第9课 三角形三边垂直平分线的性质
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PPT课程 第9课 三角形三边垂直平分线的性质 主讲老师:
一、知识储备 1．如图，填空：
∵CD 是 AB 的垂直平分线， ∴___A_C__＝__B_C_______.
2．如图，填空： ∵AP＝BP， ∴点 P 在__A_B_的__垂__直__平__分__线__上.
二、新课学习 知识点 1：三角形三边垂直平分线的性质 3.(例 1)如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线交于
点 P. (1)求证：PA＝PB＝PC； (2)点 P 在边 AC 的垂直平分线上吗？请说明理由.
(1)证明：∵P 是 AB， BC 的垂直平分线的交点 ∴PA＝PB，PB＝PC ∴PA＝PB＝PC
(2) 解：如图，点 P 落在 AC 的垂直平分线上．理由如下：
过点 P 作 PD⊥AC，则∠ADP＝∠CDP＝90°
解：如图，点P放在AB，BC垂直平 分线交点处
5.三角形三边的垂直平分线的交点( B ) A .到三角形三边的距离相等
B .到三角形三个顶点的距离相等 C .到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D .不能确定
6.如图，O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，若∠OAB＝30°， ∠OBC＝20°，则∠OCA＝___4_0_°___.
(1)作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB、BC 分别相交于点 D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接 AE，若∠B＝50°，求∠AEC 的度 数.
解：(1)如图，直线DE即为所求作
(2)∵DE 垂直平分 AB ∴AE＝BE ∴∠EAB＝∠B＝50° ∵∠AEC 是△ABE 的外角 ∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°
第3关 14.如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC
的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，求 CD 的长.
解：设 CD＝x ∵DE 垂直平分 AC，∴DC＝DA＝x ∴DB＝AB－AD＝4－x 在 Rt△DBC 中，∠B＝90° ∴DB2＋BC2＝DC2 即(4－x)2＋32＝x2，解得 x＝285，∴CD＝285
12.如图，一机器人在点 A 处发现一个小球自点 B 处沿 x 轴 向原点 O 方向匀速滚去，机器人立即从 A 处匀速直线前 进，去截小球，若小球滚动速度与机器人行走速度相等．试 在图中标出机器人恰好能截住小球的位置 C.(保留作图痕 迹)
解：如图，点C即为所求作
第2关 13.如图，已知△ABE 中，AB，AE 边的垂直平分线 m1，m2
在
Rt△ADP
与
Rt△CDP
中
wk.baidu.com
AP＝CP PD＝PD
∴Rt△ADP≌Rt△CDP(HL)
∴AD＝CD
∴PD 垂直平分 AC，即点 P 落在 AC 垂直平分线上
4.在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶 点 A，B，C 位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们 中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， 凳子(用点 P 表示)应放在哪个位置？请用尺规作图找出 点 P.
分别交 BE 于点 C，D，且 BC＝CD＝DE. (1)求证：△ACD 是等边三角形； (2)求∠BAE 的度数.
(1)证明：∵C，D 分别是线段 AB， AE 垂直平分线 m1，m2 上两点 ∴AC＝BC，AD＝ED ∵BC＝CD＝DE，∴AC＝AD＝CD ∴△ACD 是等边三角形
(2)解：∵AC＝BC，AD＝ED ∴∠BAC＝∠B，∠EAD＝∠E ∵∠ACD＝∠ADC＝60° ∴∠BAC＋∠B＝∠EAD＋∠E＝60° ∴∠BAC＝∠EAD＝30° ∴∠BAE＝30°＋60°＋30°＝120°
谢谢！
知识点 2：与垂直平分线有关的作图 7.(例 2)如图，已知线段 a 和 h.
求作：△ABC，使得 AB＝AC，BC＝a，且 BC 边上的高 AD＝h. 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.
解：如图，△ABC即为 所求作
8.如图，已知线段 a，求作以 a 为底边、以 12a 为高的等腰三 角形，这个等腰三角形有什么特征？
解：如图，△ABC即为所求作 △ABC是等腰直角三角形
9.(例 3)已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它 经过点 P.
解：如图，直线PQ即为所求作
10.已知直线 l 与直线 l 外一点 P，过点 P 作出直线 l 的垂线 解：如图，直线PQ即为所求作
三、过关检测 第1关 11.如图，在△ABC 中，∠A＞∠B.
一、知识储备 1．如图，填空：
∵CD 是 AB 的垂直平分线， ∴___A_C__＝__B_C_______.
2．如图，填空： ∵AP＝BP， ∴点 P 在__A_B_的__垂__直__平__分__线__上.
二、新课学习 知识点 1：三角形三边垂直平分线的性质 3.(例 1)如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线交于
点 P. (1)求证：PA＝PB＝PC； (2)点 P 在边 AC 的垂直平分线上吗？请说明理由.
(1)证明：∵P 是 AB， BC 的垂直平分线的交点 ∴PA＝PB，PB＝PC ∴PA＝PB＝PC
(2) 解：如图，点 P 落在 AC 的垂直平分线上．理由如下：
过点 P 作 PD⊥AC，则∠ADP＝∠CDP＝90°
解：如图，点P放在AB，BC垂直平 分线交点处
5.三角形三边的垂直平分线的交点( B ) A .到三角形三边的距离相等
B .到三角形三个顶点的距离相等 C .到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D .不能确定
6.如图，O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，若∠OAB＝30°， ∠OBC＝20°，则∠OCA＝___4_0_°___.
(1)作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB、BC 分别相交于点 D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接 AE，若∠B＝50°，求∠AEC 的度 数.
解：(1)如图，直线DE即为所求作
(2)∵DE 垂直平分 AB ∴AE＝BE ∴∠EAB＝∠B＝50° ∵∠AEC 是△ABE 的外角 ∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°
第3关 14.如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC
的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，求 CD 的长.
解：设 CD＝x ∵DE 垂直平分 AC，∴DC＝DA＝x ∴DB＝AB－AD＝4－x 在 Rt△DBC 中，∠B＝90° ∴DB2＋BC2＝DC2 即(4－x)2＋32＝x2，解得 x＝285，∴CD＝285
12.如图，一机器人在点 A 处发现一个小球自点 B 处沿 x 轴 向原点 O 方向匀速滚去，机器人立即从 A 处匀速直线前 进，去截小球，若小球滚动速度与机器人行走速度相等．试 在图中标出机器人恰好能截住小球的位置 C.(保留作图痕 迹)
解：如图，点C即为所求作
第2关 13.如图，已知△ABE 中，AB，AE 边的垂直平分线 m1，m2
在
Rt△ADP
与
Rt△CDP
中
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AP＝CP PD＝PD
∴Rt△ADP≌Rt△CDP(HL)
∴AD＝CD
∴PD 垂直平分 AC，即点 P 落在 AC 垂直平分线上
4.在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶 点 A，B，C 位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们 中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， 凳子(用点 P 表示)应放在哪个位置？请用尺规作图找出 点 P.
分别交 BE 于点 C，D，且 BC＝CD＝DE. (1)求证：△ACD 是等边三角形； (2)求∠BAE 的度数.
(1)证明：∵C，D 分别是线段 AB， AE 垂直平分线 m1，m2 上两点 ∴AC＝BC，AD＝ED ∵BC＝CD＝DE，∴AC＝AD＝CD ∴△ACD 是等边三角形
(2)解：∵AC＝BC，AD＝ED ∴∠BAC＝∠B，∠EAD＝∠E ∵∠ACD＝∠ADC＝60° ∴∠BAC＋∠B＝∠EAD＋∠E＝60° ∴∠BAC＝∠EAD＝30° ∴∠BAE＝30°＋60°＋30°＝120°
谢谢！
知识点 2：与垂直平分线有关的作图 7.(例 2)如图，已知线段 a 和 h.
求作：△ABC，使得 AB＝AC，BC＝a，且 BC 边上的高 AD＝h. 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.
解：如图，△ABC即为 所求作
8.如图，已知线段 a，求作以 a 为底边、以 12a 为高的等腰三 角形，这个等腰三角形有什么特征？
解：如图，△ABC即为所求作 △ABC是等腰直角三角形
9.(例 3)已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它 经过点 P.
解：如图，直线PQ即为所求作
10.已知直线 l 与直线 l 外一点 P，过点 P 作出直线 l 的垂线 解：如图，直线PQ即为所求作
三、过关检测 第1关 11.如图，在△ABC 中，∠A＞∠B.