第二十四讲 与圆有关的位置关系(2013-2014中考数学复习专题)

第二十四讲与圆有关的位置关系
【基础知识回顾】
一、点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>
点P在圆外<＝>
2、过三点的圆：
⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，
外心的性质：到相等
【名师提醒：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】
二、直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r
直线l与⊙O相离<＝>d r
3、切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线
【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】
4、切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角
5、三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
⑵三角形内心的形成：是三角形的交点
内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
【名师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】
一、圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>
【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】
二、反证法：
假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法
【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】
【典型例题解析】
13
对应训练
考点二：切线的判定
对应训练
例3（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
故选：A．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
例4 （2013•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内切
思路分析：由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解：∵x2-4x+3=0，
∴（x-3）（x-1）=0，
解得：x=3或x=1，
∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-6x+8=0的两实根，
∴r1+r2=3+1=4，
∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
对应训练
3．（2013•黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C 与直线AB相切，则r的值为（）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
A．内含B．内切C．相交D．外切
4．B
【聚焦山东中考】
1．（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6
1．C
2．（2013•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）
A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm
2．D
3．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
3．D
4．（2013•泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
4．D
5．（2013•济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B．C．6 D．
5．B
6．（2013•日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留9．（1）证明：连接OD，
．
∴CD与⊙O相切．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2013•铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相离B．外切C．相交D．内切
2．C
3．（2013•泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）
A．2 B．3 C．6 D．12
3．C
4．（2013•南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）
A．外切B．相交C．内切D．内含
4．D
5．（2013•重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
5．C
6．（2013•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
6．C
7．（2013•河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）
A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC
7．C
8．（2013•毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°
8．A
9．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°
D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形
9．C
二、填空题
10．（2013•舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．
10．外切
11．（2013•天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．
11．2＜r＜8
12．（2013•平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．
12．2或0
13．（2013•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．
三、解答题 19．（2013•巴中）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组1212263-57r r r r +=⎧⎨
=⎩的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．
19．解：∵1212263-57r r r r +=⎧⎨=⎩①②
，
①×3-②得：11r 2=11，
解得：r 2=1，
把r2=1代入①得：r 1=4；
∴12
41r r =⎧⎨=⎩， ∵⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，
∴两圆的位置关系为相交．
20．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （-3，-1），C （-3，1），D （-2，-2），E （0，-3）．
（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；
（2）若直线l 经过点D （-2，-2），E （0，-3），判断直线l 与⊙P 的位置关系．
20．解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（-1，0），点D在⊙P上；
（2）连接PD，
设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，
∵P（-1，0）、D（-2，-2），
∴
0-
-2-2
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，
解得
2
2 k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴此直线的解析式为y=2x+2；
设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（-2，-2），E（0，-3），
∴
-2-2
-3
a c
c
=+
⎧
⎨
=
⎩
，
∴四边形BOCD 是菱形．
22．（2013•株洲）已知AB 是⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，AD 的延长线交BC 于点C ．
（1）求∠BAC 的度数；
（2）求证：AD=CD ．
22．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD ⊥AC ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
在△ABD 和△CBD 中，
ADB CDB BD BD
ABD CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABD ≌△CBD （ASA ），
∴AB=CB ，
∵直线BC 与⊙O 相切于点B ，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；
（2）证明：∵AB=CB ，BD ⊥AC ，
∴AD=CD ．
23．（2013•天津）已知直线I 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥I 于点D ．
（Ⅰ）如图①，当直线I 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC=30°，求∠BAC 的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线I 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE=18°，求∠BAF 的大小．
23．解：（Ⅰ）如图①，连接OC ，
26．（2013•莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．。