二,对坐标的曲线积分的计算法

=∫ 3 abdt = πab. 2
3 π 2 0 3 π 2 0
(2)因为所给线段 AB 所在的直线方程为 )
b y = x − b, 且起点 A 对应于 x = a，终点 B 对 ， a 应于 x = 0，y = b dx , 所以 ， d a
b b ∫AB xdy − ydx = ∫a x a − a x + b dx = −ab.
试计算曲线积分 ∫ L( x + y)dx, 其中 L 为沿着抛 从点O 物线 y = x2 从点 (0, 0) 到点 A(2, 4) 再沿直线由点 A(2, 4)
例1
y 4 3 2 1 y = x2 L1 L2 x=2 B(2, 0) 2 x A(2, 4)
到点 B(2, 0) O 1 由于曲线积分对路径具有可加性， 解 由于曲线积分对路径具有可加性，因此
个小弧段的最大弧长. 记 λ 为 n 个小弧段的最大弧长
如果
lim ∑ P (ξ i , η i )∆ x i
λ =0
i =1 n n 或 lim ∑ Q (ξ i ,η i )∆ y i λ =0 i =1
存在， 存在，则称此极限值为函数 P(x, y)、(Q(x, y)) 在有 、 向曲线Ｌ上对坐标 x (对坐标 y)的曲线积分 记作 )的曲线积分.
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x . λ
L =0 i =1 i i i
n ∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξi ,ηi )∆yi . L λ =0 i =1
n
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应 第二类曲线积分 用上常把上述两个曲线积分结合在一起， 用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即
于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的 近似值为
W = ∑ ∆ W i ≈ ∑ [P (ξ i , η i ) ∆ x i + Q (ξ i , η i ) ∆ y i ].
n n i =1 i =1
个小弧段的最大弧长， 令 λ 表示 n 个小弧段的最大弧长，当 λ→0 时， 上式 的右端极限如果存在， 的右端极限如果存在， 的精确值， 则这个极限就是 W 的精确值， 即
∫
L
−
P( x, y)dx = − ∫ P ( x , y )dx ,
L
∫
L
−
Q( x, y)dy = − ∫ Q( x , y )dy .
L
或
∫
L
−
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − ∫ P ( x , y )dx + Q( x , y )dy .
L
若Ｌ=Ｌ1 +Ｌ2，则
∫ P( x, y)dx = ∫
B=Mn
其中 ∆xi = xi - xi - 1， ∆yi = yi - yi - 1是有向小弧 轴上的投影. 段 Mi -1Mi 分别在 x 轴和 y 轴上的投影 上连续， 如果函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在 L上连续， 则 、 上连续 在每段小弧段上， 在每段小弧段上， 它们的变化就不会太大， 它们的变化就不会太大，因此 我们可以用有向弧段 Mi -1Mi 上任意一点 (ξi, ηi) 处受到的力 F(ξi, ηi) = P(ξi, ηi)i + Q(ξi, ηi)j， ，
λ →0
i =1
n
定义 设 L 为 xy 平面上由点 A 到点 B 的有向光 滑曲线， 滑曲线， 上有定义. 且函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在 L上有定义 由点 、 上有定义 A 到点 B 把 L 任意地分成 n 个有向小弧段，记分点为 个有向小弧段，
A = M 0 ( x0 , y0 ), M 1 ( x1 , y1 ), ⋯ , M i ( x i , yi ), ⋯ , M n ( x n , yn ) = B ,
解
(1)因为所给椭圆的参数方程为 )
x = a cos t , y = b sin t .
3 且起点 A 对应的参数 t = 0. 终点 B 对应的参数 t = π ， 2
3 ， 当t 由 0 增大到 π 时 , 曲线上的对应点描出弧 AB， 2 所以有
∫
xdy − ydx = [abcos t cos t − ba sint(−sint )]dt ∫ AB
L L
L1
P( x, y)dx + ∫ P( x, y)dx
L2
(或∫ Q(x, y)dy = ∫ Q(x, y)dy + ∫
L1
Q( x, y)dy. L2
二、对坐标曲线积分的计算法
设有向曲线 L 的参数式方程为 x = x(t), y = y(t). 的起点， 又设 t = α 对应于 L 的起点，t = β 对应于 L 的终点 (这里 α 不一定小于β ) 当 t 由 α 变到 β 时，点 M(x, y) 描出有向曲线 L， 如果 x(t)、 y(t) 在以 α、 β 为端点的 ， 、 闭区间上具有一阶连续的导数， 闭区间上具有一阶连续的导数，函数 P(x, y) 、 Q(x, y) 上连续， 在 L 上连续， 则
1
例2 路径为
试计算曲线积分
∫ xdy − ydx, 其中积分
L
y
x2 y2 (1)在椭圆 2 + 2 上 ， ) a b
从点 A(a, 0) 经第一、二、 经第一、 三象限到点B(0, - b). 三象限到点
O B A
x
b 从点A(a, 0) 到点 B(0, - b). 从点 (2)在直线上 y = x − b， ) a
∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y)dy.
L L
简记为
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy.
L
称之为组合曲线积分. 称之为组合曲线积分
是有向曲线弧， 设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质： 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：
L
上各点处受到的力. 这样， 近似代替 Mi -1Mi 上各点处受到的力 这样，变 力 F(x, y) 沿有向小弧段 Mi -1Mi 所作的功 ∆Wi 就近似地等于常力 F (ξi, ηi) 沿有向弦段 Mi -1Mi 所作的功， 即 所作的功， ∆Wi ≈ F(ξi, ηi) ⋅ Mi -1Mi = P(ξi, ηi)∆xi + Q(ξi, ηi) ∆yi . ∆
如果 L 的方程为 x = x(y)，则有 ，
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
L
= ∫ {P[x( y), y]x′( y) + Q[ x( y), y]}dy.
c
d
的起点的纵坐标， 其中 c 是曲线 L 的起点的纵坐标，d 是曲线 L 的终 点的纵坐标， 点的纵坐标，c 不一定小于 d .
0
三、两类曲线积分间的联系
)(t, 记(t,x)( ,y)分别表示切线向量与 x 轴 y 轴 , )( ) 正向的夹角. 正向的夹角.于是由示意图可知
y t dl dx dy B
dx = dlcos(t, x), dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),
A
则
O x
∫
L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pdx + Qdy = ∫ [P cos(t , x ) + Q cos(t , y )]dl .
∫ ( x + y)dx = ∫
L
L1
( x + y)dx + ∫ ( x + y)dx,
L2
其中 L1 为曲线弧 OA， 2 为直线段 AB. 上式右端的 ， L 第二个曲线积分化为定积分时， 第二个曲线积分化为定积分时， 因为 dx = 0，所以 ， 它的值为零. 它的值为零 又 L1 的方程为 y = x2，故 2 14 ( x + y)dx = ∫L ( x + y)dx = ∫ ( x + x2 )dx = . ∫L 0 3
记 ∆xi (或 ∆yi)为有向小弧段 Mi -1Mi 在 x 轴( y 轴)上的 上的 投影， 投影， ∆xi = xi – xi-1( ∆yi = yi – yi-1). 在 Mi -1Mi 上任取 即 一点 (ξi ,ηi)， ， 作和式
n ∑ P (ξ i ,η i )∆ x i 或 ∑ Q (ξ i ,η i )∆ y i , i =1 i =1 n
第五模块 二重积分与曲线积分
第四节 对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
一、对坐标曲线积分的概念
y
变力沿曲线所作的功. 引例 变力沿曲线所作的功 F(ξi, ηi) 设一质点 在力 Mi (ξi, ηi) F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j Mi -1 ∆yi 的作用下， xy 平面上沿曲线 L 的作用下， ∆ xi 在 M2 A=M0 M1 求变力 F(x, y) 从点 A 移动到点 B， ， O x 所作的功. 所作的功 个有向子弧段， 将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段， 即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)，…， Mn(xn, yn) = B 把有 ， ， 个有向小段， 向曲线 L 分成 n 个有向小段， 第 i 段有向曲线弧段为 Mi -1Mi (i = 1, 2, …, n)，它相应的有向弦段为 ， Mi -1Mi = (∆xi)i + (∆yi)j ， ∆ ∆
∫ α β ∫ Q( x, y)dy = ∫α Q[x(t), y(t)]y′(t)dt.
L
L
P( x, y)dx = ∫ P[x(t ), y(t )]x′(t )dt. (11.2.1)
(11.2.2)
β
证明从略. 证明从略 对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 其要点是： 其要点是： (1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上， ) 、 所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)； 、 、 ； (2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投 ) 、 影， dx = x′(t)dt、 dy = y′(t)dt ； ′ 、 ′ (3) 起点 A 对应的参数 t = α 是对 t 积分的下 ) 积分的上限. 限，终点 B 对应的参数 t = β 是对 t 积分的上限
如果有向曲线 L 的方程为 y = y(x)，则 ，
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
L
= ∫ {P[x, y( x)] + Q[ x, y( x)] y′( x)}⋅ dx.
a
b
的起点的横坐标， 这里 a 是曲线 L 的起点的横坐标，b 是曲线 L 的 终点的横坐标， 终点的横坐标， a 不一定小于 b.
W = lim ∑ [P (ξ i , η i )∆ x i + Q (ξ i , η i ) ∆ y i ].
n
λ →0
i =1
上述和式的极限， 上述和式的极限，就是如下两个和式的极限
lim ∑ P (ξ i , η i )∆ x i
λ →0
i =1
n
与
lim ∑ Q (ξ i ,η i ) ∆ y i