乘向量与向量 (λa)· b＝ λ(a·b) . .
数量积的结合律
交换律 分配律
a· b＝ b·a
a· (b＋c)＝ a·b＋a·c .
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1.空间向量的数量积运算．(重点)
2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)
3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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第三章 空间向量与立体几何
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1. 为了帮助四川地震灾区重建家 园， 某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件， 已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60° . 问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？